→ Was sind Zahlensysteme?
→ Anwendung des Hornerschemas
→ Umwandlung Bin�r ↔ Hexadezimal
→ Umwandlung von "Kommazahlen" (b-adischen Br�chen)
→ Berechnen der Periodenl�ngen von Kommazahlen
W�hle die Zahlensysteme und gib in eines der Textfelder eine Zahl im zugeh�rigen gew�hlten System ein.
Im anderen Textfeld erscheint die Zahl in das andere System umgerechnet.
Bei Wahl eines anderen Zahlensystems wird das zugeh�rige Textfeld entsprechend neu berechnet,
nicht die Zahl zur Berechnung des anderen Feldes uminterpretiert.
Kleiner Mathematikerwitz
Warum k�nnen amerikanische Mathematiker Weihnachten (wird dort erst am 25. Dezember gefeiert) nicht von Halloween (31. Oktober) unterscheiden?
Antwort: Weil 31(oct) = 25(dez)
Wir rechnen im Alltag mit dem Dezimalsystem (lat. decimus, der Zehnte) und verwenden dabei die zehn Ziffern 0, 1, ... 9. Der Wert einer Ziffer in einer Zahl h�ngt von ihrer Stelle ab, die erste 3 in 373 hat z.B. einen anderen Wert als die zweite 3, n�mlich dreihundert und nicht drei. Im Dezimalsystem entspricht jeder Stelle eine Potenz der Basis 10: 100=1, 101=10, 102=100 usw.
Nach dieser Art kann man auch Zahlensysteme erzeugen, die eine andere Basis besitzen als 10. Jede Stelle steht f�r ein Vielfaches der entsprechenden Potenz der Basis, und der Ziffernvorrat ist stets 0 bis Basis-1. Das System zur Basis 2 hat damit nur die beiden Ziffern 0 und 1. Da "0 und 1" auch f�r "ja oder nein" oder "an oder aus" oder "Strom oder nicht-Strom" stehen kann, ist dies das Zahlensystem, in denen eigentlich Computer "rechnen" und Daten speichern: Die kleinste Informationseinheit, das Bit, ist gerade die Information �ber die beiden M�glichkeiten 1 oder 0.
Ebenfalls in der Computertechnik gebr�uchlich ist das Hexadezimalsystem, das
Zahlensystem mit der Basis 16. Da nur 10 Zahlenzeichen zur Verf�gung stehen, verwendet
man die ersten sechs Buchstaben des Alphabets f�r die Zahlen 10 bis 15.
Die
Standardeinheit der Informationsgr��e ist ein Byte, das sind
(In dezimaler Darstellung: 0, 1, 2, ... bis 255, im Bin�rsystem: 00000000, 00000001, 00000010, ... bis 11111111.)
Diese Einheit l��t sich mit dem 16er-System viel besser handhaben als mit dem Dezimalsystem,
denn 256 ist gerade 162. Somit entsprechen in einer Hexadezimalzahl immer
genau zwei Ziffern einem Byte.
Das Umrechnen erfolgt in diesem Javascript stets �ber das Dezimalsystem. d.h. die Quellzahl wird zun�chst
in das Dezimalssystem und erst dann in das Zielsystem umgewandelt.
Wenn die eine Basis eine Potenz der anderen darstellt, geht es auch einfacher (siehe n�chster
Abschnitt)!
Um Details �ber das Verfahren zu erfahren,
w�hle in den Listenfelden zwei verschiedene Systeme und gib in eines der beiden Textfelder eine Zahl im
entsprechendenen System ein. Dann klicke auf den Button [ Wie geht das? ],
und im gro�en Textfeld wird eine genaue Erkl�rung angezeigt, wie die Zahl
umgewandelt wurde.
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Jeweils 4 Bin�rstellen entsprechen einer Hexadezimalstelle, denn
Vom Bin�r- ins Hexadezimalsystem:
Unterteile die Bin�rzahl von rechts nach links in 4er-P�ckchen, und wandle
jedes P�ckchen nach nebenstehender Tabelle in die entsprechende Hexadezimalziffer um.
Vom Hexadezimal- ins Bin�rsystem:
Wandle die Hexadezimalziffern der Reihe nach in die entsprechenden vierstelligen
Bin�rzahlen um.
Beispiele:
49A02(16) = 0100 1001 1010 0000 0010(2) = 1001001101000000010(2)
10010110101011(2) = 0010 0101 1010 1011(2) = 25AB(16)
Noch ein Witz (?)
Es gibt 10 Gruppen von Menschen: diejenigen, die das Bin�rsystem verstehen, und die anderen.
Das Stellenwertsystem l��t sich rechts vom Komma logisch fortsetzen: Die erste
Stelle nach dem Komma repr�sentiert die Vielfachen von
Bei der Zahl 0,632 sitzt die 6 auf der Zehntelstelle, die 3 auf der Hunderstelstelle
und die 2 auf der Tausendstelstelle. Ein Zehntel ist 10-1, ein Hundertstel
10-2 usw.
Wenn z1, z2, z3, ... die Nachkommaziffern einer Zahl zur Basis b sind, so errechnet sich der Wert durch die Summe
z1 z2 z3 zn
��� + ��� + ��� + ... + ���
b1 b2 b3 bn
Der Hauptnenner aller Br�che ist bn. Durch Erweitern ergibt sich der Algorithmus, der im obigen Script zur Umrechnung ins Dezimalsystem verwendet und anhand der interaktiven Beispiele erl�utert wird:
bn-1�z1 + bn-2�z2 + bn-3�z3 + ... + zn
= �����������������������������������
bn
Beispiel:
Die Bin�rzahl 0,1011 entspricht der Summe der Br�che
1 0 1 1 8�1 + 0 + 2�1 + 1 8 + 2 + 1 11 ��� + ��� + ��� + ���� = ������������������������� = ����������� = ���� = 0,6875(10) 2 4 8 16 16 16 16
Die strenge Analogie zwischen der Umwandlung von ganzzahligen und gebrochenen Teilen l��t sich gut bei den interaktiven Erl�uterungen zum Rechner oben auf dieser Seite sehen.
Die Umwandlung von Dezimalbr�chen in andere Zahlensysteme ("b-adische Br�che") weist ebenfalls Analogien zur Umwandlung der Ganzzahlen auf. Dem Teilen mit Rest durch die Basis bei den Ganzzahlen entspricht hier das Multiplizieren mit der Basis und das Abtrennen des ganzzahligen Teils.
Es folgt ein Zahlenbeispiel zur Umwandlung eines Dezimalbruchs in die Basis 5.
In positiven Dezimalzahlen
Bei der Multiplikation des Dezimalbruchs 0,78 mit 5 erh�lt man 3,9. In 0,78 sind also drei F�nftel (=0,6) ganz enthalten. Schneidet man nun die 3 von 3,9 ab, so bleibt ein Rest kleiner 1, der sich wiederum aus Vielfachen von 1/5, 1/25, 1/125, 1/625 usw. zusammensetzt. Da die 3,9 jedoch bereits durch Multiplikation mit 5 entstanden ist und durch "Abschneiden" der 3 bereits die Vielfachen der 1/5 gestrichen wurden, ergibt der analoge n�chste Schritt, mit dem Rest 0,9 durchgef�hrt, bereits die in 0,78 enthaltenen Vielfachen von 1/25, der �bern�chste die Vielfachen von 1/125 usw.:
0,9�5 = 4,5 --> Vier F�nfundzwanzigstel, Rest 0,5
0,5�5 = 2,5 --> Zwei Einhundertf�nfundzwanzigstel, Rest 0,5
0,5�5 = 2,5 --> Zwei Sechshundertf�nfundzwanzigstel, Rest 0,5
usw. --> Periode 2.
Damit ergibt sich:
3 4 2 2 2 —
0,78(10) = ��� + ���� + ����� + ����� + ������ + ... = 0,342(5)
5 25 125 625 3125
Version: 28. 10. 2006
© Arndt Br�nner
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