n-sphère

En géométrie, la sphère de dimension n, l'hypersphère ou n-sphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. L'hypersphère constitue un des exemples les plus simples de variété, elle est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{n+1}$ , notée en général $\mathbb {S} ^{n}$ .

Définition

Soient E un espace euclidien de dimension n + 1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.

Étant donné un repère affine orthonormé, quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors

\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}^{2}=R^{2}

.

Par exemple :

pour le cas n = 0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et –R ;
pour le cas n = 1, l'hypersphère est un cercle ;
pour le cas n = 2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel.

(Pour un paramétrage de l'hypersurface ainsi définie, voir « Coordonnées hypersphériques ».)

Propriétés

Article détaillé : Calcul du volume de l'hypersphère.

Volume

Le volume (ou, plus précisément, la mesure de Lebesgue) de l'espace délimité par une hypersphère de dimension $n-1$ et de rayon $R$ , qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :

V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma (n/2+1)}

,

où $\Gamma$ désigne la fonction gamma. En particulier, on a :

	n pair	n impair
$V_{n}$	${\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}$	$2^{(n+1)/2}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}}$

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières boules de dimension n et de rayon 1 :

n	Valeur du volume
n	exacte	approchée
1	$2$	$2$
2	$\pi$	$3{,}14159$
3	${\frac {4}{3}}\pi$	$4{,}18879$
4	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$	$4{,}93480$
5	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$	$5{,}26379$
6	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$	$5{,}16771$
7	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$	$4{,}72478$
8	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$	$4{,}05871$

Propriétés de ce volume

Le volume de la boule unité est maximal pour $n=5$ . Pour $n>5$ le volume est décroissant quand $n$ croit et sa limite à l'infini est nulle :

\lim _{n\to \infty }V_{n}=0

.

Le rapport entre le volume de l''hypercube circonscrit à la boule unité (de côté 2) et celui de cette boule, ${\frac {2^{n}}{V_{n}}}$ , tend vers l'infini en croissant.

De même, le rapport entre le volume de la boule unité et celui de l'hypercube inscrit (de côté $2/{\sqrt {n}}$ ) , ${\frac {V_{n}n^{n/2}}{2^{n}}}$ , tend vers l'infini en croissant.
Si l'on fait varier $n$ dans les réels, le maximum de $V_{n}$ est obtenu pour $\Psi \left({\frac {n}{2}}+1\right)=\ln \pi$ , où $\Psi$ est la fonction digamma, soit $n\approx 5,257$ ( A074455) et le volume correspondant vaut environ $5,278$ ( A074454)^[1].

Aire

L'aire de l'hypersphère de dimension $n -1$ et de rayon $R$ peut être déterminée en prenant la dérivée par rapport au rayon $R$ du volume $V n$ :

S_{n-1}={\frac {\mathrm {d} V_{n}}{\mathrm {d} R}}={\frac {nV_{n}}{R}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}

.

S_{n}={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}

.

	$n$ pair	$n$ impair
$S_{n}$	$2^{{\frac {n}{2}}+1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdots (n-1)}}$	${\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}$

La n-sphère unité $\mathbb {S} ^{n}$ a donc pour aire :

{\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}~.

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 7 premières n-sphères de rayon 1 :

n	Aire de $\mathbb {S} ^{n}$
n	exacte	approchée
1	$2\pi$	$6{,}28318$
2	$4\pi$	$12{,}56637$
3	$2\pi ^{2}$	$19{,}73920$
4	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$	$26{,}31894$
5	$\pi ^{3}$	$31{,}00627$
6	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$	$33{,}07336$
7	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$	$32{,}46969$