Statisch (on)bepaald

Een constructie is statisch bepaald als men in een constructieberekening kan volstaan met evenwichtsvergelijkingen, om de op de constructie werkzame krachten te berekenen. Dit betekent in wiskundige zin dat er evenveel onafhankelijke evenwichtsvergelijkingen zijn als onbekenden.

Bij statisch onbepaalde constructies worden de inwendige krachten niet alleen door de uitwendige krachten bepaald, maar zijn ze ook afhankelijk van de stijfheid van de bouwelementen, van de constructie-onderdelen en van eventuele verplaatsing, zoals verzakken van de ondersteuningspunten, zodat de berekeningen ingewikkelder en onzekerder worden.

Statisch bepaald

Statisch bepaalde vakwerkconstructie

Statische bepaaldheid houdt zowel inwendige als uitwendige statische bepaaldheid in. Een constructie zoals een vakwerk kan uitwendig statisch bepaald, maar inwendig statisch onbepaald zijn. De constructie is 'inwendig statisch bepaald' als geen vrije vervormingen mogelijk zijn zonder een verbinding weg te nemen zoals een constructie met balken die onderling middels scharnieren met elkaar verbonden zijn. Dit wordt in de figuur met een inwendig statisch bepaalde vakwerkconstructie geïllustreerd. De hoekpunten zijn scharnieren, maar vervorming tot een parallellogram wordt door de diagonale verbinding tegengegaan. Wegnemen van een staaf zorgt ervoor dat minstens één staaf vrij kan bewegen.

De constructie is 'uitwendig statisch bepaald' indien de reactiekracht of oplegreactie, uitgevoerd door de verbindingen met de omgeving, kunnen worden bepaald door alleen gebruik te maken van de vergelijkingen van het statische evenwicht. De krachten die ontstaan in een inwendig en uitwendig statisch bepaalde constructie worden geheel bepaald door de uitwendige belasting en bijvoorbeeld niet door uitzetting of krimp van individuele elementen. Reactiekracht en oplegreactie zijn synoniem.

Als er wel vrije vervormingen mogelijk zijn is er sprake van een mechanisme. Als er daarentegen verbindingen zijn die zonder dat er een mechanisme ontstaat kunnen worden weggenomen is er sprake van een statisch onbepaalde constructie.

Berekeningen

Het krachtenspel in een statisch bepaalde constructie wordt geheel door evenwichtsvergelijkingen bepaald. Het is daarbij niet nodig materiaaleigenschappen, zoals de stijfheid, van de onderdelen van de constructie te kennen.

Het berekenen van de vervorming van een statisch bepaalde constructie als gevolg van uitwendige krachten verloopt dus in twee gescheiden stappen:

1. berekening van de reactiekrachten trekkracht, druk en moment uit evenwichtsvergelijkingen en de uitwendige kracht.
2. berekening van de vervormingen van de elementen afzonderlijk op basis van de eerder bepaalde inwendige kracht en stijfheid.

Evenwichtsvergelijkingen

Op basis van de wetten van Newton kunnen in een constructie in rust, in tweedimensionale gevallen, de reactiekrachten als volgt worden bepaald:

• De resultante van de krachten is 0, voor een tweedimensionale constructie betekent dat
  • de som van de horizontale krachten 0 is,
  • de som van de verticale krachten o is en
• de som van de momenten 0 is.

Er zijn in sommige gevallen nog meer vergelijkingen: zo is het buigend moment in scharnieren en trekstaven of kabels gelijk aan nul, die dan een of meer van de vorige vergelijkingen kunnen vervangen.

Vakwerken

Een vakwerk met $K$ scharnieren/knooppunten en $S$ staven is inwendig statisch bepaald als $S=2K-3$, mits de staven doelmatig zijn aangebracht.

Voorbeelden statisch bepaald

De eenvoudigste statisch bepaalde constructie met balken en scharnieren in twee dimensies is een driehoek, in drie dimensies is dat het regelmatige viervlak.

Andere voorbeelden van statisch bepaalde constructies zijn:

• uitkragende, ingeklemde balken,
• gerberliggers,
• driescharnierspanten en
• vakwerkconstructies.

Statisch onbepaald

Statisch onbepaalde vakwerkconstructie

Wanneer het verplaatsen of roteren van een constructie, of van een constructiedeel, overvloedig wordt verhinderd spreekt men van een statisch onbepaalde constructie of een hyperstatisch systeem. In een onbepaald vakwerk kan een verbinding worden weggehaald, zonder dat er een mechanisme ontstaat. Bij statisch onbepaalde constructies zijn er, zuiver wiskundig bezien, meer onbekenden dan onafhankelijke evenwichtsvergelijkingen en dan zijn de vergelijkingen niet op te lossen. Dit betekent dat er andere vergelijkingen gevonden moeten worden die onder meer de vervormingen bepalen. Die vervormingen zijn echter moeilijker te bepalen en zijn minder zeker.

Daarnaast zal de krachtverdeling in zulke constructies veranderen wanneer steunpunten zich verticaal verplaatsen, bijvoorbeeld doorzakken, of bij een verlenging of verkorting van de constructiedelen, of algemeen wanneer de vervormingen anders zijn dan verwacht. Dit speelt bij het ontwerpen van fluidbed-ondersteuningssystemen. Vóór de brede beschikbaarheid van computers werd veel de methode van Hardy Cross voor momentvereffening gebruikt. Tegenwoordig wordt algemeen de eindige-elementenmethode gebruikt.

Voorbeelden statisch onbepaald

Voorbeelden van statisch onbepaalde constructies zijn:

• doorgaande liggers over drie of meer steunpunten en
• vakwerken met momentvaste, niet scharnierende knooppunten, zoals in een vierendeelbrug.

Vrijmaken

Vrijmaken is het in bijvoorbeeld een technische tekening apart weergeven van alle starre onderdelen en daarbij alle uitwendige krachten als vectoren. De statisch bepaalde en onbepaalde delen van een vakwerk kunnen hiermee in de tekening van elkaar worden onderscheiden.

Voetnoten

Wikibooks

Wikibooks heeft meer over dit onderwerp: Statica.