Variation quadratique

En mathématiques, la variation quadratique est utilisée dans l'analyse des processus stochastiques, comme le mouvement brownien et autres martingales^[1]. La variation quadratique est un type de variation d'un processus.

Définition

Pour un processus quelconque

Si $X_{t}$ est un processus stochastique à valeurs réelles défini sur un espace probabilisé $(Ω, ℱ, ℙ)$ et avec un indice de temps $t$ qui parcourt les nombres réels positifs, sa variation quadratique est le processus, noté $[X]_{t}$ , défini par :

[X]_{t} = lim_{‖ P ‖ \to 0} \sum_{k = 1}^{n} (X_{t_{k}} - X_{t_{k - 1}})^{2}

,

où $P$ parcourt les subdivisions de l'intervalle $[0, t]$ et la norme de la subdivision $P$ est son pas. Cette limite, si elle existe, est définie à l'aide de la convergence en probabilité. Un processus peut avoir une variation quadratique finie au sens de la définition ci-dessus, tout en ayant ses parcours presque sûrement de variation quadratique infinie pour tous les $t > 0$ , au sens classique où l'on prend la borne supérieure de la somme sur toutes les subdivisions ; c'est notamment le cas du mouvement brownien^[2].

Plus généralement, la covariation de deux processus $X$ et $Y$ est :

[X, Y]_{t} = lim_{‖ P ‖ \to 0} \sum_{k = 1}^{n} (X_{t_{k}} - X_{t_{k - 1}}) (Y_{t_{k}} - Y_{t_{k - 1}}) = \frac{1}{4} ([X + Y]_{t} - [X - Y]_{t})

.

Pour une martingale

Avec les mêmes hypothèses, si $X_{t}$ est de plus une martingale, alors $X_{t}^{2}$ est une sous-martingale (d'après l'inégalité de Jensen conditionnelle). Par décomposition de Doob-Meyer on peut donc écrire de façon unique $X_{t}^{2} = M_{t} + A_{t}$ comme la somme d'une martingale $M_{t}$ et d'un processus prévisible croissant $A_{t}$ . Une définition alternative possible de la variation quadratique (de la martingale $X_{t}$ ) est alors :

[X]_{t} := A_{t}

.

Autrement dit, la variation quadratique de $X_{t}$ est le seul processus prévisible croissant $[X]_{t}$ tel que $X_{t}^{2} - [X]_{t}$ soit une martingale. On peut montrer^[3] que ces deux définitions sont bien sûr équivalentes quand $X_{t}$ est une martingale.

Exemples

La variation quadratique d'un mouvement brownien standard est:

[X]_{t} = t

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quadratic variation » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Rajeeva L. Karandikar et B. V. Rao, « On quadratic variation of martingales », Proceedings - Mathematical Sciences (en), vol. 124, n^o 3,‎ 2014, p. 457-469 (DOI 10.1007/s12044-014-0179-2).
↑ (en) Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2004, 2^e éd. (présentation en ligne).
↑ (en) Ioannis Karatzas et Steven Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, coll. « graduate texts in mathematics », 1998, XXIII, 470 (ISBN 978-0-387-97655-6, DOI 10.1007/978-1-4612-0949-2, lire en ligne), theorem 5.8 (page 32)

Voir aussi

Variation totale

Portail des probabilités et de la statistique

[1] (en) Rajeeva L. Karandikar et B. V. Rao, « On quadratic variation of martingales », Proceedings - Mathematical Sciences (en), vol. 124, n^o 3,‎ 2014, p. 457-469 (DOI 10.1007/s12044-014-0179-2).

[2] (en) Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2004, 2^e éd. (présentation en ligne).

[3] (en) Ioannis Karatzas et Steven Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, coll. « graduate texts in mathematics », 1998, XXIII, 470 (ISBN 978-0-387-97655-6, DOI 10.1007/978-1-4612-0949-2, lire en ligne), theorem 5.8 (page 32)

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