Cálculo com o operador nabla

Cálculo vetorial - Um Livro Colaborativo

4.3 Cálculo com o operador nabla

4.3.1 Deﬁnição matemática de divergente, gradiente e rotacional

No cálculo vetorial, o operador $\vec{\nabla}$ , pronunciado nabla ou del, é um símbolo usado para denotar uma série de operadores diferenciais deﬁnidos em campos escalares e vetorias, como gradiente, divergente e rotacional. Ele é deﬁnido simbolicamente como:

\vec{\nabla} \equiv \vec{i} \frac{\partial}{\partial x} + \vec{j} \frac{\partial}{\partial y} + \vec{k} \frac{\partial}{\partial z}

(4.1)

Rigorosamente falando, o operador del não é um operador diferencial, mas um mnemônico que ajuda a lembrar de uma série de operadores diferenciais:

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} f & = & \vec{i} \frac{\partial f}{\partial x} + \vec{j} \frac{\partial f}{\partial y} + \vec{k} \frac{\partial f}{\partial z} (Gradiente), \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{F} & = & \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z} (Divergente), \\ \vec{\nabla} \times \vec{F} & = & \vec{i} (\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z}) + \vec{j} (\frac{\partial F_{1}}{\partial z} - \frac{\partial F_{3}}{\partial x}) + \vec{k} (\frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y}) (Rotacional) . \end{array}

O rotacional pode ser representado pelo seguinte determinante simbólico, que funciona como um mnemônico para lembrar facilmente de sua deﬁnição:

\vec{\nabla} \times \vec{F} = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{matrix}| .

Exemplo 4.3.1. Calule o gradiente do campo escalar dado por $f (x, y, z) = x y + z$ .

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} f & = & \vec{i} \frac{\partial f}{\partial x} + \vec{j} \frac{\partial f}{\partial y} + \vec{k} \frac{\partial f}{\partial z} = y \vec{i} + x \vec{j} + \vec{k} & (4.2) \end{array}

Exemplo 4.3.2. Calule o divergente e o rotacional do campo vetorial dado por $\vec{F} = (y z + x) \vec{i} + z^{2} \vec{j} + z^{3} \vec{k}$ .

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \cdot \vec{F} & = & \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z} = 1 + 0 + 3 z^{2} = 3 z^{2} + 1 & (4.3) \end{array}

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \times \vec{F} & = & |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y z + x & z^{2} & z^{3} \end{matrix}| & (4.4) \\ = & (0 - 2 z) \vec{i} + (y - 0) \vec{j} + (0 - z) \vec{k} & (4.5) \\ = & - 2 z \vec{i} + y \vec{j} - z \vec{k} . & (4.6) \end{array}

Exemplo 4.3.3. Dado o campo vetorial dado por $\vec{F} = x^{5} \vec{i} + y^{2} \vec{j}$ , calcule o gradiente do divergente, $\vec{\nabla} \vec{\nabla} \cdot \vec{F}$ , de $\vec{F}$

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \cdot \vec{F} & = & \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z} = 5 x^{4} + 2 y & (4.7) \\ \vec{\nabla} \vec{\nabla} \cdot \vec{F} & = & 20 x^{3} \vec{i} + 2 \vec{j} & (4.8) \end{array}

4.3.2 Operadores diferenciais de segunda ordem

Operadores diferenciais de segunda ordem podem ser deﬁnidos através da composição de operadores diferenciais de primeira ordem. Combinando o gradiente, rotacional e divergente, encontramos as seguintes possibilidades:

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} f & (Divergente do gradiente ou laplaciano) & (4.9) \\ \vec{\nabla} \times \vec{\nabla} f & (Rotacional do gradiente) & (4.10) \\ \vec{\nabla} \vec{\nabla} \cdot \vec{F} & (Gradiente do divergente) & (4.11) \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \times \vec{F} & (Divergente do rotacional) & (4.12) \\ \vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{F} & (Rotacional do rotacional) & (4.13) \end{array}

No caso do Laplaciano, temos

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} f & = & \vec{\nabla} \cdot (\frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{k}) \\ = & \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} & (4.14) \end{array}

O Laplaciano também pode ser denotado por ${\vec{\nabla}}^{2} f$ ou por $Δ f$ , ou seja, $Δ f = {\vec{\nabla}}^{2} f = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} f$ .

O Laplaciano também pode ser deﬁnido para um campo vetorial $\vec{F} = F_{1} \vec{i} + F_{2} \vec{j} + F_{3} \vec{k}$ da seguinte forma:

\begin{array}{rcl} {\vec{\nabla}}^{2} \vec{F} & = & ({\vec{\nabla}}^{2} F_{1}) \vec{i} + ({\vec{\nabla}}^{2} F_{2}) \vec{j} + ({\vec{\nabla}}^{2} F_{3}) \vec{k} \\ = & (\frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial z^{2}}) \vec{i} + (\frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial z^{2}}) \vec{j} \\ + & (\frac{\partial^{2} F_{3}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} F_{3}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} F_{3}}{\partial z^{2}}) \vec{k} \\ = & \frac{\partial^{2} \vec{F}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} \vec{F}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} \vec{F}}{\partial z^{2}} . \end{array}

Assim como estabelecemos uma expressão para o Laplaciano, podemos escrever todas as expressões dos operadores de segunda ordem usando as deﬁnições de gradiente, divergente e rotacional. Por exemplo, se $\vec{F} = F_{1} \vec{i} + F_{2} \vec{j} + F_{3} \vec{k}$ , temos a seguinte expressão para o gradiente do divergente:

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \vec{\nabla} \cdot \vec{F} & = & \vec{\nabla} (\frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z}) \\ = & (\frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial y x} + \frac{\partial^{2} F_{3}}{\partial z x}) \vec{i} + (\frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial x y} + \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} F_{3}}{\partial z y}) \vec{j} \\ + & (\frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial x z} + \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial y z} + \frac{\partial^{2} F_{3}}{\partial z^{2}}) \vec{k} . \end{array}

As demais expressões ﬁcam de exercício para o leitor.

4.3.3 Identidades envolvendo o operador nabla

Nesta seção, discutimos alguma identidades envolvendo o operador $\vec{\nabla}$ . Sejam $f = f (x, y, z)$ e $g = g (x, y, z)$ campos escalares e $\vec{F} = \vec{F} (x, y, z)$ e $\vec{G} = \vec{G} (x, y, z)$ campos vetoriais. Então, valem as identidades da tabela 4.1.

Tabela 4.1: Tabela do operador

\vec{\nabla}

\vec{\nabla} (f + g) = \vec{\nabla} f + \vec{\nabla} g

\vec{\nabla} \cdot (\vec{F} + \vec{G}) = \vec{\nabla} \cdot \vec{F} + \vec{\nabla} \cdot \vec{G}

\vec{\nabla} \times (\vec{F} + \vec{G}) = \vec{\nabla} \times \vec{F} + \vec{\nabla} \times \vec{G}

\vec{\nabla} (f g) = f \vec{\nabla} g + g \vec{\nabla} f

\vec{\nabla} \cdot (f \vec{F}) = (\vec{\nabla} f) \cdot \vec{F} + f (\vec{\nabla} \cdot \vec{F})

\vec{\nabla} \times (f \vec{F}) = \vec{\nabla} f \times \vec{F} + f \vec{\nabla} \times \vec{F}

\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} f = {\vec{\nabla}}^{2} f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}

onde

{\vec{\nabla}}^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

é o operador laplaciano

\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} f) = 0

\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{F}) = 0

10.

\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{F}) = \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) - {\vec{\nabla}}^{2} \vec{F}

11.

\vec{\nabla} \cdot (\vec{F} \times \vec{G}) = G \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{F}) - F \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{G})

12.

\begin{matrix} \vec{\nabla} \times (\vec{F} \times \vec{G}) = (\vec{G} \cdot \vec{\nabla}) \vec{F} - \vec{G} (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) - \\ - (\vec{F} \cdot \vec{\nabla}) \vec{G} + \vec{F} (\vec{\nabla} \cdot \vec{G}) \end{matrix}

13.

\begin{matrix} \vec{\nabla} (\vec{F} \cdot \vec{G}) = (\vec{G} \cdot \vec{\nabla}) \vec{F} + (\vec{F} \cdot \vec{\nabla}) \vec{G} + \\ + \vec{F} \times (\vec{\nabla} \times \vec{G}) + \vec{G} \times (\vec{\nabla} \times \vec{F}) \end{matrix}

14.

\vec{\nabla} φ (r) = φ^{'} (r) \hat{r}

As demonstrações dos itens 1, 2 e 3 da tabela 4.1 vem diretamente da linearidade das derivadas parciais. De fato, no caso do item 1,

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} (f + g) & = & \frac{\partial (f + g)}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial (f + g)}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial (f + g)}{\partial z} \vec{k} \\ = & (\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x}) \vec{i} + (\frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial y}) \vec{j} + (\frac{\partial f}{\partial z} + \frac{\partial g}{\partial z}) \vec{k} \\ = & \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial g}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial g}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{k} + \frac{\partial g}{\partial z} \vec{k} \\ = & \vec{\nabla} f + \vec{\nabla} g . \end{array}

As demonstrações dos itens 2 e 3 são análogas ao do item 1. Os itens 4, 5 e 6 da tabela 4.1 são demonstrados a partir da propriedade da derivadas parciais do produto de duas funções. No caso do item 4,

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} (f g) & = & \frac{\partial (f g)}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial (f g)}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial (f g)}{\partial z} \vec{k} \\ = & (f \frac{\partial g}{\partial x} + g \frac{\partial f}{\partial x}) \vec{i} + (f \frac{\partial g}{\partial y} + g \frac{\partial f}{\partial y}) \vec{j} + (f \frac{\partial g}{\partial z} + g \frac{\partial f}{\partial z}) \vec{k} \\ = & f (\frac{\partial g}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial g}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial g}{\partial z} \vec{k}) + g (\frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{k}) \\ = & f \vec{\nabla} g + g \vec{\nabla} f \end{array}

O item 7 está demonstrado na expressão 4.14. Os itens 8 e 9 podem ser provados por simples inspeção, desde que assumimos que as funções envolvidas possuem a segunda derivada contínua:

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \times \vec{\nabla} f & = & |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{matrix}| \\ = & \vec{i} (\frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y} - \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z}) \\ + & \vec{j} (\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x}) \\ + & \vec{k} (\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}) \end{array}

Sob a regularidade exigida, as derivadas parciais podem ser comutadas e cada termo do rotacional é nulo, isto é:

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \times \vec{F} & \equiv & 0 & (4.15) \end{array}

A demonstração é análoga para o item 9 da tabela.

Para o item 10 da tabela, supondo $\vec{F} = F_{1} \vec{i} + F_{2} \vec{j} + F_{3} \vec{k}$ , observemos que

\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{F}) = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z} & \frac{\partial F_{1}}{\partial z} - \frac{\partial F_{3}}{\partial x} & \frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y} \end{matrix}| .

(4.16)

Os termos à direita do item 10 são:

\vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) = \vec{\nabla} (\frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z})

(4.17)

- {\vec{\nabla}}^{2} \vec{F} = - \frac{\partial^{2} \vec{F}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2} \vec{F}}{\partial y^{2}} - \frac{\partial^{2} \vec{F}}{\partial z^{2}} .

(4.18)

Vamos calcular apenas a compotente $\vec{i}$ de cada um dos três termos imediatamente acima. A componente $\vec{i}$ da expressão (4.16) é

\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y}) - \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial F_{1}}{\partial z} - \frac{\partial F_{3}}{\partial x}),

(4.19)

a componente $\vec{i}$ da expressão (4.17) é

\frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial y x} + \frac{\partial^{2} F_{3}}{\partial z x}

(4.20)

e a componente $\vec{i}$ do operador (4.18) é

- \frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial y^{2}} - \frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial z^{2}} .

(4.21)

Agora, ﬁca fácil ver que a soma das expressões (4.21) e (4.20) resulta na expressão (4.19). Analogamente, podemos demonstrar a igualdade das outras duas componentes para concluir a validade do item 10 da tabela. As demonstrações dos itens 11, 12 e 13, embora um pouco mais longas, são análogas a do item 10, e ﬁcam como exercício. O demonstração do item 14 será feita na seção 4.8

Exercícios resolvidos

ER 4.3.1. Mostre que $\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} f \times \vec{\nabla} g) = \vec{0}$

Solução.

\begin{array}{rcl} E & = & \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} f \times \vec{\nabla} g) \\ = & \vec{\nabla} g \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} f) + \vec{\nabla} f \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} g) t a b (11) com \vec{F} = \nabla f e \vec{G} = \nabla g . \\ = & 0 t a b (8) \end{array}

$♢$

ER 4.3.2. Simpliﬁque $\vec{\nabla} \times (\vec{F} \vec{\nabla} \cdot \vec{F}) + \vec{F} \times [\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{F}] + \vec{F} \times {\vec{\nabla}}^{2} \vec{F}$ e mostre que esta expressão equivale a $(\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) (\vec{\nabla} \times \vec{F})$

Solução.

\begin{array}{rcl} \vec{E} & = & \vec{\nabla} \times (\vec{F} \vec{\nabla} \cdot \vec{F}) + \vec{F} \times [\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{F}] + \vec{F} \times {\vec{\nabla}}^{2} \vec{F} \\ = & \vec{\nabla} \times (\vec{F} \vec{\nabla} \cdot \vec{F}) + \vec{F} \times [\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{F} + {\vec{\nabla}}^{2} \vec{F}] \\ = & \vec{\nabla} \times (\vec{F} \vec{\nabla} \cdot \vec{F}) + \vec{F} \times \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) t a b (10) \\ = & [\vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) \times \vec{F} + (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) (\vec{\nabla} \times \vec{F})] + \vec{F} \times \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}), t a b (6) com f = \vec{\nabla} \cdot \vec{F} . \\ = & (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) (\vec{\nabla} \times \vec{F}) \end{array}

Onde se usou que $\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A}$ .

$♢$

ER 4.3.3.

Veriﬁque $t a b (10)$ , isto é, $\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{F} = \vec{\nabla} \vec{\nabla} \cdot \vec{F} - {\vec{\nabla}}^{2} \vec{F}$ para

\vec{F} = x^{2} y \vec{i} + x y z \vec{j} + z^{2} y \vec{k} .

Solução.

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \times \vec{F} & = & |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^{2} y & x y z & z^{2} y \end{matrix}| \\ = & (z^{2} - x y) \vec{i} + (0 - 0) \vec{j} + (y z - x^{2}) \vec{k} \end{array}

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{F} & = & |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ (z^{2} - x y) & 0 & (y z - x^{2}) \end{matrix}| \\ = & (z - 0) \vec{i} + (2 z + 2 x) \vec{j} + (0 + x) \vec{k} \end{array}

\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) & = & \vec{\nabla} (2 x y + x z + 2 y z) \\ = & (2 y + z) \vec{i} + (2 x + 2 z) \vec{j} + (x + 2 y) \vec{k} \end{array}

\begin{array}{rcl} {\vec{\nabla}}^{2} \vec{F} & = & 2 y \vec{i} + 0 \vec{j} + 2 y \vec{k} \end{array}

Vemos que a identidade se veriﬁca.

$♢$

Exercícios

E 4.3.1. Calcule o divergente e o rotacional do campo $\vec{F}$ para

$\vec{F} = x^{2} \vec{i} - 2 \vec{j} + y z \vec{k}$
$\vec{F} = e^{x y} \vec{i} - \cos (y) \vec{j} + {sen}^{2} (z) \vec{k}$

Resposta.

$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = 2 x + y$ e $\vec{\nabla} \times \vec{F} = z \vec{i}$
$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = y e^{x y} + sen (y) + sen (2 z)$ e $\vec{\nabla} \times \vec{F} = - x e^{x y} \vec{k}$

E 4.3.2. Mostre que se $\vec{u} = a \vec{i} + b \vec{j} + c \vec{k}$ , onde $a$ , $b$ e $c$ são constantes, e $\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ , então:

$\vec{\nabla} \cdot (\vec{u} \times \vec{r}) = 0$ .
$\vec{\nabla} \times (\vec{u} \times \vec{r}) = 2 \vec{u}$ .

E 4.3.3. Dado $f = 2 x z^{4} - x^{2} y$ , calcule $\vec{\nabla} f$ e $∥ \vec{\nabla} f ∥$ no ponto $P (2, - 2, 1)$ .

Resposta.

\vec{\nabla} f = 10 \vec{i} - 4 \vec{j} + 16 \vec{k}

∥ \vec{\nabla} f ∥ = 2 \sqrt{93}

E 4.3.4. Mostre que $(\vec{F} \cdot \vec{\nabla}) \vec{r} = \vec{F}$ , onde $\vec{F} = f (x, y, z) \vec{i} + g (x, y, z) \vec{j} + h (x, y, z) \vec{k}$ .

E 4.3.5. Mostre que

{\vec{\nabla}}^{2} (f g) = f {\vec{\nabla}}^{2} g + 2 \vec{\nabla} f \cdot \vec{\nabla} g + g {\vec{\nabla}}^{2} f .

E 4.3.6. Use a tabela do operador del para mostrar que:

$(\vec{F} \cdot \vec{\nabla}) \vec{F} = \frac{1}{2} \vec{\nabla} (\vec{F} \cdot \vec{F}) - \vec{F} \times (\vec{\nabla} \times \vec{F})$ .
$\vec{\nabla} \cdot (\vec{F} \times \vec{r}) = \vec{r} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{F})$ .

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