귀결 (논리학)

논리학에서, 명제 집합의 (논리적) 귀결((論理的)歸結, 영어: (logical) consequence) 또는 (논리적) 함의((論理的)含意, 영어: (logical) implication)는 이 명제 집합의 모든 모형에서 참인 명제이다.

정의

1차 논리의 공식의 집합 $\Gamma$ 및 공식 $\phi$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• 모든 1차 논리 구조 $M$ 및 $\Gamma$에 등장하는 자유 변수의 값매김 ${\vec {x}}\mapsto {\vec {a}}$에 대하여, 만약 모든 $\psi \in \Gamma$에 대하여 $M\models \psi [{\vec {a}}/{\vec {x}}]$라면, $M\models \phi [{\vec {a}}/{\vec {x}}]$이다.

그렇다면, 이를

$\Gamma \models \phi$

로 나타내며, $\phi$가 $\Gamma$의 귀결이라고 한다. 유한 개의 공식의 집합 $\Gamma =\{\psi _{1},\dots ,\psi _{n}\}$의 경우,

$\psi _{1},\dots ,\psi _{n}\models \phi$

로 써도 좋다.

예

전건 긍정의 형식의 의미론적 형태는 다음과 같다. 1차 논리 공식 $\phi$, $\psi$에 대하여,

$\phi ,(\phi \implies \psi )\models \psi$

이다.

성질

크레이그 보간 정리

 이 부분의 본문은 크레이그 보간 정리입니다.

크레이그 보간 정리에 따르면, 두 1차 논리 공식 $\phi$, $\psi$에 대하여, $\phi \models \psi$일 필요충분조건은 $\phi \models \theta \models \psi$이며 $\phi$와 $\psi$에 동시에 등장하는 기호만으로 이루어진 공식 $\theta$가 존재하는 것이다.

완전성 정리

 이 부분의 본문은 괴델의 완전성 정리입니다.

괴델의 완전성 정리에 따르면, 1차 논리의 공식의 집합 $\Gamma$ 및 공식 $\phi$에 대하여, $\Gamma \models \phi$일 필요충분조건은 $\Gamma \vdash \phi$(즉, $\phi$의 $\Gamma$-증명이 존재하는 것)이다.

관련 개념

항진 공식은 모든 구조 및 변수의 값매김에 대하여 참인 공식이다. 즉, 공집합의 귀결이다.

실질 조건문은 1차 논리의 기호 가운데 하나다. 두 1차 논리 공식 $\phi$와 $\psi$에 대하여, 실질 조건문 $\phi \implies \psi$ 역시 공식이다. 두 1차 논리 공식 $\phi$와 $\psi$에 대하여, $\psi$가 $\phi$의 귀결일 필요충분조건은 $\phi \implies \psi$가 항진 공식인 것이다.

만약 $\phi$의 $\Gamma$-증명이 존재한다면, $\phi$가 $\Gamma$의 정리라고 한다. 괴델의 완전성 정리에 따라, 1차 논리 공식 집합 $\Gamma$의 귀결은 $\Gamma$의 정리와 같고, 항진 공식은 공집합의 정리와 같다.

외부 링크

• Beall, Jc; Restall, Greg; Sagi, Gil. 〈Logical consequence〉 (영어). Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (편집). 《스탠퍼드 철학 백과사전》.