Faktorialas

Natūraliojo skaičiaus $n$ faktorialu vadinama visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki $n$ sandauga, pavyzdžiui:

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

Sutarta, kad skaičiaus 0 faktorialas lygus 1 (0! = 1) (tuščioji sandauga). Matematikoje sandauga, kurioje nėra dauginamųjų, laikoma lygia vienetui (suma, kurioje nėra sudedamųjų, laikoma lygia nuliui).

Formalūs apibrėžimai

Formaliai faktorialo funkciją galima apibrėžti kaip:

$n!=\prod _{k=1}^{n}k\!$. (natūraliųjų skaičių $k$ sandauga, kai $k$ kinta nuo 1 iki $n$)

arba

$n!=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{jei }}n{\mbox{=0}}\\n\cdot (n-1)!,&{\mbox{jei }}n\geq {\mbox{1}}\end{matrix}}\right.$

Apytiksliai suskaičiuoti didelių skaičių faktorialą galima naudojant Stirlingo formulę:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;n^{n}e^{-n}}=1$

Norint iš šios formulės išreikšti $n!$ reikšmę, gaunama asimptotinė lygybė:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\;n^{n}e^{-n}$

Simbolis $\sim$ reiškia, kad didėjant $n$ reikšmei abiejų lygybės pusių santykis artėja link vieneto.

Ryšys su Gama funkcija

Faktorialo funkcija gali būti apibrėžta ir ne sveikiesiems skaičiams. Tokia funkcija yra vadinama gama funkcija ir yra žymima $\Gamma (z)$, kai z nėra 0 arba sveikas neigiamas skaičius. Gama funkcija taip pat yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus nulį ir sveikus neigiamus skaičius.

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.\!$

Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius:

$n!=n(n-1)!\,$

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,$

Ne sveikųjų skaičių faktorialui apskaičiuoti naudojama Gama funkcijos ir faktorialo sąryšio formulė:

$n!=\Gamma (n+1)$

Skaičius $0{,}5!$, priešingai nei kiti nesveikieji skaičiai, išsiskiria išreiškimo būdu:

$0{,}5!=\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

Dvigubas faktorialas

Dvigubas faktorialas (žymimas $n!!$) nurodo kas antro natūraliojo skaičiaus sandaugą. Jeigu $n$ yra nelyginis skaičius, sandauga prasideda vienetu. Jeigu $n$ yra lyginis skaičius, sandauga prasideda dvejetu. Pavyzdžiai:

$7!!=7\times 5\times 3\times 1=105$

$8!!=8\times 6\times 4\times 2=384$

Taip pat lyginio skaičiaus dvigubas faktorialas išreikškiamas formule $(2n)!!=2^{n}n!$, pavyzdžiui:

$8!!=(2\cdot 4)!!=2^{4}\cdot 4!=16\cdot 24=384$

Sutarta, kad skaičiaus 0 dvigubas faktorialas lygus 1 (tuščioji sandauga).

Trigubas faktorialas

Trigubas faktorialas (žymimas $n!!!$) nurodo kas trečio natūraliojo skaičiaus sandaugą. Sandauga prasideda skaičiumi $n$ ir kiekvienas sekantis daugiklis yra 3 vienetais mažesnis už praeitąjį iki kol pasiekiamas paskutinis daugiklis: 1, 2 arba 3. Pavyzdžiai:

$10!!!=10\times 7\times 4\times 1=280$

$11!!!=11\times 8\times 5\times 2=440$

$12!!!=12\times 9\times 6\times 3=1944$

Taip pat trigubo faktorialo reikšmę galima išreikšti pasitelkus papildomą kintamąjį $m$ – natūralųjį skaičių (t. y. kai $n=3m$, $n$ yra dalus iš trijų; kai $n=3m+1$, $n$ yra dalus iš trijų su liekana 1; $n=3m+2$, $n$ yra dalus iš trijų su liekana 2):

$n!!!={\begin{cases}3^{m}\,m!,&{\text{kai }}n=3m\\[6pt]3^{m}\,{\frac {\Gamma \!\left(m+{\frac {4}{3}}\right)}{\Gamma \!\left({\frac {4}{3}}\right)}},&{\text{kai }}n=3m+1\\[6pt]3^{m}\,{\frac {\Gamma \!\left(m+{\frac {5}{3}}\right)}{\Gamma \!\left({\frac {5}{3}}\right)}},&{\text{kai }}n=3m+2\end{cases}}$

Sutarta, kad skaičių 0, 1 ir 2 trigubas faktorialas lygus 1 (tuščioji sandauga).

Iteruoti faktorialai

Iteruoti faktorialai – faktorialai, kurie žymimi su keliais šauktukais, matematiškai dažniausiai apibrėžiami kaip k-gubiniai faktorialai, žymimi $n!^{(k)}$, kur $k$ nurodo šauktukų kiekį. Natūraliojo skaičiaus interuoto faktorialo reikšmė lygi visų natūraliųjų skaičių nuo $n$ iki $((n-1){\bmod {k}})+1$ sandaugai. Formaliai iteruoto faktorialo reikšmę galima apibrėžti kaip:

$n!^{(k)}=k^{m+1}{\frac {\Gamma \!\left(m+1+{\frac {r}{k}}\right)}{\Gamma \!\left({\frac {r}{k}}\right)}}$

kur:

$n=mk+r$

$m=\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor$

$r=n-k\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor$.

Visų natūraliųjų skaičių $n$ (kai $0\leq n<k$) interuoti faktorialai lygūs vienam (n!^(k)=1). Kai $n=k$, tada n!^(k)=n.

Faktorialų reikšmės

n	n!	n!!	n!!!
0	1	1	1
1	1	1	1
2	2	2	1
3	6	3	3
4	24	8	4
5	120	15	5
6	720	48	18
7	5 040	105	28
8	40 320	384	40
9	362 880	945	162
10	3 628 800	3 840	280
11	39 916 800	10 395	440
12	479 001 600	46 080	1 944
13	6 227 020 800	135 135	3 640
14	87 178 291 200	645 120	6 160
15	1 307 674 368 000	2 027 025	29 160
16	20 922 789 888 000	10 321 920	58 240
17	355 687 428 096 000	34 459 425	104 720
18	6 402 373 705 728 000	185 794 560	524 880
19	121 645 100 408 832 000	654 729 075	1 106 560
20	2 432 902 008 176 640 000	3 715 891 200	2 094 400
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000	7 905 853 580 625	608 608 000
30	265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000	42 849 873 690 624 000	214 277 011 200

Nuorodos

• http://factorielle.free.fr
• https://www.skaiciuokle.lt/skaiciuokles/faktorialas
• https://www.calculatorsoup.com/calculators/discretemathematics/multifactorials.php

Šaltiniai

Vikižodynas