積分変換

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積分変換（せきぶんへんかん、英: Integral transform）とは、与えられた関数$f$に別の関数${\mathcal {T}}_{K}[f]$を対応させる変換で、何らかの関数$K(x,y)$を用いて以下のように積分で定義される：

${\mathcal {T}}_{K}[f](y)=\int _{X}K(x,y)f(x)\,dx.$　...（Eq.1）

ここで$f$は$\mathbb {R} ^{m}$の部分集合$X$上定義された複素数値の関数であり、$Y$は$\mathbb {R} ^{n}$の部分集合であり、$K~:~X\times Y\to \mathbb {C}$は何らかの関数である。$X$、$Y$、$f$、$K$は「十分性質の良い」事が暗に仮定されている。

（Eq.1）における$K$を積分変換の積分核（英: integral kernel）もしくは単に核（英: kernel）と言う。また$f(x)$を積分変換の原関数（英: original function）、${\mathcal {T}}_{K}[f](y)$を積分変換の像関数（英: image function）という。

積分方程式に関する一般論はフレドホルム理論として知られているが、この理論では、核とは「関数からなる或るバナッハ空間上のコンパクト作用素」のことであるものと理解される。状況に応じてその核はフレドホルム作用素、核作用素、フレドホルム核など様々な呼ばれ方をする。

概要

積分変換の具体例としてはフーリエ変換やラプラス変換などがある。積分変換の主な応用先は微分方程式であり、特に前述したフーリエ変換やラプラス変換は微分や積分を変数との積に変換するので、微分方程式が代数方程式に変換される。メリン変換のように解析的整数論への応用を持つものもある。

積分変換の中には逆 $K^{-1}(y,z)$が存在し、（Eq.1）の左逆変換が$K^{-1}(y,z)$を核とする積分変換で書けるものもある。すなわち、

$f(t)=\int _{Z}K^{-1}(y,z){\mathcal {T}}_{K}[f](y)\,dy.$

このような公式は反転公式と呼ばれる。二変数の順番が変わっても変化しないような核は対称核と呼ばれる。

積分変換の定義について２つ注意を述べる。第一に積分（Eq.1）は常に収束するとは限らない。このため${\mathcal {T}}_{K}[f](x)$は$X$の全域で定義されるとは限らず、（Eq.1）が収束する$x\in X$全体の集合が${\mathcal {T}}_{K}[f](x)$の定義域となる。特に、${\mathcal {T}}_{K}[f](x)$がいかなる$x\in X$に対しても意味を持たない関数$f$も一般には存在しうる。そこで積分変換を考える場合は$f$の取りうる範囲を限定する事でこのような$f$を排除する必要がある。

第二に、上では$f$、$K$、および${\mathcal {T}}_{K}[f](x)$が通常の意味での関数である場合を考えたが、より一般にシュワルツ超関数であってもよい。

シュワルツの核定理

積分変換は明らかに線形性

${\mathcal {T}}_{K}[af+bg](x)=a{\mathcal {T}}_{K}[f](x)+b{\mathcal {T}}_{K}[f](x)$

を満たすが、十分性質の良い関数に（超関数を許容した）別の関数を対応させる線形変換で「連続」なものは積分変換に限られる事が知られている。

以下で${\mathcal {D}}(X)$は開集合$X\subset \mathbb {R} ^{m}$上定義されたテスト関数（＝台が有界な$C^{\infty }$級関数）全体の集合であり、${\mathcal {D}}'(Y)$は$Y$上のシュワルツ超関数の集合である。なお、${\mathcal {D}}(X)$、${\mathcal {D}}'(Y)$には標準的な位相構造が入れられているものとし（詳細はシュワルツ超関数の項目を参照）、したがって連続性の概念を定義可能である。

定理 (シュワルツの核定理) ― $X\subset \mathbb {R} ^{m}$、$Y\subset \mathbb {R} ^{n}$を開集合とし、

${\mathcal {T}}~:~{\mathcal {D}}(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)$

を連続線形写像とする。 このとき、$X\times Y$上のある超関数$K$が存在し、任意の$\varphi \in {\mathcal {D}}(X)$に対し、以下が成立する：

${\mathcal {T}}[\varphi ](y)=\int _{X}K(x,y)\varphi (x)\mathrm {d} x$　　　…(Eq.S1)

(Eq.S1)は積分によって記述されているものの、超関数をも許容している関係で実際には微分をも含む可能性がある事に注意されたい。例えば$K$がデルタ超関数の$k$回微分$\delta ^{(k)}(t)$を使って$K(x,y)=\delta ^{(k)}(y-x)$と書けていれば、

${\mathcal {T}}[\varphi ](y)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta ^{(k)}(y-x)\varphi (x)\mathrm {d} x=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(y)$

のように$\varphi$の$k$回微分で書ける。

具体例

一次元の積分変換とその逆変換

${\mathcal {T}}_{K}[f](u)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}K(t,u)f(t)\,dt$、$f(t)=\int _{u_{0}}^{u_{1}}K^{-1}(u,t){\mathcal {T}}_{K}[f](u)\,du.$

の具体例として下記のものがある。

積分変換の表

名称	記号	$K$	$t_{0}$	$t_{1}$	$K^{-1}$	$u_{0}$	$u_{1}$
フーリエ変換	${\mathcal {F}}$	${\frac {e^{-iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
フーリエ正弦変換	${\mathcal {F}}_{s}$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0\,$	$\infty \,$
フーリエ余弦変換	${\mathcal {F}}_{c}$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0\,$	$\infty \,$
ハートレー変換	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
メリン変換	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
両側ラプラス変換	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
ラプラス変換	${\mathcal {L}}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
ワイエルシュトラス変換	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}\,$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
ハンケル変換		$t\,J_{\nu }(ut)$	$0\,$	$\infty \,$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0\,$	$\infty \,$
アーベル変換		${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$	$u\,$	$\infty \,$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$	$t\,$	$\infty \,$
ヒルベルト変換	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
ポアソン核		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$	$0\,$	$2\pi \,$
恒等変換		$\delta (u-t)\,$	$t_{1}<u\,$	$t_{2}>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$

逆変換に対する積分の極限において、上の表における c は変換関数の性質に依存する定数となる。例えば、ラプラス変換あるいは両側ラプラス変換に対し、c は変換関数の零点の実部のうち最大のものよりも必ず大きい定数となる。

定義域が異なる場合

本項では主に、実数全体で定義された関数に対して定義される積分変換を扱うが、より一般な群上で定義された関数に対してもその積分変換を定義することが出来る。

• 円周群上で定義された函数（つまり周期関数）を用いた場合、積分核は二重周期関数となる。円周上の関数による畳み込みは巡回畳み込みである。
• 位数 n の巡回群（これを C_n や Z/nZ で表す）の上で定義された関数を用いた場合、積分核は n × n 行列となり、畳み込みは巡回行列に対応する。

参考文献

• A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• R. K. M. Thambynayagam, The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers, McGraw-Hill, New York, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Müller, Detlef (2026-08-01). An Invitation to Fourier Analysis and Distribution Theory. Universitext. Springer Cham. ISBN 978-3-032-31550-2 

関連項目

• 変換
• ベイトマン変換
• 畳み込み核
• 巡回畳み込み
• 巡回行列
• 微分方程式
• カーネルトリック
• カーネル法
• パーセヴァルの等式
• 変換の一覧
• 作用素の一覧
• フーリエに関連する変換の一覧
• ナッハビンの定理
• 再生核
• 記号積分