Fecho

Em topologia, o fecho ou aderência de um subespaço topológico S de X é o menor fechado de X que contém S.

Definição

O fecho de um conjunto $X$, denotado por ${\overline {X}}$, é o conjunto formado pelos seus pontos aderentes.

Um conjunto é considerado fechado se é igual ao seu fecho. Ou seja, quando contém todos os seus pontos aderentes.

Propriedades

• O fecho de S é a intersecção de todos os fechados que contêm S;
• O fecho de um conjunto X (${\overline {X}}$) é obtido acrescentando-se a X os seus pontos de acumulação, ou seja, é a união de dois conjuntos, X e $X'$ (=conjunto dos pontos aderentes): ${\overline {X}}=X\cup X'$ . Por exemplo, se tomarmos o conjunto aberto $X=\left(0,3\right)$, então seu fecho será o conjunto fechado ${\overline {X}}=X\cup X'=\left[0,3\right]$.

O fecho de S é a união de S com a sua fronteira.

Exemplos

• O fecho do conjunto $\mathbb {Q}$ dos números racionais é a reta $\mathbb {R}$. Também o fecho do conjunto $(\mathbb {R} -\mathbb {Q} )$ dos números irracionais é $\mathbb {R}$. $\mathbb {Q}$ e $(\mathbb {R} -\mathbb {Q} )$ não são conjuntos fechados.
• O fecho de uma bola aberta é uma bola fechada.

Bibliografia

• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada