Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité

Exercice 1

Soient $x_1,\mathrm{...},x_n$ des réels positifs. Montrer que ${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2\le n\sum _{i=1}^n{x}_i^2$

Solution

$f:x\mapsto x^2$ est convexe et $\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}=1$

Donc $f\left(\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{n}\right)\le \sum _{i=1}^n\frac{1}{n}f(x_i)$

c'est-à-dire $\frac{1}{n^2}{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2\le \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2$,

d'où le résultat.

Remarque

C'est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans ${ℝ}^n$.

 

Exercice 2

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement supérieurs à $1$. Montrer que $\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)\ge \sqrt{\ln a\ln b}$.

Solution

La fonction $\ln$ étant concave (car ${\ln }^{″}<0$), on a :

$(1)\mathrm{\forall }x,y>0\ln \left(\frac{x+y}{2}\right)\ge \frac{\ln x+\ln y}{2}=\ln \sqrt{xy}$,

dont on déduit l'inégalité arithmético-géométrique :

$(2)\mathrm{\forall }x,y>0\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$.

En appliquant $(1)$ à $x=a,y=b$ et $(2)$ à $x=\ln a,y=\ln b$, on conclut :

$\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)\ge \frac{\ln a+\ln b}{2}\ge \sqrt{\ln a\ln b}$.

 

Exercice 3

Soient $I,J$ des intervalles de ℝ, $f:I\to J$ une fonction convexe et $g:J\to ℝ$ une fonction convexe et croissante. Démontrer que $g\circ f$ est convexe.

Solution

Voir propriété 8 de Fonctions convexes/Définition et premières propriétés.

 

Exercice 4

Référence : Gérard Eguether, « Fonctions sous-additives », 1er avril 2011, proposition 6.

Soit $f:{ℝ}_{+}\to ℝ$ une fonction concave (c'est-à-dire telle que $-f$ est convexe) telle que $f(0)\ge 0$.

Montrer que $f$ est sous-additive, c'est-à-dire que (pour tous $x,y\in {ℝ}_{+}$) :

$f(x+y)\le f(x)+f(y)$.

Solution

Il suffit de montrer que $\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}_{+}f(x+y)\le f(x)+f(y)-f(0)$, et l'on peut supposer $0<x\le y$. D'après la troisième et la première inégalité des pentes (inversées, puisque $f$ est concave), on a alors :

$\frac{f(x+y)-f(y)}{x}\le \frac{f(y)-f(0)}{y}\le \frac{f(x)-f(0)}{x}$ donc $f(x+y)-f(y)\le f(x)-f(0)$.

 

Exercice 5

Inspiré de : Michel Quercia, « Exercices sur les dérivées », 6 août 2016, exercice 66 (non corrigé, et qui énonce le même résultat principal mais avec une idée de preuve qui semble insuffisante).

Soit $f:I\to ℝ$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

1. Vérifier que si $f$ est strictement convexe ou strictement concave alors « le $c$ des accroissements finis est toujours unique », c'est-à-dire :

   $\mathrm{\forall }a,b\in I\mathrm{\exists }!c\in ]a,b[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$.

2. Réciproquement, on suppose maintenant que « le $c$ des accroissements finis est toujours unique ».
   1. Soient $T=\{(x,y,z)\in I^3\mid x<y<z\}$ et $F:T\to ℝ,(x,y,z)\mapsto \frac{f\left(z\right)-f\left(y\right)}{z-y}-\frac{f\left(y\right)-f\left(x\right)}{y-x}$. Démontrer que $F$ est de signe constant.
   2. En déduire que $f$ est strictement convexe ou strictement concave.

Solution

1. Si $f^{\prime }$ est strictement monotone alors elle est injective.
2. 1. La fonction $F$ est continue sur le connexe $T$ (qui est même connexe par arcs car convexe), et elle ne s'annule en aucun $(x,y,z)\in T$, sinon « le » $c\in ]x,z[$ ne serait pas unique (il y en aurait au moins un dans $]x,y[$ et un dans $]y,z[$). Elle est donc de signe (strict) constant.
   2. $f$ est strictement convexe si $F>0$ et strictement concave si $F<0$.

 

Exercice 6

À l'aide du théorème de Darboux, démontrer que si une fonction convexe (sur un intervalle réel) est dérivable, alors sa dérivée est continue.

Solution

Si $f:I\to ℝ$ est convexe et dérivable alors $f^{\prime }$ est croissante. D'après le théorème de la limite monotone, on a donc, pour tout point $x$ intérieur à $I$ :

$\underset{x>y\in I}{sup}{f}^{\prime }\left(y\right)=\underset{x^{-}}{lim}{f}^{\prime }\le f^{\prime }\left(x\right)\le \underset{x^{-}}{lim}{f}^{\prime }=\underset{x<y\in I}{inf}{f}^{\prime }\left(y\right)$.

De plus, $f^{\prime }$ vérifie, comme toute fonction dérivée, la propriété des valeurs intermédiaires, donc tous les termes ci-dessus sont égaux, c'est-à-dire que $f^{\prime }$ est continue au point $x$. De même, $f^{\prime }$ est continue en les éventuels plus petit et plus grand éléments de $I$.

 

Exercice 7

Référence : Josef Stoer et Christoph Witzgall, Convexity and Optimization in Finite Dimensions, vol. I, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften » (n^o 163), 1970 [lire en ligne], p. 172 , th. 4.9.11.

Une fonction $f:I\to ℝ$ (où $I$ est un intervalle réel) est dite quasi convexe si pour tous $a<c<b$ dans $I$, $f\left(c\right)\le max(f\left(a\right),f\left(b\right))$.

1. Vérifier que toute fonction convexe est quasi convexe.
2. Vérifier que s'il existe dans $I$ deux intervalles complémentaires $I_1<I_2$ (l'un des deux pouvant être vide) tels que $f$ soit décroissante sur $I_1$ et croissante sur $I_2$, alors $f$ est quasi convexe.
3. On veut montrer la réciproque. On suppose donc que $f$ est quasi convexe. On pose $I_1:=\{x\in I\mid \mathrm{\exists }y\in Iy>x\text{ et }f\left(y\right)<f\left(x\right)\}$ et $I_2:=I\setminus I_1$.
   1. Vérifier que $f$ est croissante sur $I_2$.
   2. Montrer que pour tout $x\in I_1$ et tout $z<x$ dans $I$, on a $f\left(z\right)\ge f\left(x\right)$ et $z\in I_1$.
   3. Conclure.
4. Donner un exemple de fonction quasi convexe et non convexe.
5. On suppose maintenant que $f$ est convexe. En reprenant les notations de la question 3.2, montrer que sur $I_1$, $f$ est strictement décroissante. Par changement de variable $t\mapsto -t$, en déduire qu'il existe dans $I_2$ deux intervalles complémentaires $I_{21}<I_{22}$ (l'un des deux pouvant être vide) tels que $f$ soit constante sur $I_{21}$ et strictement croissante sur $I_{22}$.

Solution

1. Si $f$ est convexe et si $a<b$ dans $I$ et $c\in ]a,b[$, alors $c=ta+(1-t)b$ pour $t:=\frac{b-c}{b-a}\in ]0,1[$, et $f\left(c\right)\le tf\left(a\right)+(1-t)f\left(b\right)\le max(f\left(a\right),f\left(b\right))$.
2. Soient $a<c<b$ dans $I$. Si $c\in I_1$ alors $a\in I_1$ et $f\left(c\right)\le f\left(a\right)$. Si $c\in I_2$ alors $b\in I_2$ et $f\left(c\right)\le f\left(b\right)$.
3. 1. Par définition, pour tout $x\in I_2$ et tout $y>x$ dans $I$, $f\left(y\right)\ge f\left(x\right)$.
   2. Soit $x\in I_1$. Il existe donc $y>x$ dans $I$ tel que $f\left(y\right)<f\left(x\right)$. Pour tout $z\in I$ tel que $z<x$, on a alors $z<x<y$ donc $f\left(x\right)\le max(f\left(z\right),f\left(y\right))$, si bien que $f\left(z\right)\ge f\left(x\right)>f\left(y\right)$.
   3. D'après la question précédente, $f$ est décroissante sur $I_1$, $I_1$ est un intervalle et $I_1<I_2$ (donc $I_2$ est aussi un intervalle).
4. N'importe quelle fonction monotone et non convexe, comme la fonction racine carrée sur ${ℝ}_{+}$ (qui est même strictement concave) ou la fonction partie entière sur $ℝ$ (qui est même discontinue).
5. Soient $z<x$ dans $I_1$. En affinant le raisonnement de la question 3.2, on a à présent (avec les mêmes notations) : $x=tz+(1-t)y$ avec $t\in ]0,1[$, et $f\left(x\right)\le tf\left(y\right)+(1-t)f\left(z\right)<f\left(z\right)$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $I_1$.
   En appliquant ce résultat à la fonction convexe $-I_2\to ℝ,t\mapsto f(-t)$, il existe donc dans $I_2$ deux intervalles complémentaires $I_{21}<I_{22}$ tels que $f$ soit décroissante sur $I_{21}$ et strictement croissante sur $I_{22}$. Sur $I_{21}$, $f$ est à la fois croissante et décroissante, donc constante.