^{RETOUR � L�ENTR�E DU SITE              ALLER � LA TABLE DES MATI�RES DE MOSCHOPOULOS}

LE TRAIT� DE

MANUEL MOSCHOPOULOS[1]

SUR

LES CARR�S MAGIQUES

Παράδοσις εἰς τὴν εῦρεσιν τῶν τετραγώνων ἀριθμῶν

TEXTE GREC ET TRADUCTION

par M. Paul Tannery

Extrait de l�Annuaire de l�Association pour l�encouragement des �tudes grecques en France, 1886

Le petit trait� de Manuel Moschopoulos sur les carr�s magiques est connu depuis l'analyse qu'en a donn�e le math�maticien fran�ais La Hire,[2] qui le trouva accidentellement dans le manuscrit 2428 de la Biblioth�que nationale. Il para�t en avoir fait une traduction latine, mais elle n'a pas vu le jour.

Le texte grec a �t� publi� pour la premi�re fois par Siegmund G�nther dans les Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften,[3] d'apr�s un manuscrit de Munich malheureusement trop incorrect pour qu'une nouvelle �dition ne soit pas d�sirable.

Il m'a paru int�ressant de joindre � cette �dition une traduction fran�aise de cet opuscule, qui met � la port�e de tous des r�gles tr�s simples pour un amusement arithm�tique dont la th�orie compl�te est passablement savante, mais dont la pratique, telle que Moschopoulos l'enseigne, est aussi �l�mentaire que possible.

Pourtant mon objet est moins de proposer aux hell�nistes une distraction encore en vogue chez les lettr�s orientaux, que d'appeler leur attention sur l'obscurit� qui voile l'origine des carr�s magiques.

Le trait� adress� par Moschopoulos � Nicolas Artavasde de Smyrne, dit le Rhabdas, doit, comme je l'ai d�montr� ailleurs,[4] avoir �t� �crit dans les premi�res ann�es du xiv^e si�cle. C'est le plus ancien document connu de la tradition grecque sur les carr�s magiques, tandis qu'on les trouve d'une part dans l'Inde, o� ils remontent � une �poque que l'on ne peut pr�ciser, de l'autre chez les Arabes, o� ils apparaissent d�s le x^e si�cle (Ibn Khaldoun et les � Vrais Fr�res �). Est-ce des pays mahom�tans que les Byzantins les ont re�us, ou bien ces derniers ont-ils conserv� une antique tradition qui, des Grecs d'Orient, serait pass�e aux sectateurs de l'Islam?

La question est ouverte; et, si peu importante qu'elle paraisse, elle se rattache � une autre plus g�n�rale et plus grave. Quelle a �t� en r�alit� l'originalit� des Arabes dans les sciences? Ne leur attribuons-nous pas nombre de connaissances ou d'id�es qui en fait sont fonci�rement grecques?

Plus les d�tails conserv�s sont insignifiants en apparence, plus on est en droit de rabaisser l'originalit�, trop souvent exalt�e, des h�ritiers orientaux de la science antique. J'en veux donner un exemple : la figure c�l�bre dont se sert Euclide pour d�montrer le th�or�me dit de Pythagore sur le carr� de l'hypot�nuse d'un triangle rectangle, est appel�e par les Arabes � figure de la fianc�e �. Or ils ont simplement traduit, et peut-�tre avec un contresens,[5] une expression grecque : τὸ τῆς νύμφης θεώρημα, qui se trouve dans l'ouvrage in�dit de George Pachym�re sur les quatre sciences.

En tout cas, la lettre de Moschopoulos ne d�c�le aucune influence arabe, et il est notamment � remarquer qu'il para�t ignorer absolument toute signification magique ou talismanique des carr�s qu'il enseigne � former. On peut donc conserver l'esp�rance de d�couvrir dans un auteur grec plus ancien, soit une allusion plus pu moins obscure � ces carr�s, soit m�me un carr� form� d'apr�s des principes analogues. Si une pareille d�couverte pouvait �tablir les droits des Grecs � l'invention dont il s'agit, elle offrirait incontestablement un int�r�t tout particulier.[6]

J'ai pris, comme base de mon �dition de l'opuscule de Moschopoulos, le manuscrit de la Biblioth�que nationale :

A = Suppl�ment grec n� 652, in-8, sur papier, du xv^e si�cle, pages 161-164, dont le texte est particuli�rement correct.

J'ai indiqu� en outre les variantes de :

B = Fonds grec n� 2428, in-4� sur papier, du xv^e si�cle, pages 181-185, qui, pour sa partie math�matique, provient certainement du m�me prototype que A.

M = le texte donn� par S. G�nther d'apr�s le manuscrit de Munich n� 100.

G = les le�ons propres � S. G�nther, lorsqu'il y a lieu de les opposer � celles de son manuscrit.

Je n'ai donn� les figures des carr�s qu'avec les chiffres modernes, leur reproduction avec les lettres num�rales grecques n'offrant aucun int�r�t. Les carr�s du manuscrit A ne pr�sentent d'ailleurs aucune faute, tandis que ceux donn�s par M. Gunther sont loin d'en �tre exempts.

Je dois cependant faire une remarque : la fig. 13 de M. G�nther porte en dehors du carr� des inscriptions inintelligibles; on doit y voir simplement le nombre 34, somme constante des lignes horizontales et des colonnes verticales, r�p�t� en regard de chaque ligne et de chaque colonne, c'est-�-dire huit fois. Seulement ce nombre est �crit avec trois sortes de caract�re diff�rents, � savoir :

a : deux fois avec les chiffres de Maxime Planude (lus μερ par S. G�nther).

b : trois fois avec des chiffres (lus ζθ par S. G�nther) d'une forme fr�quemment employ�e en Occident au xii^e si�cle.

c : trois fois avec des chiffres (lus ξν par S. G�nther) d'une forme �galement propre � l'Occident, mais plus voisine de celle des apices de Bo�ce, tandis que la pr�c�dente se rapproche davantage des chiffres arabes.

Les s�ries compl�tes des chiffres b et c sont d'ailleurs donn�es dans les manuscrits A et B en marge du texte du Grand calcul hindou de Planude r�vis� par Rhabdas, la premi�re sous la rubrique : ἰνδικά, la seconde sous celle : λατινικά.

On remarquera que j'ai adopt� ici l'usage de Hoche en ne marquant d'aucun signe les lettres num�rales grecques ; dans les manuscrits AB, elles sont surmont�es d'une barre horizontale dans le texte, non dans les figures.

Du tr�s savant et tr�s bienheureux Ma�tre Manouel Moschopoulos, instruction pour invention des nombres carr�s, qu'il fit forc� par Nicolaos de Smyrne Artabasdos, arithm�ticien et g�om�tre, le Rhabdas.

Des nombres les uns sont impairs, les autres pairs, et d'autre part, des pairs, les uns sont pairement pairs, lorsqu'ils se partagent en deux parties �gales jusqu'� l'unit�, les autres sont pairs-impairs, lorsqu'ils ne peuvent pas se partager en deux parties �gales jusqu'� l'unit�. '

Tout nombre multipli� par lui-m�me donne un carr� � c�t�s �gaux; ainsi 3 multipli� par lui-m�me fait 9, et 9 est un carr� � c�t�s �gaux. Le c�t� en est 3 ; car, pour tout carr� � c�t�s �gaux, le c�t� est le nombre qui multipli� par lui-m�me donne ce carr�. Ce c�t� est toujours �gal dans tous les sens et aussi suivant les diagonales. Pour rendre ceci plus clair par une figure, tra�ons ce carr� � c�t�s �gaux et circonscrivons-y par des lignes les cases du nombre carr� comme ci-contre (Fig. 1). Mettons maintenant une unit� dans chacune des cases; il est absolument clair que la somme pour chaque c�t� (rang�e) est de 3 dans tous les sens, comme aussi suivant les diagonales.

Cela est facile � comprendre ; mais si l'on trace un carr� et que l'on y circonscrive les cases du nombre carr�, puis qu'au lieu de mettre des unit�s dans les cases, on y inscrive l'unit� et les nombres cons�cutifs � partir de l'unit�, la rang�e ne donnera plus une somme �gale dans tous les sens, si les nombres cons�cutifs sont mis dans les cases suivant leur ordre ; et si l'on cherche une disposition qui permette de rendre les rang�es de somme �gale dans tous les sens, et aussi suivant les diagonales, il ne sera pas tr�s facile de la trouver; si l'on y parvient � grand-peine pour un carr�, on ne peut esp�rer pour cela de le faire sur un autre carr�. Il y a cependant une m�thode dont l'emploi permet d'obtenir facilement cette disposition pour le carr� que l'on voudra ; � la v�rit� cette m�thode n'est pas simplement une, mais il y en a une pour les carr�s de nombres impairs, une pour ceux de pairement pairs et encore une autre pour les pairs-impairs;[7] c'est l� l'objet dont je me propose de parler maintenant.

Il faut tout d'abord parler de la valeur de la rang�e pour les nombres � partir de l'unit� jusqu'au carr� propos�; voici comment nous la trouvons; nous faisons la somme des nombres � partir de l'unit� jusqu'au carr� ; puis nous divisons la quotit� de cette somme par le nombre qui multipli� par lui-m�me donne le carr�, et c'est ce qui revient � chaque unit� de ce nombre que nous prenons comme rang�e pour les nombres � partir de l'unit� jusqu'au carr� propos�.

Ainsi soit � chercher la rang�e pour les nombres � partir de l'unit� jusqu'� 9. Nous ajouterons � l'unit� 2, il vient 3 ; puis � 3, 3, il vient 6 ; puis � 6, 4, il vient 10 ; puis � 10, 5, il vient 15; et ainsi de suite jusqu'� 9. Il vient pour la quotit� totale 45 que nous divisons par 3; car c'est ce nombre qui multipli� par lui-m�me donne 9. Il revient � chaque unit� de 3, 15, qui sera la rang�e pour les nombres � partir de l'unit� jusqu'� 9. De m�me pour les autres carr�s.

Pour �viter, lorsqu'on arrive � des nombres �lev�s, la fatigue d'ajouter tous les nombres � partir de l'unit�, nous avons cherch� et trouv� une m�thode pour obtenir facilement la quotit� de la somme des nombres � partir de l'unit� jusqu'� tel que l'on voudra; voici cette m�thode :

Nous prenons le nombre jusqu'o� va l'addition, et nous le multiplions par lui-m�me ; puis nous partageons en deux parties �gales la quotit� provenant de cette multiplication; � l'une des parties nous ajoutons la moiti� du nombre qui a �t� multipli� par lui-m�me ; il arrive n�cessairement que la quotit� de la somme de la moiti� de la quotit� provenant de la multiplication et de la moiti� du nombre qu'on multiplie par lui-m�me est identique � la quotit� de la somme des nombres � partir de l'unit� jusqu'� celui qu'on a multipli� par lui-m�me.

Ceci peut �tre rendu plus clair sur des nombres d�termin�s, comme suit :

Prenons encore 9, comme le nombre jusqu'auquel on cherche la somme des nombres � partir de l'unit�. Nous le multiplions par lui-m�me; il vient 81 que nous divisons en deux parties �gales; il revient � chacune des deux parties 40 � ; maintenant nous divisons aussi 9 en deux parties �gales ; il revient � chacune des deux parties 4 � que nous ajoutons � la moiti� de la quotit� provenant de la multiplication, c'est-�-dire � 40 �. Il vient comme somme 45. Or la quotit� de la somme de tous les nombres � partir de l'unit� jusqu'� 9 �tait �galement de 45, et cela arrive �galement pour tous les autres nombres.

Ceci pos�, il convient maintenant d'aborder la disposition. Nous commencerons par le premier nombre qui en est susceptible; ce premier nombre qui puisse �tre ainsi dispos� en carr� est celui form� de 3 (Fig. 2), dont nous allons donc parler en premier lieu; mais la m�thode qui va �tre expos�e pour ce nombre pourra s'appliquer � tous ceux de m�me esp�ce (les impairs). Or on peut obtenir la disposition qui donne l'�galit� dans tous les sens soit par 2 et 3, soit par 3 et 5.

[M�thode pour les carr�s de nombres impairs.]

Voici d'abord le proc�d� par 2 et 3. Nous mettons d'abord l'unit� dans la case au milieu des trois du bas et nous comptons deux cases, l'une celle qui a cette unit�, l'autre nous la cherchons en dessous de la premi�re en ligne directe, car il faut toujours aller de haut en bas; comme nous n'en trouvons pas, nous remontons tout en haut, toujours en ligne directe, comme en revenant en cercle (ἀνακυκμοῦντης), et nous comptons cette seconde case ; puis nous pla�ons 2 dans la case adroite de celle-ci en ligne directe, et nous comptons de nouveau deux cases, l'une celle qui a 2, la seconde au-dessous, et nous cherchons une case � droite en ligne directe pour y mettre 3; ne la trouvant pas, nous nous reportons � gauche en ligne directe ; car, lorsqu'une rang�e de cases est termin�e, il faut toujours revenir � son commencement. Nous pla�ons donc 3 sur la case qui est la derni�re pour notre marche en sens inverse, mais la premi�re dans la marche vers la droite, c'est-�-dire celle que nous devons suivre d�s le principe en comptant les cases comme en cercle. Etant ainsi arriv�s � 3 qui multipli� par lui-m�me donne le carr�, c'est-�-dire qui est le c�t� de 9, nous ne comptons plus deux cases pour placer ensuite 4 � droite; mais nous comptons trois, comme suit : une, celle qui a 3, deux, celle au-dessous, trois, nous cherchons en dessous, mais ne trouvant plus de case, nous remontons tout en haut en ligne directe ; nous y comptons la case comme troisi�me et nous y pla�ons 4 sans nous �carter de la ligne directe: puis repartant de l� comme d'un nouveau commencement, nous comptons par 2 et nous pla�ons le nombre suivant � droite suivant la marche indiqu�e ; nous continuons ainsi jusqu'� ce que nous retombions sur le c�t� de 9, c'est-�-dire sur 6, double de 3. Arriv�s � ce nombre, nous recommen�ons � compter par trois et � placer le nombre suivant sur la troisi�me case sans nous �carter de la ligne directe ; puis nous comptons par deux et mettons � droite, et ainsi de suite jusqu'� la fin, en comptant encore toujours par deux, pour tous les nombres, sauf quand nous venons de passer d'un c�t� � un autre c�t� (d'un multiple de la racine au multiple suivant), alors nous comptons par trois.

Nous faisons de m�me pour tous les nombres de m�me esp�ce, en comptant suivant la r�gle �nonc�e ; par deux, jusqu'au c�t� (racine) du nombre des cases du carr� propos�; puis par trois, pour le nombre cons�cutif; et ainsi de suite jusqu'� la fin, en reprenant circulairement les cases comme dans l'exemple ; en somme, nous observerons exactement les m�mes r�gles, sauf pour la position de l'unit� ; car celle-ci ne doit pas �tre toujours plac�e sur la m�me case, mais elle change de position � chaque carr�. Pour le premier carr� form� d'un nombre impair, on le place au milieu des cases inf�rieures ; pour le second carr�, au milieu de la rang�e imm�diatement sup�rieure ; pour le troisi�me, au milieu de la rang�e imm�diatement sup�rieure � la pr�c�dente; en r�gle g�n�rale, � chaque passage � un nombre sup�rieur, elle monte elle-m�me d'une case, en sorte qu'elle se trouve toujours plac�e sur la case situ�e imm�diatement et directement au-dessous de celle qui est pr�cis�ment au milieu de toutes les cases du carr� propos� de cette esp�ce : on verra tout cela plus clairement sur les figures (Fig. 3, 4, 5).

[Autre m�thode.]

Voici maintenant le proc�d� par 3 et 5 ; nous tra�ons le carr� et nous y circonscrivons les cases du nombre carr�; puis nous mettons l'unit� toujours dans la case du milieu du rang le plus en haut; nous comptons ensuite trois cases, une, celle qui porte l'unit�, les deux autres cons�cutivement en descendant, et nous mettons 2 directement � droite de la troisi�me case; ensuite nous repartons en comptant de m�me trois cases pour mettre 3 � droite ; si nous ne trouvons pas de case � droite, nous reprenons sur la gauche en ligne droite, comme dans le premier proc�d�, et nous prenons la case qui est la derni�re dans le sens r�trograde, mais la premi�re pour le mouvement vers la droite ; nous continuons de la m�me fa�on jusqu'� ce que nous arrivions au c�t� du carr� propos� ; arriv�s � ce nombre, nous comptons cinq cases, une celle qui porte le carr�, les quatre autres cons�cutivement en descendant, et sur la cinqui�me, sans nous en �carter, nous mettons le nombre suivant le c�t�. Nous recommen�ons ensuite � compter par trois, en reprenant circulairement les cases comme dans le premier proc�d�, et nous continuons ainsi jusqu'� la lin; cette m�thode est en tout analogue � la premi�re, sauf que dans celle-ci l'unit� se place dans des cases diff�rentes, tandis qu'avec ce nouveau proc�d�, elle est toujours au milieu du rang sup�rieur; d'autre part, dans la premi�re, on comptait par deux et trois, dans la seconde on compte par trois et cinq ; on peut voir tout cela sur les figures (Fig. 6, 7, 8).

[M�thode pour les carr�s pairement pairs.]

Tels sont les proc�d�s pour les carr�s de nombres impairs; pour ceux des nombres pairement pairs, on a aussi trouv� deux m�thodes, dont voici la premi�re. Nous tra�ons les cases d'un carr� de cette esp�ce, puis nous y mettons des points (*) comme suit : Pour le premier carr� de l'esp�ce (Fig. 9), sur les cases des diagonales seulement, comme ci-contre ; pour les carr�s suivants (Fig. 10, 11), d'abord sur les diagonales, puis comme suit : nous comptons quatre cases de suite vers la droite, � partir de la premi�re case du rang sup�rieur, une pour cette premi�re case, puis trois autres ; sur la quatri�me, nous mettons un point, ainsi que sur celle qui la suit directement � droite; � partir de cette derni�re, nous comptons de nouveau quatre cases, et nous mettons un point sur la quatri�me et un autre point sur celle qui la suit Imm�diatement � droite ; nous continuons de la sorte tant que cela se peut, et nous poursuivons ensuite sur les autres c�t�s du carr� en cercle. Puis nous menons une ligne oblique de points de la quatri�me case du haut, compt�e de gauche � droite, � la quatri�me case du c�t� gauche, compt�e de haut en bas, de fa�on � r�unir les points extr�mes et � former un triangle isoc�le sur l'angle du carr� ; nous joignons de m�me la cinqui�me case (du haut) � la cinqui�me du c�t� droit compt�e de bas en haut; nous allons ensuite de la quatri�me du rang sup�rieur, compt�e � partir de la cinqui�me comme premi�re, en obliquant � gauche, puis de la cinqui�me en obliquant � droite ; et ainsi de suite jusqu'� la fin des cases du rang sup�rieur ; ensuite nous retournons le carr� pour prendre le rang d'en bas comme rang sup�rieur, et en mener de m�me des lignes de points, comme on peut le voir sur la figure.

Apr�s avoir ainsi plac� les points, nous comptons en m�me temps les nombres cons�cutifs � partir de l'unit�, et les cases du carr� propos� � partir de la premi�re du rang sup�rieur de gauche � droite, et l� o� se trouvent des points nous mettons les nombres correspondants ; l� o� il n'y a pas de points, nous passons les cases et les nombres correspondants; nous continuons ainsi jusqu'� la derni�re case de tout le carr�; puis nous recommen�ons � compter les nombres cons�cutifs � partir de l'unit� et les cases � partir de la premi�re du rang inf�rieur de droite � gauche, et l� o� les cases sont vides, nous mettons les nombres correspondants ; celles qui contiennent d�j� des nombres, nous les passons avec les nombres correspondants, et nous continuons ainsi en remontant jusqu'� la premi�re case du haut d'o� nous sommes partis en descendant.

Pour rendre ceci plus clair, traitons un des carr�s de l'esp�ce; soit le premier, c'est-�-dire celui qui a 4 pour c�t�; nous le tra�ons et nous mettons des points sur les cases des diagonales comme ci-contre (Fig. 9, 12) : nous commen�ons ensuite par la- premi�re case du haut et par l'unit�, et nous mettons tout d'abord l'unit� sur cette premi�re case, puisqu'elle porte un point; nous passons la seconde case o� il n'y a pas de point, et en m�me temps le nombre 2 qui lui correspond ; nous passons de m�me la troisi�me case et le nombre 3 ; sur la quatri�me case, qui porte un point, nous mettons 4 ; nous passons la cinqui�me case et le nombre 5 ; sur la sixi�me case, nous mettons 6 et sur la septi�me 7. Nous passons la huiti�me et 8, la neuvi�me et 9; sur la dixi�me nous mettons 10 et sur la onzi�me 11; nous passons la douzi�me et 12, sur la treizi�me nous mettons 13 ; nous passons la quatorzi�me et 14, la quinzi�me et 15; sur la seizi�me nous mettons 16. Nous recommen�ons maintenant par l'unit� et par la premi�re case du carr� au rang du bas en allant vers la gauche ; noua passons cette premi�re case qui contient un nombre, et en m�me temps nous passons l'unit� qui lui correspond ; sur la deuxi�me case o� il n'y a pas de nombre, nous mettons 2; sur la troisi�me 3; nous passons la quatri�me et 4 ; sur la cinqui�me nous mettons 5 ; nous passons la sixi�me et 6, la septi�me et 7, nous mettons 8 sur la huiti�me, 9 sur la neuvi�me ; nous passons la dixi�me et 10, la onzi�me et 11, nous mettons 12 sur la douzi�me; nous passons la treizi�me et 13, nous mettons 14 sur la quatorzi�me, 15 sur la quinzi�me; nous passons enfin la seizi�me et 16. On peut suivre clairement l'op�ration sur la figure. Nous agirons suivant le m�me proc�d� pour les carres de m�me nature.

[Autre m�thode.]

Voil� donc la premi�re m�thode ; la seconde proc�de comme suit : je d�cris les cases du premier nombre qui puisse �tre ainsi carr�, c'est-�-dire de celui qui a 4 pour c�t� ; je remplis ces cases de nombres comme ci-contre (Fig. 13) : puis je me sers de ce carr� comme arch�type et comme mod�le pour les carr�s suivants de m�me esp�ce; car tous les carr�s suivants l'admettent comme partie d'eux-m�mes ; tout d'abord celui qui vient imm�diatement apr�s lui a son c�t� double du sien ; or tout carr� d'un c�t� double sera quadruple de celui du c�t� dont le sien est double ; donc le carr� qui suit le premier se divise en quatre �gaux au premier ; le suivant a son c�t� double du c�t� du pr�c�dent, quadruple de celui du premier; il sera donc de quatre fois le pr�c�dent et de seize fois le premier ; il se divise donc en seize carr�s �gaux au premier. Nous trouvons donc facilement le rapport de multiplicit� des carr�s d'apr�s leurs c�t�s; nous examinons combien de fois le c�t� est multiple du c�t�, et nous prenons le nombre suivant lequel il est multiple ; nous multiplions ce nombre par lui-m�me, le produit de cette multiplication sera le rapport des deux carr�s. Ainsi le c�t� est quadruple du c�t�; je prends 4 et je le multiplie par lui-m�me, il vient 16; je dis donc que le rapport de multiplicit� du carr� au carr� est 16; et de m�me pour les autres.

Il faut maintenant passer � la position des nombres qui se fera comme suit; apr�s le premier nombre qui se carre ainsi et que nous avons d�j� donn�, nous d�crivons les cases d'un autre carr� de l'esp�ce, et nous les divisons par des marques en autant de carr�s �gaux au premier que cela peut se faire; puis nous remplissons la moiti� des cases des carr�s en commen�ant par le haut et en suivant ; pour cela nous regardons sur le premier carr� et nous pla�ons les nombres suivant la place qu'ils y occupent; ensuite recommen�ant par le bas, nous remontons jusqu'en haut, en remplissant l'autre moiti� des cases qui a �t� laiss�e sur chaque carr�.

[Exemple.]

Pour plus de clart�, d�crivons un carr� de l'esp�ce et montrons la position sur ce carr� : soit celui qui vient imm�diatement apr�s le premier (Fig. 14) ; nous le tra�ons comme ci-contre et nous le divisons par des marques en autant de carr�s �gaux au premier que cela se peut; il se divise en quatre. Nous remplissons la moiti� des cases comme ci-contre, en commen�ant par la premi�re en haut et en descendant jusqu'� la derni�re en bas; puis recommen�ant par la derni�re en bas, nous remontons jusqu'� celle d'o� nous sommes partis, la premi�re en haut, en remplissant les cases vides, suivant la position sur le premier carr� ; et nous avons ainsi le tout rempli ayant les c�t�s donnant des sommes �gales dans tous les sens. Le proc�d� est le m�me pour les autres.

Il faut savoir que, dans cette position, en prenant quatre cases quelconques en carr�, on aura le c�t� du premier carr�, ce qui n'avait pas lieu pour la premi�re disposition. D'autre part, si l'on divise les c�t�s en deux parties �gales, chacune d'elles donnera la m�me somme; cela a lieu dans tous les carr�s, sauf pour le premier. Cette disposition jouit encore d'autres propri�t�s remarquables et int�ressantes que ne pr�sente pas la pr�c�dente.

[Fin]

Fig. 1.

Fig. 2. (total 15)

Fig. 3. (total 65)

Fig. 4. (total 175)

Fig. 5. (total 369)

Fig. 6. (total 15)

Fig. 7. (total 65)

Fig. 8. (total 175)

Fig 9.

Fig. 10.

Fig. 11.

Fig. 12. (total 34)

Fig. 13. (total 34)

Fig. 14 (total 260)