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References
Seifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie (Leipzig und Berlin 1934), § 48.— Statt “Homologiegruppe” (l. c.) sage ich “Bettische Gruppe”.
Die Nullgruppe, oft kurz mit O bezeichnet, ist die Gruppe, die nur ein Element enthält.
Zusammenfassende Darstellung:H. Whitney, On products in a complex Annals of Math. 39 (1938), 397–432.
K. Reidemeister, Kommutative Fundamentalgruppen, Monatschefte f. Math. u. Ph. 43 (1936), 20–28.
Zur Orientierung über die bei uns auftretenden Begriffe aus der Gruppentheorie:W. Magnus, Allgemeine Gruppentheorie (Enzyklopädie d. math. Wiss. I1, 9; Leipzig-Berlin 1939), Nr. 4 (besonders p. 17) und Nr. 14.
Der “Kern” eines Homomorphismus ist das Urbild des Eins-Elementes der Bildgruppe.
W. Hurewicz, Beiträge zur Topologie der Deformationen, Proc. Akad. Amsterdam: (I) vol. 38 (1935), 112–119; (II) vol. 38 (1935), 521–528; (III) vol. 39 (1936), 117–126; (IV) vol. 39 (1936), 215–224.
S. Eilenberg, On the relation between the fundamental group of a space and the higher homotopy groups, Fundamenta Math. 32 (1939), 167–175.
Andeutung: Es gibt einen Komplex mit der FundamentalgruppeG (Seifert-Threlfall, l. c. 1) Lehrbuch der Topologie (Leipzig und Berlin 1934), § 48.— Statt “Homologiegruppe”, (l. c.) sage ich “Bettische Gruppe”., 180, Aufgabe 3); der KomplexK′ seiner zweidimensionalen Simplexe hat auch die FundamentalgruppeG; es gibt ferner einen KomplexK″ mit der Fundamentalgruppe 0 und den Bettischen Gruppen ℬ3,...,ℬn in einem Punkt aneinander.
Im allgemeinen schreiben wir beliebige Gruppen multiplikativ, Abelsche Gruppen oft additiv; daß wir Γ additiv schreiben, obwohl die Summenbildung i. a. nicht kommutativ ist, wird sich im “Anhang” rechtfertigen (im Hinblick auf das distributive Gesetz der dort behandelten Produktibildung).
Das Zeichen ⊂ bedeute immer: “echter oder unechter Teil von”.
Terminologie wie beiAlexandroff-Hopf, l. c. 9) Topologie I (Berlin 1935), 266, Nr. 9);
Wegen des Begriffes, “geschlossener Weg” vgl. man die Bücher vonSeifert-Threlfall 1), 149ff., undAlexandroff-Hopf 9) Topologie I (Berlin 1935), 266, Nr. 9), 332ff.; dieser Begriff ist verschieden von dem Begriff “eindimensionaler Zyklus” (oder “eindimensionale geschlossene Kette”).
Seifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie (Leipzig und Berlin 1934), § 48.— Statt “Homologiegruppe”, (l. c.) sage ich “Bettische Gruppe”. § 49.
Man darf annehmen, daß die Eckpunktee 1,e 2 vony i , in denenw 1 undw 2 enden, zusammenfallen; wenn dies zunächst nicht so ist, so verlängere manw 2 zu einem Wegw ′2 , indem man auf dem Rande vony 1 im negativen Sinne vone 2 bise 1 läuft, und ersetzew 2 durchw ′2
Der Koeffizientenbereich für die Zyklen und Homologien ist in dieser Arbeit immer der Ring der ganzen Zahlen.
K. Reidemeister, Einführung in die kombinatorische Topologie (Braunschweig 1932), 107.
Es ist ℭ=ℭℱ, ℭ(ℛ) =ℭℱ(ℛ)
Beispiel: die “Summe” zweier ExemplareT 1,T 2 des topologischen Produktes von drei Kreisen, die man erhält, wenn man ausT 1 undT 2 je eine Vollkugel ausbohrt und dann die Randflächen zusammenheftet.
l. c. ; (IV), 221 (die dort formulierte Voraussetzung, daß die Räume inallen Dimensionen ≥2 asphärisch seien, ist für den Beweis offenbar unnötig).
Seifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie (Leipzig und Berlin 1934), § 48.— Statt “Homologiegruppe”, (l. c.) sage ich “Bettische Gruppe”. 180, Aufgabe 3.
l. c. 7) ; (II), Satz I.
Das ist der einfachste Spezialfall eines Satzes vonE. Witt: Treue Darstellung Liescher Ringe, Crelles Journal 177 (1937), 152–160, Satz IV.
Seifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie (Leipzig und Berlin 1934), § 48.— Statt “Homologiegruppe”, (l. c.) sage ich “Bettische Gruppe”., 210, 215.
l. c. 7) ; (I), Satz IV; (IV), 216.
Alexandroff-Hopf, Topologie I (Berlin 1935), 266, Nr. 9); 308, Formel (12).
l. c. 22), Satz IV
l. c. Satz 12; sowieW. Magnus, Math. Annalen 111 (1935), 259–280, speziell 269.
Cf.Alexandroff-Hopf, Topologie I (Berlin 1935), 266, Nr. 9); 586ff.
Um ganz korrekt zu sein, sollte man nicht sagen, daßG’ mit ℬ1 identisch ist, sondern daß eine natürliche isomorphe Abbildung,I 1 vonG auf ℬ1 vorliegt; statt (1) hat man dann zu schreiben:I 1 I 2 G’.
H. Hopf, Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Crelles Journ. 163 (1930), 71–88. Wegen weiterer Literatur sowie der obigen Eigenschaft (C) vgl. man auch meine Arbeit in den Comment. Math. Helvet. 13 (1941), 219–239, speziell 219 und 235f.
Das ist ein Spezialfall eines allgemeineren Satzes, der auch für höhere Dimensionszahlen gilt:H. Hopf, Über die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Annals of Math. 42 (1941), 22–52; Nr. 34, 35.
Ein solcher geometrischer Beweis ist an dieser Stelle unseres Gedankenganges natürlicher und bequemer als ein rein algebraischer Beweis; ein solcher, der aus methodischen Gründen erwünscht ist, wird in dem “Anhang” angegeben werden.
Führt man wie in Fußnote 29 den IsomorphismusI 1 ein, so hat man statt (5*) zu schreiben:\(U \cdot \bar Z = I_1 [I_2^{ - 1} U \cdot I_3^{ - 1} \bar Z]\).
Die Frage bleibt offen, ob auch die nicht-reduzierten Produktbildungen je zweier Elemente von ℬn-1 bzw. von\(\mathfrak{B}^{n_1 - 1} \) miteinander isomorph sind.
Whitney,l. c. 3). Theorem 6.
l. c.4). Es ist bemerkenswert, daß auch bei Reidemeister die Fälleq 1=2,p 1≥1, besonders behandelt werden müssen; ob ein innerer Zusammenhang zwischen den beiden Methoden besteht, ist mir nicht klar.
Cf.Witt, l. c. 32), § 4; (die dortigenG n sind unsere\(\mathfrak{C}_\mathfrak{G}^{n - 1} \)).
l. c. 22) ; auf unseren Beweis in Nr. 13 b dürfen wir uns nicht berufen, da der obige “Anhang” einen rein algebraischen Charakter haben soll.
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Hopf, H. Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe. Commentarii Mathematici Helvetici 14, 257–309 (1941). https://doi.org/10.1007/BF02565622
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