Arrel quadrada

Funció arrel quadrada
Gràfic de la funció d'arrel quadrada.
Informació general
Definició general	${\sqrt {x}}$
Domini, codomini i imatge
Domini	$\left[0,+\infty \right[$
Codomini	$\left[0,+\infty \right[$
Valors específics
A zero	0
Valor a +∞	$+\infty$
Característiques específiques
Arrel	0
Funcions relacionades
Recíproca	$x^{2}$
Derivada	${1 \over 2{\sqrt {x}}}$
Primitiva	${2 \over 3}x^{3 \over 2}+C$

En matemàtiques, una arrel quadrada d'un nombre real no negatiu x és qualsevol nombre real positiu que, multiplicat amb si mateix, dona x. Per exemple, l'arrel quadrada de 16 és 4.

L'arrel quadrada principal ${\sqrt {x}}$ d'un nombre real no negatiu x és l'única arrel quadrada no negativa (si existeix). Per exemple ${\sqrt {16}}=4$, mentre que ${\sqrt {16}}\neq -4$. Sovint s'utilitza només arrel quadrada per anomenar l'arrel quadrada principal.

Les arrels quadrades són importants en la resolució d'equacions quadràtiques.

La generalització de la funció arrel quadrada als nombres negatius dona lloc als nombres imaginaris i al cos dels nombres complexos.

El símbol de l'arrel quadrada es va emprar per primera vegada en el segle xvi. S'ha especulat que va tenir el seu origen en una forma alterada de la lletra r minúscula, que representaria la paraula llatina radix, que significa arrel.

Història

Tauleta d'argila YBC 7289

La tauleta d'argila de la Col·lecció Babilònica de Yale, YBC 7289, va ser creada entre el 1800 aC i 1600 aC, mostrant ${\sqrt {2}}$ i ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ respectivament com a nombres de base 60 (1; 24, 51, 10 i 0; 42, 25, 35) en un quadrat creuat per dues diagonals. (1;24,51,10) la base 60 correspon a 1,41421296, que és correcte amb 5 decimals (1,41421356...).

El papir matemàtic de Rhind és una còpia de 1650 aC d'un papir de Berlín anterior i altres textos – possiblement el papir de Lahun – que mostra com els egipcis extreien arrels quadrades mitjançant un mètode de proporció inversa.

A l'antiga Índia, el coneixement dels aspectes teòrics i aplicats del quadrat i l'arrel quadrada era com a mínim tan antic com els Sulba Sutra, datats al voltant del 800-500. aC (possiblement molt abans). Un mètode per trobar aproximacions molt bones a les arrels quadrades de 2 i 3 es dóna al Baudhayana Sulba Sutra. Apastamba, que va ser datat al voltant del 600 aC, ha donat un valor sorprenentment precís per a ${\sqrt {2}}$ que és correcte fins a cinc decimals com a ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}}$ Aryabhata, a l’Aryabhatiya (secció 2.4), ha donat un mètode per trobar l'arrel quadrada de nombres que tenen molts dígits.

Els antics grecs sabien que les arrels quadrades dels nombres enters positius que no són quadrats perfectes són sempre nombres irracionals: nombres que no es poden expressar com a quocient de dos nombres enters (és a dir, que no es poden escriure exactament com a ${\frac {m}{n}}$, on m i n són nombres enters). Aquest és el teorema d'Euclides X, 9, gairebé segurament degut a Teetet, que data de c. 380 aC. El descobriment dels nombres irracionals, inclòs el cas particular de l’arrel quadrada de 2, està àmpliament associat amb l'escola pitagòrica. Tot i que alguns relats atribueixen el descobriment a Hipàs, el contribuent específic continua sent incert a causa de l'escassetat de fonts primàries i la naturalesa secreta de la confraria. És exactament la longitud de la diagonal d'un quadrat de costat 1.

A l'obra matemàtica xinesa Escrits sobre el càlcul, escrita entre el 202 aC i 186 aC durant la dinastia Han primerenca, l'arrel quadrada s'aproximava mitjançant un mètode d'excés i deficiència, que diu que «...combinar l'excés i la deficiència com a divisor; (prenent) el numerador de deficiència multiplicat per l'excés denominador i l'excés numerador multiplicat pel denominador de deficiència, combinar-los com a dividend».

Regiomontanus (1436–1476) va inventar un símbol per a les arrels quadrades, escrit com una R elaborada. També es va utilitzar una R per a la base per indicar arrels quadrades a l’Ars Magna de Gerolamo Cardano.

Segons l'historiador matemàtic DE Smith, el mètode d'Aryabhata per trobar l'arrel quadrada va ser introduït per primera vegada a Europa per Cataneo el 1546.

Segons Jeffrey A. Oaks, els àrabs feien servir la lletra jīm/ĝīm (ج), la primera lletra de la paraula جذر (transliterat de diverses maneres com a jaḏr, jiḏr, ǧaḏr o ǧiḏr, arrel), col·locat en la seva forma inicial (ﺟ) sobre un nombre per indicar la seva arrel quadrada. La lletra jīm s'assembla a la forma actual de l'arrel quadrada. El seu ús arriba fins a finals del segle XII a les obres del matemàtic marroquí Ibn al-Yasamin.

El símbol √ per a l'arrel quadrada es va utilitzar per primera vegada de forma impresa el 1525, a Coss, de Christoph Rudolff.

Propietats i usos

The graph of the function f (x) = √x, formada per mitja paràbola amb directriu vertical

Les següents propietats de l'arrel quadrada són vàlides per a tots els nombres reals no negatius x, y:

${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|$ per a tot nombre real x (vegeu valor absolut)

${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$

La funció arrel quadrada, en general, transforma nombres racionals en nombres algebraics; ${\sqrt {x}}$ és racional si i només si x és un nombre racional que pot escriure's com a fracció de dos quadrats perfectes. Si el denominador és 1² = 1, llavors es tracta d'un nombre natural. No obstant això, ${\sqrt {2}}$ és irracional.

La funció arrel quadrada transforma la superfície d'un quadrat en la longitud del seu costat.

L'arrel quadrada de x és racional si i només si x és un nombre racional que es pot representar com la raó de dos quadrats perfectes. (Vegeu arrel quadrada de 2 per a proves que aquest és un nombre irracional, i irracional quadràtic per a una prova per a tots els nombres naturals no quadrats.) La funció d'arrel quadrada mapeja els nombres racionals en nombres algebraics, sent aquest últim un superconjunt dels nombres racionals).

Per a tots els nombres reals x, $${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$ (vegeu valor absolut).

Per a tots els nombres reals no negatius x i y, $${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$$ i $${\sqrt {x}}=x^{1/2}.$$

La funció arrel quadrada és contínua per a tots x no negatius i diferenciable per a tots x positius. Si f denota la funció arrel quadrada, la derivada de la qual ve donada per: $$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.$$

La sèrie de Taylor de ${\sqrt {1+x}}$ sobre x = 0 convergeix per x ≤ 1, i ve donat per

$${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,$$

L'arrel quadrada d'un nombre no negatiu s'utilitza en la definició de la norma (i distància) euclidiana, així com en generalitzacions com ara els espais de Hilbert. Defineix un concepte important de desviació estàndard utilitzat en teoria de la probabilitat i estadística. Té un ús important en la fórmula per a les solucions d'una equació quadràtica. Els camps quadràtics i els anells d’enters quadràtics, que es basen en arrels quadrades, són importants en àlgebra i tenen usos en geometria. Les arrels quadrades apareixen amb freqüència en fórmules matemàtiques en altres llocs, així com en moltes lleis de la física.

Arrels quadrades d'enters positius

Un nombre positiu té dues arrels quadrades, una positiva i una negativa, que són oposades entre si. Quan es parla de l' arrel quadrada d'un nombre enter positiu, normalment es fa referència a l'arrel quadrada positiva.

Les arrels quadrades d'un nombre enter són nombres enters algebraics, més concretament nombres enters quadràtics.

L'arrel quadrada d'un enter positiu és el producte de les arrels dels seus factors noms, perquè l'arrel quadrada d'un producte és el producte de les arrels quadrades dels factors. Des de ${\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$ només són necessàries les arrels d'aquells nombres primers que tenen una potència senar en la factorització. Més precisament, l'arrel quadrada d'una factorització prima és $${\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.$$

Com a expansions decimals

Les arrels quadrades dels quadrats perfectes (per exemple, 0, 1, 4, 9, 16) són nombres enters. En tots els altres casos, les arrels quadrades dels nombres enters positius són nombres irracionals i, per tant, tenen decimals no repetitius en les seves representacions decimals. Les aproximacions decimals de les arrels quadrades dels primers nombres naturals es donen a la taula següent.

n	${\sqrt {n}},$ truncat a 50 xifres decimals
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

Com a expansions en altres sistemes numerals

Com abans, les arrels quadrades dels quadrats perfectes (per exemple, 0, 1, 4, 9, 16) són nombres enters. En tots els altres casos, les arrels quadrades dels nombres enters positius són nombres irracionals i, per tant, tenen dígits no repetitius en qualsevol sistema de notació posicional estàndard.

Les arrels quadrades de nombres enters petits s'utilitzen tant en els dissenys de funcions hash SHA-1 com SHA-2 per proporcionar números que no em posin al dia.

Com a fraccions contínues periòdiques

Un resultat de l'estudi dels nombres irracionals com a fraccions contínues simples va ser obtingut per Joseph Louis Lagrange c. 1780. Lagrange va descobrir que la representació de l'arrel quadrada de qualsevol enter positiu no quadrat com una fracció contínua és periòdica. És a dir, un cert patró de denominadors parcials es repeteix indefinidament en la fracció contínua. En cert sentit, aquestes arrels quadrades són els nombres irracionals més simples, perquè es poden representar amb un patró repetitiu simple d'enters.

${\sqrt {2}}$	= [1; 2, 2,...]
${\sqrt {3}}$	= [1; 1, 2, 1, 2,...]
${\sqrt {4}}$	= [2]
${\sqrt {5}}$	= [2; 4, 4,...]
${\sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4,...]
${\sqrt {7}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4,...]
${\sqrt {8}}$	= [2; 1, 4, 1, 4,...]
${\sqrt {9}}$	= [3]
${\sqrt {10}}$	= [3; 6, 6,...]
${\sqrt {11}}$	= [3; 3, 6, 3, 6,...]
${\sqrt {12}}$	= [3; 2, 6, 2, 6,...]
${\sqrt {13}}$	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6,...]
${\sqrt {14}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6,...]
${\sqrt {15}}$	= [3; 1, 6, 1, 6,...]
${\sqrt {16}}$	= [4]
${\sqrt {17}}$	= [4; 8, 8,...]
${\sqrt {18}}$	= [4; 4, 8, 4, 8,...]
${\sqrt {19}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8,...]
${\sqrt {20}}$	= [4; 2, 8, 2, 8,...]

La notació entre claudàtors utilitzada anteriorment és una forma abreujada d'una fracció contínua. Escrita en la forma algebraica més suggestiva, la fracció contínua simple per a l'arrel quadrada d'11, [3; 3, 6, 3, 6,...], té aquest aspecte: $${\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}$$

on el patró de dos dígits {3, 6} es repeteix una vegada i una altra en els denominadors parcials. Com que 11 = 3² + 2, l'anterior també és idèntic a les següents fraccions contínues generalitzades:

$${\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.$$

Extreure factors

Per extreure factors d'una arrel, és a dir, deixar-los en forma de potències multiplicant per l'arrel, s'han de treure dividint per l'índex. Tenim una arrel d'índex 3. A dins, tenim $2^{8}\cdot 9$.

Per deixar a fora (multiplicant per l'arrel) tot el que es pugui, primer s'ha de veure tot el que podem extreure: Si hi ha un $2^{8}$, es descompon una part, deixant-ho a $2^{6}\cdot 2$. El 9 no es pot extreure, perquè descompost és $3^{2}$, i el seu exponent no es pot dividir entre l'índex, que en aquest cas és 3.

Quedarà: $2^{2}$ arrel de $2^{2}\cdot 9$, perquè 6 (exponent del 2 quan estava inclosa a l'arrel) dividit entre 3 (índex de l'arrel) és igual a 2 (i és la potència que li queda al 2 exclòs de l'arrel).

Mitjana geomètrica

Article principal: Mitjana geomètrica

La mitjana geomètrica de dos nombres reals no negatius x, y és:

$m_{g}={\sqrt {xy}}$

Compleix la desigualtat:

$m_{g}\leq m_{a}$,

on $\ m_{a}$ és la mitjana aritmètica: $m_{a}={\frac {x+y}{2}}$.

A més:

$\ m_{g}=m_{a}$ si i només si $\ x=y$, ja que

${\frac {x+x}{2}}=x$, i ${\sqrt {xx}}=x$.

Referències

• Gel'fand, Izrael M.; Shen, Alexander. «63. Roots». A: Algebra (en anglès). 3a edició. Birkhäuser, 1993, p. 120-125. ISBN 0-8176-3677-3. 

Vegeu també

• Arrel aritmètica
• Arrel cúbica
• Arrel primitiva
• Arrel quadrada de dos
• Arrels de la unitat

Enllaços externs

• Elements de l'arrel quadrada i algoritme de càlcul Sangaku Maths
• Calculadora d'arrels quadrades Rapid Tables