Autocorrelação

 

Acima: Um gráfico de uma série de 100 números aleatórios ocultando uma função seno. Abaixo: Seu correlograma plota a função de autocorrelação (FAC) da série no eixo y para cada defasagem (lag) no eixo x. Os picos ocorrem nas defasagens em que a série é altamente correlacionada consigo mesma. Picos à direita do pico inicial na defasagem 0 indicam periodicidade na série e ajudam a estimar o período da função seno oculta.

Comparação visual de convolução, correlação cruzada e autocorrelação. Para as operações envolvendo a função f, e assumindo que a altura de f seja 1,0, o valor do resultado em 5 pontos diferentes é indicado pela área sombreada abaixo de cada ponto. Além disso, a simetria de f é a razão pela qual $g*f$ e $f\star g$ são idênticos neste exemplo.

Autocorrelação, às vezes conhecida como correlação serial no caso de tempo discreto, mede a correlação de um sinal com uma cópia atrasada de si mesmo. Essencialmente, ela quantifica a similaridade entre observações de uma variável aleatória em diferentes pontos de seu domínio (comumente, o tempo). A análise de autocorrelação é uma ferramenta matemática para identificar padrões repetitivos ou periodicidades ocultas dentro de um sinal obscurecido por ruído (Processamento de Sinais). A autocorrelação é amplamente utilizada em processamento de sinais, domínio do tempo e análise de séries temporais para compreender o comportamento de dados ao longo do tempo.

Diferentes áreas de estudo definem a autocorrelação de maneiras distintas, e nem todas essas definições são equivalentes. Em algumas áreas, o termo é usado como sinônimo de autocovariância .

Vários modelos de séries temporais incorporam a autocorrelação, como processos de raiz unitária, processos estacionários em torno de uma tendência, processos autorregressivos e processos de médias móveis.

Autocorrelação de processos estocásticos

Em estatística, a autocorrelação de um processo aleatório real ou complexo é a correlação de Pearson entre os valores do processo em diferentes momentos, em função dos dois instantes ou da defasagem temporal. Seja $\left\{X_{t}\right\}$ um processo aleatório ao longo do tempo e $X_{t}$ a variável aleatória no tempo $t$. ($t$ pode ser um inteiro para um processo em tempo discreto ou um número real para um processo em tempo contínuo.) Então, a definição da função de autocorrelação entre os instantes $t_{1}$ e $t_{2}$ é:

$\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]$

onde $\operatorname {E}$ é o operador valor esperado e a barra representa a conjugação complexa. Note que a esperança pode não estar bem definida. Suponha que o processo tenha média $\mu _{t}$ e variância $\sigma _{t}^{2}$ no tempo $t$, para cada $t$. Subtrair a média antes da multiplicação resulta na função de autocovariância entre os instantes $t_{1}$ e $t_{2}$:

${\begin{aligned}\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})&=\operatorname {E} \left[(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}){\overline {(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}\\&=\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}\end{aligned}}$

Note que esta expressão não é bem definida para todas as séries temporais ou processos, pois a média pode não existir, ou a variância pode ser zero (para um processo constante) ou infinita (para processos com distribuições que carecem de momentos bem comportados, como certos tipos de lei de potência).

Definição de processo estocástico estacionário em sentido amplo

Se $\left\{X_{t}\right\}$ for um processo estacionário no sentido amplo, então a média $\mu$ e a variância $\sigma ^{2}$ são independentes do tempo e, além disso, a função de autocovariância depende apenas da defasagem entre $t_{1}$ e $t_{2}$: a autocovariância depende unicamente da distância temporal entre o par de valores, mas não de sua posição no tempo. Isso implica ainda que a autocovariância e a autocorrelação podem ser expressas como uma função da defasagem temporal, e que esta seria uma função par da defasagem $\tau =t_{2}-t_{1}$. Isso resulta nas formas mais conhecidas para a função de autocorrelação:

$\operatorname {R} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]$

e a função de autocovariância :

${\begin{aligned}\operatorname {K} _{XX}(\tau )&=\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]-\mu {\overline {\mu }}\\&=\operatorname {R} _{XX}(\tau )-\mu {\overline {\mu }}\end{aligned}}$

Em particular, observe que

$$\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}.$$

Normalização

It is common practice in some disciplines (e.g. statistics and time series analysis) to normalize the autocovariance function to get a time-dependent Pearson correlation coefficient. However, in other disciplines (e.g. engineering) the normalization is usually dropped and the terms "autocorrelation" and "autocovariance" are used interchangeably.

A definição do coeficiente de autocorrelação de um processo estocástico é:

$${\begin{aligned}\rho _{XX}(t_{1},t_{2})&={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}\\&={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right){\overline {\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)}}\right]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}.\end{aligned}}$$

Se a função $\rho _{XX}$ está bem definida, seu valor deve estar dentro do intervalo $[-1,1]$, sendo 1 indicativo de correlação perfeita e −1 de anticorrelacão perfeita.

Para um processo estacionário em sentido amplo (WSS, do inglês Wide-Sense Stationary Process), a definição é:

$$\rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]}{\sigma ^{2}}}.$$

A normalização é importante tanto porque a interpretação da autocorrelação como uma correlação fornece uma medida adimensional da força da dependência estatística, quanto porque a normalização tem um efeito sobre as propriedades estatísticas das autocorrelações estimadas.

Propriedades

Propriedade de simetria

O fato de a função de autocorrelação $\operatorname {R} _{XX}$ é uma função par que pode ser declarada como $$\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{XX}(t_{2},t_{1})}}$$ respectivamente para um processo WSS: $$\operatorname {R} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{XX}(-\tau )}}.$$

Máximo em zero

Para um processo WSS: $$\left|\operatorname {R} _{XX}(\tau )\right|\leq \operatorname {R} _{XX}(0)$$ Observe que $\operatorname {R} _{XX}(0)$ É sempre real.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

A desigualdade de Cauchy-Schwarz, desigualdade para processos estocásticos: $$\left|\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|X_{t_{1}}|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|X_{t_{2}}|^{2}\right]$$

Autocorrelação do ruído branco

A autocorrelação de um sinal de ruído branco de tempo contínuo terá um pico acentuado (representado por uma função delta de Dirac ) em $\tau =0$ e será exatamente $0$ para todos os outros $\tau$ .

Teorema de Wiener-Khinchin

O teorema de Wiener-Khinchin relaciona a função de autocorrelação $\operatorname {R} _{XX}$ com a densidade espectral de potência $S_{XX}$ por meio da transformada de Fourier :

$${\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )e^{i\omega \tau }\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )e^{-i\omega \tau }\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}$$

Para funções de valor real, a função de autocorrelação simétrica possui uma transformada simétrica real, portanto o teorema de Wiener-Khinchin pode ser reescrito apenas em termos de cossenos reais:

$${\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}$$

Autocorrelação de vetores aleatórios

A matriz de autocorrelação (potencialmente dependente do tempo), também chamada de segundo momento, de um vetor aleatório (potencialmente dependente do tempo) $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ é um $n\times n$ matriz contendo como elementos as autocorrelações de todos os pares de elementos do vetor aleatório $\mathbf {X}$ . A matriz de autocorrelação é utilizada em diversos algoritmos de processamento digital de sinais.

Para um vetor aleatório $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ contendo elementos aleatórios cujo valor esperado e variância existem, a matriz de autocorrelação é definida por

$\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\rm {T}}\right]$

onde ${}^{\rm {T}}$ denota a transposição do vetor.

$\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }$ é uma matriz de dimensões $n\times n$ :

$$\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}X_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}X_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{n}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{n}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{n}X_{n}]\end{bmatrix}}$$

Por exemplo, se $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}$ é um vetor aleatório, então $\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }$ é um $3\times 3$ matriz cuja $(i,j)$ -ésima entrada é $\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]$ .

Se $\mathbf {Z}$ é um vetor aleatório complexo, a matriz de autocorrelação é definida por

$$\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\rm {H}}].$$

Aqui ${}^{\rm {H}}$ denota a transposta hermitiana .

Propriedades da matriz de autocorrelação

• A matriz de autocorrelação é uma matriz hermitiana para vetores aleatórios complexos e uma matriz simétrica para vetores aleatórios reais.
• A matriz de autocorrelação é uma matriz semidefinida positiva, ou seja $\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{para todo }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ para um vetor aleatório real e, respectivamente, $\mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{para todo }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}$ no caso de um vetor aleatório complexo.
• Todos os autovalores da matriz de autocorrelação são reais e não negativos.
• A matriz de autocovariância está relacionada à matriz de autocorrelação da seguinte forma: $${\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\rm {T}}\right]\\&=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\rm {T}}\end{aligned}}$$ Respectivamente, para vetores aleatórios complexos: $${\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])^{\rm {H}}\right]\\&=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]^{\rm {H}}\end{aligned}}$$

Autocorrelação de sinais determinísticos

Em processamento de sinais, a definição acima é frequentemente usada sem a normalização, ou seja, sem subtrair a média e dividir pela variância. Quando a função de autocorrelação é normalizada pela média e pela variância, às vezes é chamada de coeficiente de autocorrelação ou função de autocovariância.

Autocorrelação de sinal de tempo contínuo

Dado um sinal $f(t)$, a autocorrelação contínua $R_{ff}(\tau )$ é definida mais frequentemente como a integral de correlação cruzada contínua de $f(t)$ consigo mesmo, com atraso $\tau$ .

$R_{ff}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {f(t-\tau )}}\,{\rm {d}}t$

onde ${\overline {f(t)}}$ representa o conjugado complexo de $f(t)$ . Observe que o parâmetro $t$, na integral, é uma variável fictícia e só é necessária para calcular a integral. Não possui um significado específico.

Autocorrelação de sinais de tempo discreto

A autocorrelação discreta $R$ com atraso $\ell$ para um sinal de tempo discreto $y(n)$ é

$R_{yy}(\ell )=\sum _{n\in Z}y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}$

As definições acima funcionam para sinais que são de quadrado integrável ou de quadrado somável, isto é, de energia finita. Sinais que "duram para sempre" são tratados, em vez disso, como processos aleatórios, caso em que são necessárias definições diferentes, baseadas em valores esperados. Para processos aleatórios estacionários no sentido amplo, as autocorrelações são definidas como:

$${\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f(t-\tau )}}\right]\\R_{yy}(\ell )&=\operatorname {E} \left[y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}\right].\end{aligned}}$$

Para processos que não são estacionários, estas também serão funções de $t$, ou $n$ .

Para processos que também são ergódicos, a esperança pode ser substituída pelo limite de uma média temporal. A autocorrelação de um processo ergódico é às vezes definida como ou equiparada a

$${\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t\\R_{yy}(\ell )&=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}.\end{aligned}}$$

Essas definições têm a vantagem de fornecer resultados sensatos e bem definidos com um único parâmetro para funções periódicas, mesmo quando essas funções não são a saída de processos ergódicos estacionários.

Alternativamente, sinais que duram indefinidamente podem ser tratados por meio de uma análise de função de autocorrelação de curto prazo, utilizando integrais de tempo finito. (Veja transformada de Fourier de curto prazo para um processo relacionado.)

Definição de sinais periódicos

Se $f$ é uma função periódica contínua de período $T$, a integração de $-\infty$ para $\infty$ é substituída pela integração em qualquer intervalo $[t_{0},t_{0}+T]$ de comprimento $T$ :

$$R_{ff}(\tau )\triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,dt$$

que é equivalente a

$$R_{ff}(\tau )\triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t){\overline {f(t-\tau )}}\,dt$$

Propriedades

A seguir, descreveremos apenas as propriedades das autocorrelações unidimensionais, uma vez que a maioria das propriedades pode ser facilmente transferida do caso unidimensional para os casos multidimensionais. Essas propriedades são válidas para processos estacionários em sentido amplo .

• Uma propriedade fundamental da autocorrelação é a simetria, $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$, que é fácil de demonstrar a partir da definição. No caso contínuo,
  • a autocorrelação é uma função par $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )$ quando $f$ for uma função real, e
  • a autocorrelação é uma função hermitiana $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )$ quando $f$ for uma função complexa.
• A função de autocorrelação contínua atinge seu pico na origem, onde assume um valor real, isto é, para qualquer atraso $\tau$, $|R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)$. Esta é uma consequência da desigualdade de rearranjo. O mesmo resultado é válido no caso discreto.
• A autocorrelação de uma função periódica é, ela própria, periódica com o mesmo período.
• A autocorrelação da soma de duas funções completamente não correlacionadas (a correlação cruzada é zero para todo $\tau$) é a soma das autocorrelações de cada função separadamente.
• Como a autocorrelação é um tipo específico de correlação cruzada, ela mantém todas as propriedades da correlação cruzada.
• Ao utilizar o símbolo $*$ para representar a convolução e sendo $g_{-1}$ uma função que manipula a função $f$ e é definida como $g_{-1}(f)(t)=f(-t)$, a definição de $R_{ff}(\tau )$ pode ser escrita como:$$R_{ff}(\tau )=(f*g_{-1}({\overline {f}}))(\tau )$$

Autocorrelação multidimensional

A autocorrelação multidimensional é definida de forma semelhante. Por exemplo, em três dimensões, a autocorrelação de um sinal discreto que pode ser somado ao quadrado seria

$$R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,{\overline {x}}_{n-j,q-k,r-\ell }.$$

Quando os valores médios são subtraídos dos sinais antes de calcular uma função de autocorrelação, a função resultante é geralmente chamada de função de autocovariância.

Computação eficiente

Para dados expressos como uma sequência discreta, frequentemente é necessário calcular a autocorrelação com alta eficiência computacional. Um método de força bruta baseado na definição de processamento de sinais ${\textstyle R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}}$ pode ser usado quando o tamanho do sinal é pequeno. Por exemplo, para calcular a autocorrelação da sequência de sinal real $x=(2,3,-1)$ (isto é, $x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1$, e $x_{i}=0$ para todos os outros valores de i) manualmente, reconhecemos primeiro que a definição recém-apresentada é a mesma que a multiplicação "usual", mas com deslocamentos para a direita, onde cada adição vertical fornece a autocorrelação para valores de defasagem específicos: $${\begin{array}{rrrrrr}&2&3&-1\\\times &2&3&-1\\\hline &-2&-3&1\\&&6&9&-3\\+&&&4&6&-2\\\hline &-2&3&14&3&-2\end{array}}$$

Assim, a sequência de autocorrelação desejada é $R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)$, onde $R_{xx}(0)=14,$ $R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,$ e $R_{xx}(-2)=R_{xx}(2)=-2,$ sendo a autocorrelação para os demais valores de defasagem igual a zero. Neste cálculo, não realizamos a operação de "vai um" (transporte) durante a adição, como é habitual na multiplicação comum. Note que podemos reduzir pela metade o número de operações necessárias ao explorar a simetria inerente da autocorrelação. Se o sinal for periódico, isto é, $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ então obtemos uma autocorrelação circular (semelhante à convolução circular) onde as caudas esquerda e direita da sequência de autocorrelação anterior se sobreporão e fornecerão $R_{xx}=(\ldots ,14,1,1,14,1,1,\ldots )$, a qual possui o mesmo período da sequência de sinal $x.$ O procedimento pode ser considerado uma aplicação da propriedade de convolução da transformada Z de um sinal discreto.

Enquanto o algoritmo de força bruta é de ordem n², existem vários algoritmos eficientes capazes de calcular a autocorrelação em ordem n log(n). Por exemplo, o teorema de Wiener–Khinchin permite calcular a autocorrelação a partir dos dados brutos X(t) por meio de duas transformadas rápidas de Fourier (FFT):

$${\begin{aligned}F_{R}(f)&=\operatorname {FFT} [X(t)]\\S(f)&=F_{R}(f)F_{R}^{*}(f)\\R(\tau )&=\operatorname {IFFT} [S(f)]\end{aligned}}$$

onde IFFT denota a transformada rápida de Fourier inversa. O asterisco denota o conjugado complexo.

Alternativamente, uma correlação múltipla em τ pode ser realizada usando cálculo por força bruta para valores baixos de τ e, em seguida, agrupando progressivamente os dados de X(t) em intervalos (binning) com uma densidade logarítmica para calcular valores mais altos, resultando na mesma eficiência n log(n), mas com menores requisitos de memória.

Estimativa

Para um processo discreto com média e variância conhecidas, para o qual observamos $n$ observações $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n}\}$, uma estimativa do coeficiente de autocorrelação pode ser obtida como

$${\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum _{t=1}^{n-k}(X_{t}-\mu )(X_{t+k}-\mu )$$

para qualquer inteiro positivo $k<n$ . Quando a verdadeira média $\mu$ e variância $\sigma ^{2}$ Se os valores forem conhecidos, essa estimativa não é enviesada. Se a verdadeira média e a variância do processo não forem conhecidas, existem várias possibilidades:

• Se $\mu$ e $\sigma ^{2}$ Se forem substituídas pelas fórmulas padrão para média e variância da amostra, então esta é uma estimativa enviesada .
• Uma estimativa baseada em periodograma substitui $n-k$ na fórmula acima com $n$ . Esta estimativa é sempre enviesada; no entanto, geralmente tem um erro quadrático médio menor.
• Outras possibilidades derivam do tratamento das duas porções de dados. $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}$ e $\{X_{k+1},\,X_{k+2},\,\ldots ,\,X_{n}\}$ separadamente e calculando médias amostrais e/ou variâncias amostrais separadas para uso na definição da estimativa. 

A vantagem das estimativas do último tipo é que o conjunto de autocorrelações estimadas, como uma função de $k$, forma então uma função que é uma autocorrelação válida, no sentido de que é possível definir um processo teórico que possua exatamente essa autocorrelação. Outras estimativas podem sofrer do problema de que, se forem usadas para calcular a variância de uma combinação linear dos $X$, a variância calculada pode vir a ser negativa.

Teorema de Hassani −1/2

Na análise de séries temporais, o teorema −1/2 de Hassani é uma identidade de amostra finita referente ao estimador convencional da função de autocorrelação amostral (FAC). Para uma série temporal de comprimento $T\geq 2$, utilizando o estimador usual corrigido pela média amostral ${\hat {\rho }}(h)$, Hassani demonstrou que a soma das autocorrelações amostrais ao longo de todas as defasagens positivas é constante:

$$\sum _{h=1}^{T-1}{\hat {\rho }}(h)=-{\tfrac {1}{2}}.$$

A identidade decorre do fato de que as autocovariâncias amostrais são calculadas após a subtração da média amostral. Consequentemente, as observações centradas somam zero, o que impõe uma restrição algébrica sobre o conjunto completo de autocorrelações amostrais. O teorema é, portanto, uma propriedade do estimador e da amostra finita, e não uma propriedade do processo estocástico subjacente.

O resultado implica que as autocorrelações amostrais entre as defasagens não são independentes. Mostra também que a FAC amostral não pode ser positiva globalmente quando somada ao longo de todas as defasagens positivas. Isso tem gerado alertas contra a interpretação da soma das autocorrelações estimadas como uma medida direta de dependência total, persistência ou comportamento de memória longa, uma vez que a soma sobre todas as defasagens é fixada em $-1/2$, independentemente da série temporal estacionária subjacente.

O teorema tem sido discutido em relação à verificação diagnóstica e à seleção de modelos na análise de séries temporais. Em particular, trabalhos posteriores examinaram suas implicações para testes baseados em autocorrelações amostrais, incluindo a estatística de Ljung–Box, e para a interpretação de padrões empíricos da FAC em processos de memória curta e memória longa. A identidade também tem sido utilizada para enfatizar a distinção entre as autocorrelações teóricas de um processo e as autocorrelações empíricas estimadas a partir de uma amostra finita.

O teorema se aplica ao estimador padrão da FAC corrigido pela média amostral. Ele não deve ser confundido com afirmações sobre a soma da função de autocorrelação teórica do processo subjacente, a qual pode variar dependendo do modelo e de seus parâmetros.

Análise de regressão

Na análise de regressão utilizando dados de séries temporais, a autocorrelação em uma variável de interesse é tipicamente modelada por meio de um modelo autorregressivo (AR), um modelo de médias móveis (MA), a combinação de ambos como um modelo autorregressivo de médias móveis (ARMA) ou uma extensão deste último denominada modelo autorregressivo integrado de médias móveis (ARIMA). Com múltiplas séries de dados inter-relacionadas, utilizam-se a vetor autorregressão (VAR) ou suas extensões.

Em mínimos quadrados ordinários (MQO), a adequação da especificação de um modelo pode ser verificada, em parte, estabelecendo-se se há autocorrelação dos resíduos da regressão. A autocorrelação problemática dos erros — que, por si sós, não são observáveis — geralmente pode ser detectada porque produz autocorrelação nos resíduos observáveis. (Os erros também são conhecidos como "termos de erro" em econometria.) A autocorrelação dos erros viola a premissa dos mínimos quadrados ordinários de que os termos de erro são não correlacionados, o que significa que o teorema de Gauss–Markov não se aplica e que os estimadores de MQO deixam de ser os melhores estimadores lineares não tendenciosos (BLUE). Embora não introduza viés nas estimativas dos coeficientes de MQO, os erros padrão tendem a ser subestimados (e as estatísticas t superestimadas) quando as autocorrelações dos erros em defasagens baixas são positivas.

O teste tradicional para a presença de autocorrelação de primeira ordem é a estatística de Durbin-Watson ou, se as variáveis explicativas incluírem uma variável dependente defasada, a estatística h de Durbin. No entanto, a estatística de Durbin-Watson pode ser mapeada linearmente para a correlação de Pearson entre os valores e suas defasagens. Um teste mais flexível, que abrange autocorrelações de ordens superiores e é aplicável quer os regressores incluam ou não defasagens da variável dependente, é o teste de Breusch-Godfrey. Este envolve uma regressão auxiliar, na qual os resíduos obtidos da estimação do modelo de interesse são regredidos sobre (a) os regressores originais e (b) k defasagens dos resíduos, onde 'k' é a ordem do teste. A versão mais simples da estatística de teste proveniente dessa regressão auxiliar é TR², onde T é o tamanho da amostra e R² é o coeficiente de determinação. Sob a hipótese nula de não autocorrelação, essa estatística é assintoticamente distribuída como $\chi ^{2}$ com k graus de liberdade.

As respostas à autocorrelação não nula incluem mínimos quadrados generalizados e o estimador HAC de Newey-West (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent).

Na estimação de um modelo de média móvel (MA), a função de autocorrelação é usada para determinar o número apropriado de termos de erro defasados a serem incluídos. Isso se baseia no fato de que, para um processo MA de ordem q, temos $R(\tau )\neq 0$, para $\tau =0,1,\ldots ,q$, e $R(\tau )=0$, para $\tau >q$ .

Aplicações

A capacidade da autocorrelação de encontrar padrões repetitivos em dados gera muitas aplicações, incluindo:

• A análise de autocorrelação é amplamente utilizada na espectroscopia de correlação de fluorescência para fornecer informações quantitativas sobre a difusão em nível molecular e reações químicas.
• Outra aplicação da autocorrelação é a medição de espectros ópticos e a medição de pulsos de luz de curtíssima duração produzidos por lasers, ambos utilizando autocorrelacionadores ópticos.
• A autocorrelação é usada para analisar dados de espalhamento de luz dinâmico, o que permite notavelmente a determinação da distribuição de tamanho de partículas de partículas de escala nanométrica ou micelas suspensas em um fluido. Um laser incidindo sobre a mistura produz um padrão de speckle resultante do movimento das partículas. A autocorrelação do sinal pode ser analisada em termos da difusão das partículas. A partir disso, conhecendo-se a viscosidade do fluido, o tamanho das partículas pode ser calculado.
• Utilizada no sistema GPS para corrigir o atraso de propagação, ou deslocamento temporal, entre o instante da transmissão do sinal portador nos satélites e o momento da recepção no receptor em solo. Isso é feito pelo receptor por meio da geração de um sinal de réplica do código C/A (Coarse/Acquisition) de 1.023 bits e da geração de sequências de chips de código [-1,1] em pacotes de dez por vez, ou 10.230 chips (1.023 × 10), deslocando-se ligeiramente ao longo do processo para compensar o desvio Doppler no sinal recebido do satélite, até que o sinal de réplica do receptor e os códigos do sinal do satélite coincidam.
• A intensidade do espalhamento de raios X a baixo ângulo de um sistema nanoestruturado é a transformada de Fourier da função de autocorrelação espacial da densidade eletrônica.
• Na ciência das superfícies e na microscopia por varredura de sonda, a autocorrelação é usada para estabelecer uma ligação entre a morfologia da superfície e suas características funcionais.
• Em óptica, autocorrelações e correlações cruzadas normalizadas fornecem o grau de coerência de um campo eletromagnético.
• Na astronomia, a autocorrelação pode determinar a frequência de pulsares.
• Na música, a autocorrelação (quando aplicada em escalas de tempo menores que um segundo) é usada como um algoritmo de detecção de tom tanto para afinadores de instrumentos quanto para o "Auto-Tune" (usado como efeito de distorção ou para corrigir a entonação). Quando aplicada em escalas de tempo maiores que um segundo, a autocorrelação pode identificar a batida musical, por exemplo para determinar o andamento.
• A autocorrelação no espaço em vez do tempo, por meio da função de Patterson, é utilizada por especialistas em difração de raios X para ajudar a recuperar a "informação da fase de Fourier" sobre as posições dos átomos que não está disponível apenas através da difração.
• Na estatística, a autocorrelação espacial entre locais amostrais também ajuda a estimar incertezas do valor médio ao amostrar uma população heterogênea.
• O algoritmo SEQUEST para analisar espectros de massa faz uso da autocorrelação em conjunto com a correlação cruzada para pontuar a similaridade de um espectro observado com um espectro idealizado representando um peptídeo.
• Na astrofísica, a autocorrelação é usada para estudar e caracterizar a distribuição espacial de galáxias no universo e em observações em múltiplos comprimentos de onda de binárias de raios X de baixa massa.
• Em dados em painel, a autocorrelação espacial refere-se à correlação de uma variável consigo mesma através do espaço.
• Na análise de dados de Monte Carlo via cadeias de Markov, a autocorrelação deve ser levada em consideração para a determinação correta do erro.
• Nas geociências (especificamente na geofísica), pode ser usada para calcular um atributo sísmico de autocorrelação a partir de um levantamento sísmico 3D do subsolo.
• Em exames de ultrassonografia médica, a autocorrelação é utilizada para visualizar o fluxo sanguíneo.
• Na escolha de carteira intertemporal, a presença ou ausência de autocorrelação na taxa de retorno de um ativo pode afetar a proporção ótima do portfólio a ser alocada nesse ativo.
• Em relés numéricos, a autocorrelação tem sido usada para medir com precisão a frequência do sistema de energia elétrica.

Dependência serial

Serial dependence is closely linked to the notion of autocorrelation, but represents a distinct concept (see Correlation and dependence). In particular, it is possible to have serial dependence but no (linear) correlation. In some fields however, the two terms are used as synonyms.

Uma série temporal de uma variável aleatória apresenta dependência serial se o valor em algum instante $t$ na série é estatisticamente dependente do valor em outro momento. $s$ . Uma série é serialmente independente se não houver dependência entre nenhum par de séries.

Se uma série temporal $\left\{X_{t}\right\}$ é estacionário, então existe dependência estatística entre o par $(X_{t},X_{s})$ Isso implicaria que existe dependência estatística entre todos os pares de valores com a mesma defasagem. $\tau =s-t$ .

Ver também

• Matriz de autocorrelação
• Autocorrelação de uma palavra formal
• Técnica de autocorrelação
• Autocorrelacionador
• Teorema de Wiener-Khinchin
• Densidade espectral
• Coeficiente de variação
• Valor esperado
• Desvio padrão
• Moda
• Obliquidade
• Curtose
• Estimação de Cochrane–Orcutt (transformação para termos de erro autocorrelacionados)
• Função de correlação
• Função correlograma
• Relação cruzada
• CUSUM
• Espectroscopia de correlação de fluorescência
• Autocorrelação óptica
• Função de autocorrelação parcial
• Autocorrelação filogenética (problema de Galton)
• Algoritmo de detecção de tom
• Transformação de Prais–Winsten
• Correlação escalonada
• Correlação tripla
• Estimação não enviesada do desvio padrão

Leitura complementar

• Kmenta, Jan (1986). Elements of Econometrics Second ed. New York: Macmillan. pp. 298–334. ISBN 978-0-02-365070-3 
• Marno Verbeek (10 de agosto de 2017). A Guide to Modern Econometrics. [S.l.]: Wiley. ISBN 978-1-119-40110-0 
• Soltanalian, Mojtaba; Stoica, Petre (2012). «Computational Design of Sequences with Good Correlation Properties». IEEE Transactions on Signal Processing. 60 (5): 2180. Bibcode:2012ITSP...60.2180S. doi:10.1109/TSP.2012.2186134 
• Solomon W. Golomb, and Guang Gong. Signal design for good correlation: for wireless communication, cryptography, and radar. Cambridge University Press, 2005.
• Klapetek, Petr (2018). Quantitative Data Processing in Scanning Probe Microscopy: SPM Applications for Nanometrology (Second ed.). Elsevier. pp. 108–112 ISBN 9780128133477.

• Hassani, Hossein (2009). Sum of the sample autocorrelation function. Random Operators and Stochastic Equations. 17 (2): pp. 125–130. doi:10.1515/ROSE.2009.008.

• Hassani, Hossein (2010). A note on the sum of the sample autocorrelation function]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 389 (8): pp. 1601–1606. doi:10.1016/j.physa.2009.12.050.

• Weisstein, Eric W. «Autocorrelation». MathWorld (em inglês)