Quadrimomento

Na relatividade restrita, o quadrimomento (também chamado de momento-energia) é a generalização do momento tridimensional clássico para o espaço-tempo quadridimensional. O momento linear é um vetor em três dimensões; de forma semelhante, o quadrimomento é um quadrivetor no espaço-tempo. O quadrimomento contravariante de uma partícula com energia relativística E e tri-momento p = (p_x, p_y, p_z) = γmv, onde v é a tri-velocidade da partícula e γ é o fator de Lorentz, é $$p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).$$

A quantidade mv acima é o momento não relativístico comum da partícula e m sua massa de repouso. O quadrimomento é útil em cálculos relativísticos porque é um vetor covariante de Lorentz. Isso significa que é fácil acompanhar como ele se transforma sob transformações de Lorentz.

Norma de Minkowski

Calcular o quadrado da norma de Minkowski do quadrimomento fornece uma quantidade invariante de Lorentz igual (a menos de fatores da velocidade da luz c) ao quadrado da massa própria da partícula:

$$p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}$$onde os seguintes denotam:

${\textstyle p}$, o vetor quadrimomento de uma partícula,

${\textstyle p\cdot p}$, o produto interno de Minkowski do quadrimomento consigo mesmo,

${\textstyle p^{\mu }}$ e ${\textstyle p^{\nu }}$, as componentes contravariantes do vetor quadrimomento,

${\textstyle p_{\nu }}$, a forma covariante,

${\textstyle E}$, a energia da partícula,

${\textstyle c}$, a velocidade da luz,

${\textstyle |\mathbf {p} |}$, a magnitude do vetor momento tridimensional,

${\textstyle m}$, a massa invariante (de repouso) da partícula,

e $$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$$é o tensor métrico da relatividade restrita com a assinatura métrica escolhida, por definição, como (–1, 1, 1, 1). A negatividade da norma reflete que o momento é um quadrivetor do tipo tempo (timelike) para partículas com massa. A outra escolha de assinatura inverteria os sinais em certas fórmulas (como para a norma aqui). Esta escolha não é importante, mas, uma vez feita, deve ser mantida por uma questão de consistência em todo o texto.

A norma de Minkowski é invariante de Lorentz, o que significa que o seu valor não é alterado por transformações de Lorentz/impulsos (boosts) para diferentes referenciais. Mais geralmente, para quaisquer dois quadrimomentos p e q, a quantidade p ⋅ q é invariante.

Relação com a quadrivelocidade

Para uma partícula com massa, o quadrimomento é dado pela massa invariante da partícula m multiplicada pela quadrivelocidade da partícula, $$p^{\mu }=mu^{\mu },$$ onde a quadrivelocidade u é$$u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),$$e$$\gamma _{v}:={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$é o fator de Lorentz (associado à velocidade $v$), e c é a velocidade da luz.

Derivação

Existem várias maneiras de chegar à expressão correta para o quadrimomento. Uma maneira é definir primeiro a quadrivelocidade u = dx/dτ e simplesmente definir p = mu, contentando-se com o fato de ser um quadrivetor com as unidades corretas e o comportamento correto. Uma outra abordagem, mais satisfatória, é começar com o princípio da menor ação e usar a formulação lagrangiana para derivar o quadrimomento, incluindo a expressão para a energia. Pode-se imediatamente, usando as observações detalhadas abaixo, definir o quadrimomento a partir da ação S. Dado que, em geral, para um sistema fechado com coordenadas generalizadas q_i e momentos canônicos p_i,$$p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x^{0}}},$$é imediato (lembrando que x⁰ = ct, x¹ = x, x² = y, x³ = z e x₀ = −x⁰, x₁ = x¹, x₂ = x², x₃ = x³ na presente convenção métrica) que$$p_{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left(-{E \over c},\mathbf {p} \right)$$ é um quadrivetor covariante cuja parte tridimensional (tri-vetor) é o momento canônico.

Observações

Considere inicialmente um sistema com um grau de liberdade q. Na derivação das equações de movimento a partir da ação usando o princípio de Hamilton, encontra-se (geralmente) numa fase intermediária para a variação da ação, $$\delta S=\left.\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.$$

A suposição então é de que os caminhos variados satisfazem δq(t₁) = δq(t₂) = 0, de onde as equações de Lagrange seguem imediatamente. Quando as equações de movimento são conhecidas (ou simplesmente se assume que são satisfeitas), pode-se abrir mão do requisito δq(t₂) = 0. Neste caso, assume-se que o caminho satisfaz as equações de movimento, e a ação é uma função do limite superior de integração δq(t₂), mas t₂ continua fixo. A equação acima se torna, com S = S(q), e definindo δq(t₂) = δq, e permitindo mais graus de liberdade, $$\delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i}p_{i}\delta q_{i}.$$

Observando que $$\delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},$$ conclui-se que $$p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.$$

De forma semelhante, mantendo as extremidades fixas, mas permitindo que t₂ = t varie. Desta vez, o sistema pode se mover através do espaço de configuração a "velocidade arbitrária" ou com "mais ou menos energia", com as equações de campo ainda consideradas válidas, e a variação pode ser realizada na integral; em vez disso, observe-se $${\frac {dS}{dt}}=L$$ pelo teorema fundamental do cálculo. Computando usando a expressão acima para os momentos canônicos, $${\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L.$$

Agora, utilizando $$H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,$$ onde H é o Hamiltoniano, chega-se a, dado que E = H no caso presente, $$E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.$$

Aliás, utilizar H = H(q, p, t) com p = ⁠∂S/∂q⁠ na equação acima resulta nas equações de Hamilton-Jacobi. Neste contexto, S é chamada de Função principal de Hamilton.

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A ação S é dada por $$S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},$$ onde L é o Lagrangiano relativístico para uma partícula livre. A partir disso,

omitindo esses detalhes,

A variação da ação é $$\delta S=-mc\int \delta ds.$$

Para calcular δds, observe primeiro que δds² = 2dsδds e que $$\delta ds^{2}=\delta \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\left(\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.$$

Portanto $$\delta ds=\eta _{\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=\eta _{\mu \nu }d\delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},$$ ou $$\delta ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\tau }}d\tau ,$$ e, assim, $$\delta S=-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu }d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(\delta x^{\mu }u^{\nu }\right)-\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}u^{\nu }\right]d\tau$$ o que é apenas $$\delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds$$

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$$\delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },$$

onde o segundo passo emprega as equações de campo du^μ/ds = 0, (δx^μ)_t1 = 0, e (δx^μ)_t2 ≡ δx^μ como nas observações acima. Agora, compare as três últimas expressões para encontrar $$p^{\mu }=\partial ^{\mu }[S]={\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),$$ com norma −m²c², e o famoso resultado para a energia relativística,

$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},$

onde m_r é a agora ultrapassada massa relativística. Comparando diretamente as expressões de momento e energia, tem-se

$\mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}},$

que é válida também para partículas sem massa. Elevando ao quadrado as expressões para a energia e o tri-momento e relacionando-as, obtém-se a relação energia-momento,

${\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.$

Substituindo $$p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}$$ na equação para a norma, obtém-se a equação relativística de Hamilton-Jacobi,

$\eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=-m^{2}c^{2}.$

Também é possível derivar os resultados diretamente do Lagrangiano. Por definição, $${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\[3pt]E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}$$ que constituem as fórmulas padrão para o momento canônico e a energia de um sistema fechado (Lagrangiano independente do tempo). Com essa abordagem, fica menos claro que a energia e o momento fazem parte de um quadrivetor.

A energia e o tri-momento são grandezas conservadas separadamente para sistemas isolados no contexto lagrangiano. Por consequência, o quadrimomento também é conservado. Mais sobre isso abaixo.

Abordagens mais elementares incluem o comportamento esperado na eletrodinâmica. Nesta abordagem, o ponto de partida é a aplicação da lei da força de Lorentz e da segunda lei de Newton no referencial de repouso da partícula. As propriedades de transformação do tensor do campo eletromagnético, incluindo a invariância da carga elétrica, são então usadas para transformar para o referencial do laboratório, e a expressão resultante (novamente a lei da força de Lorentz) é interpretada no espírito da segunda lei de Newton, levando à expressão correta para o tri-momento relativístico. A desvantagem, evidentemente, é que não fica imediatamente claro que o resultado se aplica a todas as partículas, carregadas ou não, e que não produz o quadrivetor completo.

Também é possível evitar o eletromagnetismo e usar experimentos mentais bem ajustados envolvendo físicos bem treinados arremessando bolas de bilhar, utilizando o conhecimento da fórmula de adição de velocidades e assumindo a conservação do momento. Isso também fornece apenas a parte do vetor tridimensional.

Conservação do quadrimomento

Como mostrado acima, existem três leis de conservação (não independentes, as duas últimas implicam a primeira e vice-versa):

• O quadrimomento p (seja covariante ou contravariante) é conservado.
• A energia total E = p⁰c é conservada.
• O momento linear no espaço 3D $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ é conservado (não confundir com o momento não relativístico clássico $m\mathbf {v}$).

Note que a massa invariante de um sistema de partículas pode ser maior do que a soma das massas de repouso das partículas, uma vez que a energia cinética no referencial do centro de massa do sistema e a energia potencial proveniente das forças entre as partículas contribuem para a massa invariante. Como exemplo, duas partículas com quadrimomentos (5 GeV/c, 4 GeV/c, 0, 0) e (5 GeV/c, −4 GeV/c, 0, 0) possuem cada uma (em repouso) a massa de 3 GeV/c² separadamente, mas sua massa total (a massa do sistema) é de 10 GeV/c². Se essas partículas colidissem e se juntassem, a massa do objeto composto seria 10 GeV/c².

Uma aplicação prática na física de partículas da conservação da massa invariante envolve a combinação dos quadrimomentos p_A e p_B de duas partículas "filhas" produzidas no decaimento de uma partícula mais pesada com quadrimomento p_C para encontrar a massa da partícula mais pesada. A conservação do quadrimomento nos dá p_C^μ = p_A^μ + p_B^μ, enquanto a massa M da partícula mais pesada é dada por −P_C ⋅ P_C = M²c². Medindo as energias e os tri-momentos das partículas filhas, pode-se reconstruir a massa invariante do sistema de duas partículas, que deve ser igual a M. Esta técnica é utilizada, por exemplo, em buscas experimentais por bósons Z′ em colisores de partículas de alta energia, onde o bóson Z′ apareceria como uma protuberância (pico) no espectro de massa invariante de pares elétron–pósitron ou múon–antimúon.

Se a massa de um objeto não se altera, o produto interno de Minkowski de seu quadrimomento com a quadriaceleração correspondente A^μ é simplesmente zero. A quadriaceleração é proporcional à derivada em relação ao tempo próprio do quadrimomento dividida pela massa da partícula, portanto$$p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.$$

Momento canônico na presença de um potencial eletromagnético

Para uma partícula carregada com carga q, movendo-se em um campo eletromagnético dado pelo quadripotencial eletromagnético:$$A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)$$ onde ϕ é o potencial escalar e A = (A_x, A_y, A_z) o potencial vetorial, as componentes do quadrivetor do momento canônico P (não invariante de calibre) são$$P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.$$

Isso, por sua vez, permite que a energia potencial da partícula carregada num potencial eletrostático e a força de Lorentz sobre a partícula carregada movendo-se num campo magnético sejam incorporadas de maneira compacta na mecânica quântica relativística.

Quadrimomento no espaço-tempo curvo

No caso em que existe um sistema físico em movimento com uma distribuição contínua de matéria num espaço-tempo curvo, a expressão primária para o quadrimomento é um quadrivetor com índice covariante:

$P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {P} \right).$

O quadrimomento $P_{\mu }$ é expresso através da energia $E$ do sistema físico e do momento relativístico $\mathbf {P}$. Ao mesmo tempo, o quadrimomento $P_{\mu }$ pode ser representado como a soma de dois quadrivetores não locais do tipo integral:

$P_{\mu }=p_{\mu }+K_{\mu }.$

O quadrivetor $p_{\mu }$ é o quadrimomento generalizado associado à ação de campos sobre partículas; o quadrivetor $K_{\mu }$ é o quadrimomento dos campos que surgem da ação das partículas sobre os campos.

A energia $E$ e o momento $\mathbf {P}$, bem como as componentes dos quadrivetores $p_{\mu }$ e $K_{\mu }$ podem ser calculadas se a densidade Lagrangiana ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}$ do sistema for fornecida. As seguintes fórmulas são obtidas para a energia e o momento do sistema:

$E=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)\cdot \mathbf {v} u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}-\int _{V}\left({\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}\left(\mathbf {v} _{n}\cdot {\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}\right).$

$\mathbf {P} =\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}.$

Aqui ${\mathcal {L}}_{p}$ é a parte da densidade Lagrangiana que contém termos com quadricorrentes; $\mathbf {v}$ é a velocidade das partículas de matéria; $u^{0}$ é a componente temporal da quadrivelocidade das partículas; $g$ é o determinante do tensor métrico; $L_{f}=\int _{V}{\mathcal {L}}_{f}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}$ é a parte do Lagrangiano associada à densidade Lagrangiana ${\mathcal {L}}_{f}$; e $\mathbf {v} _{n}$ é a velocidade de uma partícula de matéria com o número $n$.

Ver também

• Quadriforça
• Quadrigradiente
• Pseudovetor de Pauli-Lubanski

Bibliografia

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• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975) [1939]. Mechanics. Translated from Russian by J. B. Sykes and J. S. Bell. 3rd ed. Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969 
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (2000). The classical theory of fields. Traduzido por Morton Hamermesh. 4th rev. English edition, reprinted with corrections. Oxford: Butterworth Heinemann. ISBN 9780750627689 
• Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity 2nd ed. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0 
• Sard, R. D. (1970). Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics. New York: W. A. Benjamin. ISBN 978-0805384918 
• Lewis, G. N.; Tolman, R. C. (1909). «The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics». Phil. Mag. 6. 18 (106): 510–523. doi:10.1080/14786441008636725  Wikisource version