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Cet article a �t� publi� une premi�re fois en 1987 dans un ouvrage collectif intitul� La Math�matique Non-standard (�ditions du C.N.R.S.), puis une seconde fois en 1994 par la revue l'Ouvert (revue �dit�e par l'I.R.E.M. de Strasbourg), apr�s la mort de Georges Reeb. Pour   le m�me num�ro de l'Ouvert, j'ai �crit aussi un texte sur la personnalit� de Georges Reeb et les conditions de ma rencontre avec lui. Ce document est accessible � Reeb.

INTUITIONNISME 84

par

Jacques HARTHONG     et    Georges REEB

Avertissement ajout� en 1994 pour la publication par l'Ouvert

Dans le texte qui suit (aux paragraphes 10 - 12), sera expos�e bri�vement, pour les besoins argumentatifs des auteurs, la critique faite par le math�maticien L. E. J. Brouwer au programme de Hilbert de formalisation des math�matiques. Dans la formulation de sa critique, Brouwer a tr�s souvent utilis� le ``th�or�me'' de Fermat comme argument, en tant que prototype de conjecture arithm�tique ind�cidable. Afin de conserver la fraicheur du style original et de mieux marquer son caract�re historique, nous avons conserv� cette mani�re imag�e de se faire comprendre, l� o� le sp�cialiste moderne de logique aurait tout simplement fait r�f�rence aux th�or�mes d'incompl�tude. Aujourd'hui, en 1994, une lecture superficielle associ�e � un battage m�diatique r�cent, pourrait produire le sentiment que tous ces arguments seraient p�rim�s, puisque le th�or�me de Fermat est depuis peu d�montr�. Je me sens donc oblig� de formuler l'avertissement suivant.

a) Le th�or�me (la conjecture) de Fermat n'�tait chez Brouwer qu'un prototype possible de conjecture ind�cidable, choisi pour sa c�l�brit�, afin d'illustrer plus concr�tement ou plus nomm�ment l'argumentation.

b) L'existence d'une d�monstration de ce th�or�me n'enl�ve absolument rien aux arguments avanc�s et peut m�me, au contraire, leur donner un relief suppl�mentaire, comme le montrera ais�ment toute lecture non superficielle.

Le texte d'Intuitionnisme 84 est reproduit ici dans sa version de 1987 sans la moindre modification.

1. Cet article r�pond � un autre, �crit par Abraham Robinson, et dont le titre �tait Formalism 64 [1]. On pr�sente habituellement le formalisme et l'intuitionnisme comme des ennemis irr�ductibles, le formalisme comme le vainqueur, l'intuitionnisme comme le vaincu. Nous pensons que ce d�bat, d�j� ancien, est compl�tement fauss� par bien des malentendus et beaucoup de mauvaise foi, et surtout par l'extr�me confusion dans laquelle ont baign� toutes ces discussions. Pour nous, l'essentiel du travail dont nous rendons compte ici aura consist� � clarifier les termes de ce d�bat. Ainsi, il nous a paru remarquable que Robinson, dans l'article cit�, ait de certains probl�mes une approche tr�s voisine de la n�tre, alors qu'il se pr�sente comme formaliste; nous serions tent�s d'en d�duire que toutes ces �tiquettes ne signifient pas grand chose et la vraie question est de savoir ce qui, derri�re les �tiquettes, a motiv� cette guerre id�ologique.

Quoi que vous puissiez penser de cette expression certes un peu brutale, elle exprime n�anmoins une des difficult�s du d�bat; car le mot ``formalisme'', qui a �t� trait� � toutes les sauces, est maintenant trop ambigu pour �tre employ� seul, sans �pith�te. Aussi sommes nous amen�s, et m�me contraints, � distinguer la simple m�thode formaliste, qui est une pratique, et l'id�ologie formaliste; en effet, s'il y a une id�ologie intuitionniste et une id�ologie formaliste qui s'affrontent, l'intuitionnisme bien compris (le n�tre par exemple), ne peut rien trouver � redire � l'emploi, �galement bien compris, de la m�thode formaliste. Le but de cet article est donc justement d'expliquer ce que sont ``l'intuitionnisme bien compris'' et ``le formalisme bien compris''. Nous ferons aussi volontiers la distinction entre le formalisme historique, c'est � dire les positions exprim�es apr�s m�re r�flexion par les cr�ateurs du formalisme tels que Hilbert ou Fraenkel, et la vulgate formaliste d'aujourd'hui. Nous vous pr�venons tout de suite que nous n'avons aucun souci de fid�lit� doctrinale � aucune �cole constitu�e, et notre position r�sulte surtout d'une certaine lecture (que vous pourrez juger toute personnelle, nous n'y voyons aucun inconv�nient) des textes classiques de l'intuitionnisme, notamment de Brouwer. Ainsi, comme Robinson qui se demandait en quoi peut consister le formalisme de 1964, nous nous demandons ce que pourrait �tre l'intuitionnisme de 1984. Il nous est apparu que, loin d'�tre une doctrine depuis longtemps d�pass�e, comme le veut un pr�jug� r�pandu, l'intuitionnisme est plus actuel que jamais; au fond, c'est simplement la position philosophique de ceux qui ne croient pas qu'on puisse une fois pour toutes enfermer la math�matique dans un dogme fig�, que par exemple l'invention de l'ordinateur, qui est un ph�nom�ne technologique et historique, peut modifier la math�matique comme l'usage (par Galil�e) de la lunette a transform� la m�canique.

2. Voici donc - autant annoncer la couleur tout de suite - nos principales th�ses: nous consid�rons

a) que la math�matique formelle (la th�orie axiomatique des ensembles de Zermelo-Fraenkel, qu'on nous a toujours pr�sent�e, lorsque nous �tions �tudiants et na�fs, comme le fondement absolu et �ternel de la math�matique) n'est qu'une th�orie scientifique �ventuellement sujette � la r�futation (nous dirons plus loin comment), une simple interpr�tation d'une r�alit� qui lui est ext�rieure, et non la r�alit� math�matique elle-m�me;

b) que ce qu'il y a de scientifique dans la math�matique, c'est l'articulation entre la th�orie (quelle qu'elle soit) et cette r�alit�, et non le caract�re formel et abstrait de la th�orie qui n'est qu'un instrument;

c) que cette articulation entre la th�orie et la r�alit� repose sur la m�thode exp�rimentale dans les sciences de la nature, mais sur la m�thode constructive dans la math�matique;

d) que, l'id�ologie formaliste ayant ni� cette r�alit� ext�rieure � la th�orie en pr�tendant que la seule r�alit� math�matique est la th�orie formelle elle-m�me, sa domination �crasante pendant un demi-si�cle a eu pour cons�quence de prendre cette th�orie beaucoup trop au s�rieux, d'en oublier toute la relativit� historique et s�mantique, d'en faire un dogme pesant et tyrannique, une langue de bois qui interdit toute expression personnelle, qui change le travail du math�maticien en publications standardis�es et insipides, et les chercheurs en robots.

Le lecteur habitu� aux classiques de l'intuitionnisme ne reconna�tra peut-�tre pas dans ce qui pr�c�de ses th�mes favoris. Nous pourrions lui r�pondre que c'est justement pour cela que nous avons intitul� cet article Intuitionnisme 84; mais cela effacerait le plus int�ressant de cette histoire: en effet, nous entendons prouver ici-m�me que tout cela figure d�j� chez Brouwer, implicitement, mais irr�futablement.

3. A vrai dire, les id�es de Brouwer, telles qu'il les a exprim�es, se cristallisent autour du principe du tiers exclu; � notre avis, il faut avant tout, si on veut p�n�trer la pens�e de Brouwer, chercher le sens que ce principe avait pour lui. Si au contraire, comme certaines traditions l'ont fait par la suite, on donne un sens �tranger au principe du tiers exclu, et qu'on traduit la pens�e de Brouwer avec ce faux sens, on obtient des id�es qui sont tr�s faciles � tourner en d�rision, mais ce proc�d� n'est gu�re honn�te. Nous montrerons que les critiques qu'il a faites � l'encontre de ce principe correspondent bel et bien aux th�ses a), b), c) que nous avons pr�sent�es ci-dessus (tout ce que nous avons ajout�, ce sont des cons�quences in�luctables que Brouwer n'a pas tir�es explicitement). A cause de ce malentendu, de cette incompr�hension, on a retenu de Brouwer le refus de toute logique bivalente, un refus non motiv� et qui par cons�quent para�t gratuit, comme le caprice d'un fou. Or Brouwer n'a jamais interdit que l'on construise des th�ories � partir d'une logique bivalente, il a seulement dit que cette logique bivalente n'est pas d�j� inscrite dans la r�alit�, qu'elle est une cr�ation de l'esprit humain, qui aime la simplicit�, et qu'� ce titre les math�maticiens peuvent l'introduire dans leurs cr�ations, mais non pr�tendre que la nature lui ob�it. Voyons cela de plus pr�s.

4. Le principe du tiers exclu est g�n�ralement �nonc� sous la forme simple mais ambigu� que voici:

Pour toute proposition P, ou bien P est vraie, ou bien non P est vraie, et il n'y a pas d'autre possibilit�.

Mais faute de s'�tre entendu sur le sens des mots vrai ou faux, cela peut s'interpr�ter n'importe comment. On trouve le m�me d�faut dans la formulation �quivalente et tout aussi classique:

Si une proposition P est contradictoire, (c'est � dire si ses cons�quences logiques conduisent � une absurdit�) alors non P est vraie.

Si maintenant nous exprimons ce m�me principe sous une forme plus soign�e et plus pr�cise, qui �limine toute l'ambigu�t�, on obtient suivant les cas des �nonc�s justes ou absurdes, mais sans la moindre discussion possible. L'intuitionnisme (mais certainement aussi le formalisme bien compris) ne consiste donc pas � refuser le principe du tiers exclu, mais � en exiger un �nonc� sans pr�suppos� implicite ou inavou�. Voici une version que Brouwer aurait admise sans h�sitation:

Si � l'int�rieur d'une th�orie formelle bas�e sur une logique bivalente, une proposition P est contradictoire, alors non P est une proposition vraie de cette th�orie.

Toutefois, en perdant son ambigu�t�, cet �nonc� est devenu une simple tautologie, puisque dans une th�orie formelle le vrai et le faux sont de pure convention, et que la logique bivalente consiste justement � convenir du vrai et du faux de mani�re � satisfaire cet �nonc�. Le probl�me appara�t lorsqu'on ne veut pas (ou ne peut pas) se contenter d'une v�rit� de pure convention, et qu'on veut lui conf�rer une pertinence, une quelconque ad�quation � une r�alit� ext�rieure. N'oublions pas que l'id�e qui est � la base du formalisme est de r�duire la d�duction � un proc�d� m�canique et aveugle qui fait totalement abstraction du sens. C'�tait � l'origine une ruse de Hilbert pour �chapper aux objections contre les transfinis de Cantor, dont il s'�tait �pris, mais que par la suite on a feint de prendre au s�rieux. Pour Hilbert, cette id�e (qui est g�niale, nous tenons � le proclamer) devait permettre de r�cup�rer une th�orie douteuse, celle de Cantor, pour rendre compte de toutes sortes de choses fort utiles, comme les nombres, les fonctions, etc. Pour un formaliste vraiment cons�quent, qui ne triche pas avec les principes affich�s, rien n'emp�cherait que l'on choisisse, � la place des axiomes de Peano, un autre syst�me o� 2+2 = 5, du moment que ce nouveau syst�me n'est pas contradictoire. Or, on ne le fait pas; on trouverait m�me scandaleux de s'amuser ainsi avec l'argent des contribuables, et ce qu'on demande � une th�orie formelle, c'est de ``coller'' � quelque chose qui lui est ext�rieur, mais dont les formalistes �vitent syst�matiquement de parler. C'est cette chose ext�rieure qui fournit le crit�re de validit�, et qui pr�side au bon choix de ce qui devrait �tre vrai ou faux dans une th�orie pertinente. Sur cette chose ext�rieure les math�maticiens n'ont gu�re de pouvoir, en particulier ils ne peuvent lui imposer de se soumettre � une logique bivalente; cette r�alit�, pour l'appeler par son nom, est ce qu'elle est, et lorsque les math�maticiens (par exemple Zermelo et Fraenkel) construisent une th�orie formelle, ils la choisissent en sorte qu'elle co�ncide le mieux possible avec cette r�alit�. La critique de Brouwer � l'encontre du formalisme consiste alors essentiellement en ceci: les formalistes ont tort de croire que, une fois la th�orie formelle construite (par exemple la th�orie des ensembles de Zermelo et Fraenkel) elle devient ipso facto la r�alit� math�matique, en supplantant l'autre qu'on s'empresse d'oublier. Cinquante ans apr�s les critiques de Brouwer, nous ajouterons que les formalistes ont r�alis� au sein de la communaut� math�matique ce que George Orwell avait d�crit dans son roman 1984 (encore une justification pour notre titre) et qu'heureusement aucun r�gime politique n'a encore r�ussi aussi parfaitement: faire croire � l'�crasante majorit� du peuple que la r�alit� est ce qu'on lui raconte et non ce qui se passe r�ellement. Le sympt�me caract�ristique de ce genre de situation est que dans la conscience collective, ``la r�alit� est per�ue comme de la m�taphysique''. Il existe un test infaillible pour mettre en �vidence les efforts permanents d�ploy�s par les math�maticiens d'aujourd'hui pour oublier cette chose ext�rieure qui avait pr�sid� aux choix de Hilbert, Zermelo, Fraenkel: leur faire lire le d�but de cet article et constater leur agacement � propos du mot r�alit� que machiav�liquement nous avons r�p�t� avec tant d'insistance; s'il n'y avait pas anguille sous roche, ce mot serait tout � fait innocent, puisque nous ne l'avions pas encore d�fini.

5. D�s lors, tout le probl�me pour Brouwer revient � mettre au point une m�thode s�re pour appr�hender cette fameuse ``r�alit�'' ext�rieure au formalisme. Une m�thode s�re, cela signifie au premier chef une m�thode qui soit, de mani�re absolument certaine, susceptible de donner des r�sultats ind�pendants de tout pr�suppos� th�orique; quelque chose comme la m�thode exp�rimentale mise au point dans d'autres secteurs par de grands anc�tres comme Galil�e, Lavoisier, ou Claude Bernard. Cette m�thode, c'est tout simplement la m�thode constructive.

Entendons-nous bien: nous ne pr�tendons pas que Brouwer a dit tout cela de mani�re explicite, ni qu'il avait vu les choses comme nous vous les pr�sentons ici. Ce que nous disons, c'est que, lus en 1984, les textes de Brouwer m�me les plus sibyllins deviennent absolument clairs et logiques lorsqu'on les interpr�te ainsi (voir par exemple annexe 1).

La math�matique intuitionniste n'est donc pas une autre th�orie math�matique � mettre en concurrence avec, disons, la th�orie des ensembles de Zermelo et Fraenkel (devenue entretemps dogme officiel). C'est une entreprise compl�mentaire, dont le but est d'�tablir des faits math�matiques ind�pendants de tout formalisme, afin de les comparer aux v�rit�s �tablies par la th�orie, et de contester �ventuellement celle-ci si par exemple elle m�ne � trop de r�sultats purement id�aux (en principe, la math�matique intuitionniste a aussi un r�le plus imm�diat: �carter d'office les th�ories formelles en contradiction avec la math�matique intuitionniste, mais les intuitionnistes n'ont nullement besoin de s'en pr�occuper, puisque les formalistes, qui en secret sont bien plus intuitionnistes qu'ils ne veulent bien le dire, se sont toujours tr�s bien d�brouill�s tous seuls � cet �gard). Mieux qu'un discours g�n�ral et abstrait, voici un exemple qui montre bien le r�le de garde-fou, en tous point comparable � l'exp�rimentation dans les sciences de la nature, que joue la math�matique intuitionniste: on sait depuis longtemps que sur ``la droite'' (c'est � dire sur R ) il n'y a pas d'ensemble � la fois non mesurable (pour la th�orie de Lebesgue) et constructif. La th�orie pr�voit, en cons�quence de l'axiome du choix, qu'il existe des ensembles non mesurables, mais ces ensembles font partie des objets id�aux de la th�orie, ils n'ont pas d'existence objective, c'est � dire qu'assur�ment il est � jamais impossible de les voir constructivement, et leur existence ou la forme qu'ils prennent d�pend de la th�orie formelle. R�cemment il a �t� prouv� [7] qu'une autre th�orie formelle �tait possible, tout aussi acceptable que l'actuelle car relativement consistante, mais dans laquelle les ensembles non mesurables n'existent pas. Ce serait donc une th�orie qui, dans le cas pr�cis des ensembles mesurables, ``collerait'' mieux � la r�alit�. Bien s�r, on ne peut exclure a priori qu'elle colle moins bien ailleurs, mais elle fait peur pour une autre raison: elle priverait les math�maticiens des facilit�s de l'axiome du choix. Il n'est pas question ici de prendre parti sur ce point. Nous voulions seulement en venir � ceci: susciter un tel d�bat est un acte typiquement intuitionniste, d'ailleurs tout � fait compatible avec le formalisme bien compris; un acte qui ne peut qu'enrichir la math�matique, mais qui n'a pas de sens pour quiconque croit dur comme fer que les ensembles non mesurables existent sous pr�texte qu'un th�or�me le dit. En somme, ce d�bat revient � choisir entre une th�orie plus juste (plus proche de la r�alit� constructive) mais moins facile, et une th�orie postulant des choses en trop mais plus facile. L'exp�rience �pist�mologique acquise dans d'autres sciences que la math�matique (la physique, par exemple) montre que ce type de d�bat est tout � fait classique; voyez � ce sujet par exemple les probl�mes de l'�lectrodynamique quantique.

En fin de compte, il appara�t que, en vertu de son r�le de garde-fou que nous venons de souligner, c'est la math�matique intuitionniste qui conf�re � la math�matique son statut scientifique (dans le sens de l'�pist�mologie classique); le refus de la conception intuitionniste �quivaut � l'affirmation que la math�matique est un jeu gratuit; cette fa�on de voir est bien s�r respectable et nous ne d�sirons nullement envoyer ses partisans dans un camp de concentration: le probl�me, c'est que ce sont les partisans de cette id�ologie eux-m�mes qui, apr�s avoir proclam� bien haut leurs convictions il y a vingt ans, s'en mordent les doigts aujourd'hui en constatant le tr�s mauvais effet de leurs vantardises sur l'image de marque de la math�matique aupr�s du reste de la communaut� scientifique. Nul ne trouverait � redire si la conviction des formalistes purs et durs n'�tait qu'une conviction intime, proclam�e peut-�tre, mais sans les abus de pouvoir susceptibles de provoquer les d�g�ts mat�riels que nous d�plorons maintenant. Nous sommes bien forc�s de constater aujourd'hui que la domination sans partage pendant quarante ans de l'id�ologie que nous critiquons ici a fait de ce qu'on appelle tr�s restrictivement la communaut� math�matique une petite secte dont l'importance au sein de la communaut� scientifique diminue � vue d'oeil; et il est vain d'objecter � ce propos que les autres sciences ne peuvent, elles, se passer de la math�matique: car les autres sciences ne s'en passent pas, elles se passent seulement de la petite secte. Il suffit de feuilleter des revues de physique math�matique, d'informatique, ou de math�matiques appliqu�es pour voir que ce n'est pas la math�matique qui meurt. L'h�ritage de Newton, Laplace, Euler, n'est bien s�r pas perdu.

Peut-�tre nous objectera-t-on (il faut tout pr�voir) que la Science efficace n'est pas tout dans la vie, ni dans la math�matique, et qu'on peut faire de tr�s belles choses sans qu'obligatoirement elles satisfassent aux crit�res de pertinence ou d'ad�quation � la r�alit� que nous avons laborieusement expos�s ci-dessus; et aussi que l'�pist�mologie classique, avec ce qu'elle entend par ``scientifique'', n'est pas la Thora. A cela nous r�pondons: O.K., nous reconnaissons que l'esprit ludique vaut bien l'utilitarisme des technocrates (il a surtout l'avantage d'�tre infiniment moins dangereux), et nous serons parmi les premiers � tirer notre chapeau � l'artiste de g�nie qui prouverait un th�or�me totalement d�pourvu du moindre contenu s�mantique, mais si beau qu'il arracherait des larmes � Bourbaki. Le probl�me qui nous pr�occupe n'est pas celui de l'utilitaire; les partisans de l'esprit ludique ont en g�n�ral un humour dont les doctrinaires du jeu formaliste gratuit sont d�pourvus; d'ailleurs la doctrine de ces derniers est totalement �trang�re � l'esprit ludique et � l'amateurisme en g�n�ral; il s'agirait plut�t d'une sorte de perversion du professionnalisme. Ce qui est en tous cas certain, c'est que c'est l'intuitionnisme, proclam� ou surtout clandestin (il est g�n�ralement de meilleure qualit� sous cette seconde forme), qui non seulement donne � la math�matique le statut �pist�mologique de Science, mais aussi lui apporte le sens de la relativit� qui manque toujours dans les dogmes syst�matiques.

6. Maintenant que le r�le jou� dans la math�matique par la m�thode constructive est clarifi� (mais tout n'est pas encore dit), il serait bon de clarifier �galement les id�es et les projets formul�s par Hilbert et les formalistes historiques. Nous verrons que la cl� du malentendu est le sens donn� par chacun des protagonistes de ce drame � la v�rit� math�matique. Pour Hilbert, tout semble limpide:

Ce qui rend Hilbert si assur� dans cette affirmation est l'exp�rience historique que constitue la d�couverte des g�om�tries non-euclidiennes. Comme chacun sait, la math�matique a mis longtemps � accepter celles-ci, conservant longtemps le pr�jug� selon lequel la g�om�trie euclidienne �tait la seule vraiment r�elle. Le raisonnement suivi par Hilbert est bien simple: une fois admis que la g�om�trie hyperbolique est tout aussi r�elle que l'euclidienne, il n'y a plus aucune raison de d�nier les m�mes droits � tout autre syst�me logiquement consistant. C'est l� un raisonnement typique de formaliste: il ne para�t juste que coup� de la pratique. Dans les pr�suppos�s de son raisonnement, Hilbert a omis les raisons r�elles, pratiques, historiques, qui ont donn� aux g�om�tries non-euclidiennes tout leur sens. En effet, si le pr�jug� selon lequel l'espace hyperbolique n'existe pas, ou est moins r�el que l'euclidien, a fini par tomber, ce n'est pas par la conviction qu'il est logiquement consistant (cette conviction, tout le monde l'avait), mais parce qu'il s'int�grait dans la culture math�matique; il correspondait � quelque chose de repr�sentable, de compr�hensible (par exemple, on pouvait en donner des mod�les comme le demi-plan de Poincar�). Et si personne n'avait jamais trouv� aucune signification, aucun contenu s�mantique, � la g�om�trie hyperbolique, si celle-ci n'avait �t� qu'un langage formel intraduisible ou inintelligible, non seulement elle serait rest�e une simple curiosit� peu connue, mais jamais Hilbert n'aurait pu affirmer ce qu'il a affirm� dans cette lettre � Frege avec autant de certitude. Le contenu s�mantique, voil� le concept-cl� de l'intuitionnisme, qui sous-tend toute la pens�e de Brouwer. Mais nous demandons au lecteur de bien noter que, quoiqu'il mette l'accent ailleurs, et pour cause, Hilbert recourt � ce concept, et cela dans l'expos� m�me de la m�thode formaliste: en effet, il compare celle-ci � la m�thode alg�brique (voir l'annexe 2). Il explique qu'une formule alg�brique quelconque, comme par exemple (x+y)² = x²+2xy+y² peut se concevoir de deux mani�res. Ou bien elle exprime une propri�t� des nombres: en rempla�ant x et y par deux nombres quelconques, les deux membres de l'�galit� seront identiques (ce sera le m�me nombre). Ou bien, on fait abstraction de ce sens, et on obtient la formule en appliquant m�caniquement et aveugl�ment les r�gles formelles du calcul alg�brique (on ``d�veloppe'' (x+y)²). Dans la premi�re conception, la formule n'est qu'un langage qui exprime une propri�t� d'observation, une v�rit� scientifique sur des objets, les nombres; cette v�rit� est alors le contenu s�mantique de la formule. Dans la deuxi�me conception, la formule n'est plus un langage, mais un objet, et on exprimera dans un autre langage des propri�t�s de cet objet, telles que par exemple les r�gles formelles du calcul alg�brique. Diophante d'Alexandrie ou Fran�ois Vi�te ne sont jamais sortis de la premi�re, mais il est naturel, et m�me sain, que la seconde pr�domine une fois que le calcul alg�brique est � ce point entr� dans les moeurs qu'il en devient une routine qu'on accomplit avec le plus parfait automatisme. Il ne viendrait � l'esprit d'aucun alg�briste de pr�tendre que le contenu s�mantique d'une formule n'existe pas (le principal avantage de la m�thode alg�brique est m�me qu'il peut y en avoir plusieurs), mais il est vrai aussi qu'� force de pratiquer le calcul formel on peut oublier non seulement que ce contenu existe, mais surtout que c'est son observation qui apporte la connaissance de la v�rit� et qui est le v�ritable fondement des r�gles du calcul alg�brique. Oublier le contenu s�mantique d'une th�orie formelle aussit�t celle-ci construite, alors que celui-l� a tant servi � sa g�n�se est donc non seulement une attitude hypocrite et illogique, mais peut mener � des exc�s assez d�testables. Bien entendu vous n'aurez aucun mal � trouver bien pire dans le domaine des exc�s, mais ce ne serait qu'une argutie pour faire diversion.

7. Pourtant, ce qui a fait na�tre les controverses dont nous parlons ici, ce sont les difficult�s logiques li�es � l'infini (c'est d'ailleurs pour cette raison que l'article de Hilbert que nous citons s'intitule ``sur l'infini''), en particulier � la th�orie de Cantor. Le probl�me est que les cardinaux transfinis n'ont justement pas de contenu s�mantique (voyez � ce sujet les remarques p�n�trantes de Poincar� � propos de Cantor: ``La logique de l'infini'', dans Derni�res pens�es, notamment pages 132 � 139 de l'�dition Flammarion; les extraits les plus significatifs sont donn�s dans l'annexe 3). Si on d�veloppe toutes les cons�quences d'une axiomatique non euclidienne, on obtient toutes sortes de th�or�mes relatifs au plan ou � l'espace non euclidiens, mais tous ces th�or�mes sont directement interpr�tables dans un mod�le tel que le demi-plan de Poincar�, car tous les concepts de base (point, droite, ...) y ont leur objet. Il en va diff�remment pour une th�orie formelle qui pr�tend int�grer un concept sans objet (sans contenu s�mantique) tel que la puissance du continu. N'oublions pas qu'au d�part, pour Hilbert, il y avait le probl�me suivant: la th�orie de Cantor inclut des concepts sans objet. (Signalons que Cantor lui-m�me n'�tait pas du tout de cet avis. Pour lui, l'existence des cardinaux transfinis �tait aussi s�re et objective que l'existence des pyramides d'Egypte; les hommes ne pouvaient pas les concevoir car leurs sens �taient trop rudimentaires, mais Dieu, lui, les voyait. Il n'a pas �t� suivi dans cette m�taphysique, sauf par l'interm�diaire de la caution propos�e par Hilbert). Mais pourtant elle rend merveilleusement compte de ce que les math�maticiens r�vent de th�oriser depuis vingt-cinq si�cles: le continu. Y renoncer e�t fait trop mal, mais il fallait trouver d'urgence une casuistique pour faire accepter la m�taphysique qu'elle contenait aux vilains rationalistes du si�cle. D'o� la ruse que voici:

Cette phrase est toujours extraite de Ueber das Unendliche; nous la reproduisons ici toute seule pour ne pas disperser le fil de notre argumentation, mais nous avons mis dans l'annexe (2) une traduction du contexte tout entier; nous vous invitons � lire tout � l'heure ce texte lumineux.

L'id�e �tait donc la suivante: ou bien on prend la r�alit� math�matique des nombres, des fonctions, etc. telle qu'elle est; des nombres, des fonctions, etc., qui existent vraiment, qu'on peut d�finir explicitement et finitairement, ceux qu'on peut calculer, tabuler (au moins en principe), c'est � dire ceux qui sont donn�s par un algorithme constructif; mais sur cette r�alit�, la seule vraiment objective, c'est � dire ind�pendante de la th�orie, nous n'avons aucun pouvoir, nous ne pouvons que l'observer (soit directement, avec un ordinateur par exemple, soit par des raisonnements strictement constructifs); il n'y a en elle aucun ordre logique pr�alable � celui que l'esprit humain peut y mettre. Ou bien on laisse cette r�alit� provisoirement de c�t�, et on construit de toutes pi�ces un discours bas� sur une logique agr�able pour l'esprit (par exemple la logique bivalente que Hilbert qualifiait d'aristot�licienne - ce qui est impropre mais peu importe) et pouvant comporter des concepts m�me sans objet dans cette r�alit� math�matique, mais que Hilbert aimait bien, comme les cardinaux transfinis: on est alors oblig�, afin que cet �difice intellectuel ne soit pas purement gratuit, de le construire de mani�re � en tirer des propositions v�rifiables dans la r�alit� (on ne retiendra pas par exemple un syst�me dans lequel 2+2 = 5).

Or, ce que Hilbert ne dit pas, c'est que cette situation, o� une r�alit� brute ne peut �tre qu'observ�e, tandis que notre esprit construit des �difices logiques qui se v�rifient ou se r�futent, existe dans toutes les sciences, et on avait d�j� coutume, bien avant Hilbert, d'appeler objet (Gegenstand) la r�alit� brute, le plus souvent inaccessible dans son essence, et th�orie l'�difice logique construit par l'esprit. Mais il est vrai que dans les autres sciences on est moins orgueilleux que chez les math�maticiens, on n'y a pas honte d'�tre soumis � l'�preuve de la r�alit�, et on ne cherche donc pas avec tant d'�nergie � se persuader que la r�alit� ext�rieure n'existe pas, que la th�orie est la r�alit�, et que c'est l'homme qui l'a cr��e. Sur ce point, et paradoxalement, Cantor avait peut-�tre l'esprit plus scientifique que Hilbert ou Dedekind. (Vous pourrez d'ailleurs trouver � ce sujet un texte c�l�bre de Dedekind dans l'annexe 4.)

Il y a donc chez Hilbert une certaine contradiction entre les deux citations que nous avons pr�sent�es ici. D'une part (dans sa lettre � Frege) Hilbert affirme sans ambigu�t� qu'un objet existe d�s lors qu'on en a donn� une d�finition non contradictoire; et d'autre part, (dans Ueber das Unendliche) il distingue, parmi les propositions �tablies selon la m�thode axiomatique, les propositions finitaires, qui ont un contenu s�mantique, et les propositions id�ales, qui n'en ont pas; par l� m�me, Hilbert admet que ce qui n'existe qu'en vertu d'une proposition id�ale, existe moins que ce qui est finitairement et constructivement �tabli. Bien s�r cette contradiction ne d�molit nullement les id�es de Hilbert; elle montre tout au plus qu'il y avait un certain d�calage entre ses d�sirs et les r�alit�s: en quelque sorte, la lettre � Frege est un cri du coeur, tandis que Ueber das Unendliche est l'oeuvre du cerveau. A notre avis, on ne peut sortir de cette contradiction qu'en suivant Brouwer, c'est � dire en reconnaissant honn�tement que toute math�matique formelle est forc�ment une th�orie, distincte de son objet.

8. C'est donc bien ce fameux concept de contenu s�mantique qui est au centre du d�bat; il revient d'ailleurs fr�quemment aussi bien sous la plume de Brouwer que sous celle de Hilbert. Contenu s�mantique est notre traduction du mot allemand Inhalt, qui signifie normalement contenu sans autre sp�cification; mais dans le pr�sent contexte, contenu serait bien trop vague; de m�me, nous avons traduit inhaltlich par la p�riphrase relatif au contenu s�mantique, ou, sous la forme adverbe, par s�mantiquement.

Conform�ment � ce que nous avons expliqu� longuement, le contenu s�mantique d'une proposition ou d'une th�orie math�matique, c'est son rapport � une r�alit� ext�rieure (et ant�rieure) � toute th�orie, formalis�e ou pas. Nous ne discuterons pas ici de la nature de cette r�alit� ext�rieure car cela ne nous semble pas le plus important; elle est bien s�r li�e � notre perception du monde qui nous entoure. Brouwer a essay�, lui, d'en discuter, et ce qu'il a �crit � ce sujet para�t aujourd'hui bien vieillot (ce qui ne prouve pas que c'est faux). Peut-�tre y a-t-il l� une des causes du m�pris qui entoure son oeuvre, mais m�me si Brouwer a �t� maladroit ou superficiel dans son analyse de la nature de la r�alit� math�matique ext�rieure, il n'en demeure pas moins que son analyse des rapports que les th�ories et les pratiques math�matiques entretiennent avec cette r�alit� est, elle, extr�mement profonde, actuelle, et, nous allons le voir, f�conde.

Reconnaissons que des discussions philosophiques comme celle-ci ne sont pas faciles � mener, principalement � cause de l'extr�me confusion qui entoure ces questions; il y aurait certes beaucoup moins de confusion si tout cela �tait fr�quemment d�battu; au lieu de cela, on n'en parle jamais, sauf dans quelques cercles o� d'ailleurs les querelles d'�cole prennent souvent le pas sur une v�ritable r�flexion, et le r�sultat, c'est que si � br�le-pourpoint vous interrogez un math�maticien de base, il y a toutes les chances pour que, pris au d�pourvu, il ait juste le temps, pour faire bonne figure, de se raccrocher � quelque pr�jug� ou quelque clich� vaguement r�pandu. La correspondance des math�maticiens du d�but du si�cle, Borel, Hadamard, Lebesgue, Zermelo, et tant d'autres montre qu'il fut une �poque o� l'on discutait volontiers des fondements des math�matiques. De nos jours, de telles activit�s contemplatives sont plut�t mal vues; toute interrogation se voit aussit�t recouverte pudiquement d'un voile �pais essentiellement cousu d'une phras�ologie technique ultra-formalis�e. Aujourd'hui un scientifique, en particulier un math�maticien, n'a plus rien d'un humaniste: c'est un fonctionnaire charg� d'ex�cuter une t�che extr�mement parcellaire. Dans ces conditions nouvelles dominent des id�ologies appel�es positivisme logique ou id�ologie de l'expert selon lesquelles il n'y a plus de probl�me philosophique ou politique: tous les choix peuvent �tre d�cid�s par le calcul, et en particulier le probl�me des fondements des math�matiques doit �tre d�cid� uniquement par du calcul logique formel; ces id�es, que nous jugeons fort malsaines, reposent sur le pr�suppos� grossi�rement faux que l'activit� du math�maticien est identique � la d�duction enti�rement codifi�e que postule toujours la logique math�matique; au contraire selon l'intuitionnisme la logique math�matique est une th�orie et l'activit� math�matique humaine est une r�alit� qui n'a aucune raison de co�ncider avec le mod�le d'une machine de Turing pratiquant la d�duction m�canique ch�re � Peano. Dans une conception intuitionniste la question suivante (par exemple) a un sens, et m�me un sens tr�s profond:

``quel est le contenu s�mantique du th�or�me d'incompl�tude de G�del ou du th�or�me de L�wenheim ?''

Insistons sur le point suivant: la conception intuitionniste (aussi bien la n�tre que celle de Brouwer) ne nie en aucune fa�on la valeur de la logique math�matique; dire que c'est une th�orie n'est pas d�valorisant. Mais ce que nous mettons en avant contrairement aux formalistes, c'est que ce qui fait la richesse d'une science est la confrontation entre la th�orie et l'exp�rience; dans le cas de la math�matique (conform�ment � nos th�ses expos�es au d�but) c'est la confrontation entre la math�matique formelle et la math�matique constructive qui serait la v�ritable source de progr�s et d'enrichissement pour la math�matique en tant que science. La cl� de l'intuitionnisme est donc la prise en compte de l'�cart irr�ductible entre un mod�le th�orique quel qu'il soit et ``la r�alit�'', entre un concept de la th�orie et son r�f�rent objectal ou contenu s�mantique. Par exemple, puisque nous parlions de la logique math�matique, l'intuitionnisme tient pour essentiel le fait que l'activit� des math�maticiens n'est pas identique � celle des machines de Turing qui pratiqueraient la d�duction automatique (c'est sans doute l� qu'il faut voir l'origine du terme ``intuitionnisme''). Mais l'affirmation de cette distinction n'est pas une profession de foi en une id�ologie: il n'est pas difficile de prouver, m�me dans les canons de la rigueur formaliste, que les th�or�mes d�montr�s par les math�maticiens, si on les traduisait dans le langage formel postul� par Peano ou Hilbert (ce n'est pas possible mat�riellement, mais nous faisons ici une supposition) formeraient une partie incroyablement rare de l'ensemble de tous les ``th�or�mes'' au sens formaliste de ce mot: ``proposition du langage formel pouvant �tre obtenue en appliquant m�caniquement les crit�res d�ductifs aux axiomes de la th�orie''; il est bien clair que presque tous les ``th�or�mes'' au sens formel seraient totalement d�pourvus du moindre sens et ne pourraient �tre mis en correspondance avec aucune repr�sentation de la culture math�matique. Or tout math�maticien cherche � d�montrer des th�or�mes ``v�ritables'', c'est � dire correspondant � une repr�sentation forg�e par les deux mille ans de culture math�matique; ceci est un fait dont tout le monde conviendra ais�ment; le tort du formaliste n'est pas de nier ce fait, ni de le n�gliger dans la th�orie (la logique math�matique), mais d'�viter la question m�me; cette attitude est comparable � celle d'un physicien qui, � force de n�gliger le frottement dans le mouvement des corps, finirait non pas vraiment par croire que le frottement n'existe pas, mais par croire que la thermodynamique est une id�ologie et les thermodynamiciens (que dans notre m�taphore nous supposerons peu nombreux) des illumin�s. La question du contenu s�mantique du th�or�me d'incompl�tude de G�del et du th�or�me de L�wenheim, nous esp�rons vous en avoir convaincus, est donc loin d'�tre creuse!

9. Avant d'aborder le coeur de notre sujet, dans la section suivante, nous avons encore un point � discuter: quelle est au juste la raison de la domination �crasante du formalisme, alors que si peu de math�maticiens ont foi en lui ? Nous avions d�j� sugg�r� plus haut un lien entre le formalisme et le positivisme logique, lui-m�me �troitement li� � l'id�ologie de l'expert. Ce lien n'est pas difficile � �tablir historiquement: le courant philosophique appel� positivisme logique (incarn� par ``l'�cole de Vienne'') s'est r�clam� ouvertement du formalisme math�matique et la parent� est de toute fa con �vidente; moins �vidente est la parent� avec ce que nous appelons l'id�ologie de l'expert. L'id�ologie de l'expert est l'id�ologie qui vise � justifier le syst�me de valeurs suivant:

a) valeurs n�gatives: la philosophie, la religion, l'humanisme, l'id�ologie, et g�n�ralement tout ce qui rel�ve du spirituel; la gratuit� (sauf s'il s'agit de cadeaux publicitaires); la culture (sauf comme produit sur le march� de l'�dition);

b) valeurs positives: les d�cisions techniques (celles qui sont prises par des experts comp�tents en fonction des imp�ratifs purement techniques, contrairement aux d�cisions ``politiques'' prises par des id�ologues), la comp�tence, l'objectivit�, la comp�titivit�.

Quel rapport entre ce syst�me de valeurs et le formalisme ? Aucun ou presque, bien s�r, si on en juge d'apr�s les intentions des p�res du formalisme; mais les intentions des proph�tes sont une chose, les actes des pr�tres une toute autre. Et si on y r�fl�chit vraiment bien, on se rend compte que les experts ont une bonne raison de pr�f�rer la forme d'esprit qui pr�dispose au formalisme plut�t que celle qui pr�dispose � l'intuitionnisme: la premi�re se pr�te particuli�rement bien au jugement purement technique, qui peut se d�cider compl�tement par application d'un algorithme bien d�fini; tandis que la seconde recherche le jugement sur le sens et exige donc une pens�e proprement philosophique, c'est � dire justement le genre de chose que l'expert vomit.

Avouons que nous ne croyons gu�re aux pseudo-causes sur lesquelles nous avions ironis� plus haut (l'orgueil des math�maticiens, etc.). La vraie raison � notre avis du triomphe du formalisme (pardonne-nous, David, de te faire de la peine, mais nous sommes bien oblig�s de vivre avec notre temps) est tout simplement sa commodit� juridique, qui en fait un paradis pour les experts. Les canons du style Bourbaki constituent une sorte de code civil en miniature pour math�maticiens, qui para�t absurde ou ridicule si on le juge comme l'auraient fait les persans de Montesquieu, mais qui, si on tient compte de la nature humaine, est peut-�tre le seul syst�me capable d'entra�ner un consensus. Il y a beaucoup d'esprits ing�nus qui trouvent grotesque l'acharnement avec lequel le Droit prot�ge la propri�t� priv�e, et qui ne comprennent pas pourquoi la somme de toutes les lois et jurisprudences doit occuper un volume aussi fantastique, et pr�voir des centaines de milliers de cas tous plus mesquins les uns que les autres; c'est malheureusement le seul moyen d'�viter que les citoyens ne s'entretuent continuellement pour le pr� du voisin ou le passage des vaches. En math�matique c'est pareil: dans une soci�t� o� la science est professionnalis�e et peut fournir des sin�cures, comment peut-on distinguer le chercheur honn�te du petit escroc, si ce n'est par la mise en place d'un v�ritable code civil permettant de d�cider m�me dans les cas les plus mesquins de ce qui est licite et de ce qui ne l'est pas ? Il y a m�me une expression idiomatique bien connue chez les math�maticiens: ``avoir le droit de...'' qui est tout � fait significative. Ainsi, suivant les cas, on a le droit ou pas le droit de d�river une fonction, d'appliquer tel th�or�me, de d�velopper en s�rie. On mesurera mieux tout ce que cette conception juridique peut avoir de scl�rosant en songeant que l'essentiel de la cr�ation math�matique consiste justement � inventer des formes nouvelles de calcul qui autorisent soudain ce qui jusque l� �tait interdit. Une certaine clairvoyance est donc n�cessaire, que semble-t-il seul l'intuitionnisme peut apporter (du moins tant qu'il ne sera pas � son tour devenu un dogme pr�tentieux et dominant). Ainsi, de m�me que la monarchie de p�re en fils aurait eu pour seule justification d'�viter les luttes fratricides que le choix du meilleur roi e�t in�vitablement provoqu�, de m�me la rigidit� du formalisme trouverait pour seule justification d'�viter les luttes fratricides entre les diff�rents r�seaux de client�le que tout jugement relatif au contenu des travaux math�matiques ne manquerait pas de provoquer. Comme tout magistrat peut le vivre quotidiennement, il est bien plus facile d'obtenir un consensus sur la forme que sur le fond. Pour juger de la forme il suffit d'un professionnel ayant re�u une formation ad�quate; pour le reste, il n'y a aucune recette, vous ne pouvez que juger ``en votre �me et conscience''. Mais qu'arrivera-t-il apr�s plusieurs g�n�rations �duqu�es � n'op�rer que des jugements techniques, et que de ce fait on aura syst�matiquement pr�serv�es de tout jugement philosophique, y compris en philosophie ?

10. Maintenant, revenons-en � Brouwer et au sens v�ritable de sa critique du principe du tiers exclu. Au num�ro 4, nous avons montr� qu'il fallait distinguer deux sens possibles de ce principe: ou bien l'expression d'une volont� (on souhaite travailler avec une logique bivalente), ou bien un constat de fait (ce qu'on peut d�duire de ce principe est un fait math�matique). Au premier sens, nul ne peut trouver � redire, et au second, tout le monde s'accordera soit pour en reconna�tre la fausset�, soit du moins pour reconna�tre que les faits dont il est question sont d'une nature tr�s diff�rente des faits constructifs: leur objectivit� est bien moindre puisque leur existence d�pend du choix de la th�orie. S'il y a eu - ou s'il y a encore - probl�me, ou d�saccord, c'est uniquement � cause d'une confusion entre ces diff�rents sens. Cela, c'est ce que nous avons dit. Or, voici ce que dit Brouwer:

(Le lecteur qui croit que nous avons forc� la traduction pour faire dire � Brouwer plus que ce qu'il aurait vraiment dit pourra trouver dans l'annexe 1 le texte original de la main de Brouwer, en allemand.)

Ainsi, le principe du tiers exclu dont il est question dans ces phrases doit �tre compris dans le second sens, le sens s�mantique (ainsi d'ailleurs que tous les autres termes). Notre discussion sera sans doute plus claire si nous examinons un exemple pr�cis, mais significatif, tel que le ``th�or�me'' de Fermat (mais n'importe quelle conjecture de l'arithm�tique convient pour cette discussion. Le choix du th�or�me de Fermat ne se justifie que par sa c�l�brit�, ou par hommage � Brouwer, dont c'�tait visiblement l'exemple favori). Pour Brouwer, le probl�me soulev� par cette conjecture peut �tre r�solu (constructivement) de deux mani�res, exclusives l'une de l'autre: ou bien on en trouve une d�monstration constructive, ou bien on parvient � construire explicitement un contre-exemple. Dans le premier cas, on aura prouv� constructivement que le th�or�me de Fermat est vrai; dans le second cas on aura prouv� constructivement qu'il est faux. Mais les nombres entiers ``na�fs'', ceux qui existent constructivement et ind�pendamment du choix de la th�orie (autrement dit, ceux qui constituent le contenu s�mantique de toute arithm�tique) pourraient fort bien avoir la propri�t� suivante: le th�or�me de Fermat serait vrai, c'est � dire qu'on ne pourra jamais trouver, aussi loin qu'on explore, quatre entiers v�rifiant la fatidique �galit�, et qu'il soit pourtant impossible d'en fournir une d�monstration. De fa�on plus pr�cise, dans cette hypoth�se il se passerait ceci: il n'y aurait pas une d�monstration unique valable pour des entiers arbitraires, mais des d�monstrations diff�rentes valables chacune pour des s�ries non exhaustives d'entiers, c'est � dire qu'il resterait toujours des cas non d�montr�s, et plus on voudrait couvrir de cas, plus les d�monstrations deviendraient complexes et inaccessibles (une telle possibilit� r�sulte �videmment du fait qu'il y a une infinit� d'entiers: c'est une propri�t� de la ``logique de l'infini''); une d�monstration compl�te serait en quelque sorte infiniment longue. Dans une telle �ventualit�, le th�or�me de Fermat serait s�mantiquement vrai, mais nous ne pourrions jamais le prouver. Tout au plus pourrions-nous, au fur et � mesure que nos ordinateurs deviendraient plus puissants, constater que le th�or�me de Fermat se confirme sur un domaine de plus en plus vaste. Le probl�me de Fermat serait alors intrins�quement et essentiellement insoluble, il serait � jamais impossible de conna�tre la cl� du myst�re, quelle qu'elle soit. Notez bien que ces remarques p�n�trantes de Brouwer sont ant�rieures au th�or�me d'incompl�tude de G�del: pour l'intuitionniste le th�or�me d'incompl�tude n'est pas paradoxal ou inattendu, il est ``intuitivement �vident''. A la lumi�re de cette discussion aujourd'hui classique, vous pouvez relire la premi�re des deux phrases cit�es ci-dessus; elle vous donnera le sens que le principe du tiers exclu avait pour Brouwer et que nous pouvons d�s lors �noncer ainsi:

Pour toute proposition math�matique P, ou bien il existe une d�monstration constructive de P, ou bien il existe une d�monstration constructive de nonP, et il n'y a pas de troisi�me possibilit�, � savoir qu'il n'existe de d�monstration constructive ni pour P, ni pour nonP.

Tout le monde, y compris les formalistes les plus obstin�s, sera unanime pour reconna�tre la fausset� d'une telle affirmation. Bien entendu, ce qui fonde l'intuitionnisme, ce n'est pas de reconna�tre la fausset� de cet �nonc� (ce serait enfoncer une porte ouverte), mais de reconna�tre l'existence d'une v�rit� s�mantique au-del� de toute th�orie. L'insistance de Brouwer � propos du tiers exclu provient uniquement du fait que, historiquement, le d�bat s'�tait cristallis� l�-dessus. Tous les d�saccords, ainsi que la confusion du d�bat, avaient pour cause que, obstin�ment, les formalistes refusaient de distinguer entre la v�rit� s�mantique et la v�rit� th�orique (comportement � rapprocher de la contradiction que nous avions relev�e au num�ro 7 entre les deux citations de Hilbert). Un pr�texte souvent avanc� pour justifier ce refus: ``cette distinction, c'est de la m�taphysique'' (l� on voit pointer l'id�ologie de l'expert).

11. La seconde phrase cit�e de Brouwer nous parle des rapports entre une th�orie formelle et son objet, c'est � dire de son contenu s�mantique. Commentons-la comme l'autre, � partir du m�me exemple. Tout revient encore une fois � la distance qui s�pare la th�orie de son objet. Faisons � nouveau la supposition de tout � l'heure: que le th�or�me de Fermat se v�rifie sur tous les cas explicites, quoiqu'il n'en existe pas de d�monstration constructive. Il pourra alors arriver plusieurs choses aux arithm�ticiens formalistes: ou bien ils n'arrivent � d�montrer, ni le fameux th�or�me, ni sa n�gation (en ce cas, il n'y a rien � dire); ou bien, ils parviennent � d�montrer le th�or�me; ou bien, derni�re possibilit�, ils parviennent � prouver sa n�gation. Il est bien entendu dans cette supposition qu'il s'agit de d�monstrations formelles, c'est � dire conformes aux r�gles en vigueur chez les math�maticiens formalistes (Ce que nous appelons ici d�monstrations formelles sont les d�monstrations du type pratiqu� commun�ment par les math�maticiens formalistes. Le mot est ambigu, il pourrait aussi d�signer des d�monstrations formalis�es, c'est � dire effectu�es m�caniquement par des machines de Turing: mais de telles d�monstrations sont un concept de la logique math�matique et non une r�alit�; or ici nous voulons parler de ce que feraient les arithm�ticiens formalistes dans le cas consid�r�, non de ce que feraient les machines de Turing). Le cas int�ressant � discuter est �videmment celui o� les d�monstrations formelles sont non constructives, par exemple celles qui utilisent l'axiome du choix.

Notre supposition signifie donc que s�mantiquement, c'est � dire ``dans la r�alit�'', le th�or�me de Fermat serait vrai; mais ce fait suppos� n'exclurait pas que le th�or�me de Fermat puisse �tre faux dans la th�orie formelle, c'est � dire qu'il existerait une d�monstration formelle de la n�gation du th�or�me (alors que dans nos hypoth�ses il n'existait pas de d�monstration constructive de cette n�gation). Or, dire que le th�or�me de Fermat est faux revient dans la th�orie formelle � dire qu'il existe quatre entiers x,y,z, et n (n > 2) tels que x<sup>n</sup>+y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup>. Si donc on peut d�montrer formellement mais non constructivement l'existence de ces quatre entiers, c'est que ces quatre entiers constituent un objet id�al de la th�orie: on a d�montr� qu'ils existent, mais il est impossible de les d�signer explicitement. Par exemple il est impossible d'�crire un programme qui les calcule. On peut interpr�ter cela �pist�mologiquement en disant que si on rencontrait une telle situation, ce serait une r�futation de la th�orie, en ce sens qu'on aurait mis en �vidence un fait math�matique (l'impossibilit� de trouver ces quatre entiers) qui contredirait une ``pr�vision'' de la th�orie. Bien s�r une telle situation ne s'est pas pr�sent�e d'une mani�re historiquement pertinente et il est peu probable que cela arrive un jour car les conjectures de l'arithm�tique (susceptibles d'�tre s�mantiquement vraies mais formellement fausses) ne sont finalement que des curiosit�s logiques qui n'ont gu�re d'influence sur la technologie et la science en g�n�ral. Mais on pourrait en dire autant de l'hypoth�se du continu ou de l'axiome du choix. En fait, s'il est difficile de rencontrer de telles conjectures de l'arithm�tique sous une forme pertinente, il est par contre possible de prouver par des arguments ``� la G�del'' qu'il doit en exister. Car le probl�me que nous sommes en train de discuter est le probl�me de l'incompl�tude: quelle que soit la th�orie axiomatique que vous prendrez, pourvu qu'elle contienne les entiers (c'est � dire l'infini), vous aurez dans cette th�orie des �nonc�s (peut-�tre le th�or�me de Fermat) s�mantiquement vrais, mais non d�ductibles des axiomes de base. Une conjecture de l'arithm�tique est de la forme "n P(n) et sa n�gation de la forme $n nonP(n). L'incompl�tude est une propri�t� qui r�sulte du fait que le champ des quantificateurs (ici les entiers) est infini. Vous pouvez constater vous-m�me apr�s cette sorte de lecture de Brouwer que nous faisons devant vous, le lien �troit entre l'incompl�tude et le th�or�me de L�wenheim: si "n P(n) est une conjecture de l'arithm�tique s�mantiquement vraie et que $n nonP(n) est formellement vrai, il est bien clair que l'entier w pr�vu par la th�orie formelle, et qui rend formellement vrai nonP(w), est un entier non standard. Ici vous aurez peut-�tre envie de faire une objection: le th�or�me de Fermat serait vrai dans la r�alit�, c'est entendu; mais Dieu seul le saurait. Cette objection nous conduit exactement au coeur de notre sujet car, dans le cas hypoth�tique que nous discutons ici, plus rien ne vient occulter le noyau dur de la pens�e brouw�rienne. Certes, on ne peut pas prouver dans l'absolu que la th�orie est r�fut�e; mais

1. des situations analogues se pr�sentent fr�quemment aussi dans les sciences de la nature, mais dans ces disciplines o� l'exp�rience est reine on ne fait pas grand cas de ces inad�quations entre la th�orie et la r�alit� (on est bien trop conscient de leur caract�re in�vitable, normal, et naturel, contrairement � la math�matique, cas tr�s sp�cial, de telle sorte qu'il est rarissime qu'une inad�quation entra�ne une r�volution scientifique, c'est � dire un changement de paradigme; n'importe quelle th�orie de la physique vit constamment avec des inad�quations qui ne g�nent personne car elles n'ont pas une importance strat�gique);

2. on se heurterait � la difficult� suivante: la th�orie dirait que le contre-exemple du th�or�me de Fermat (c'est � dire les quatre entiers x,y,z, et n > 2 tels que xⁿ + yⁿ = zⁿ) existe, alors que, aussi loin que nos ordinateurs explorent les nombres, sa trace serait ind�celable;

3. la m�tamath�matique formelle, enrichie de consid�rations intuitionnistes, pourrait apporter une preuve (qui ne serait pas une d�monstration au sens actuellement en vigueur, mais qui apporterait le m�me degr� de certitude) de la ``fausset�'' de la th�orie.

On peut donc avoir toutes les raisons de penser qu'une conjecture de l'arithm�tique donn�e est s�mantiquement vraie bien qu'on ne puisse pas la d�montrer, sans que soit exclue pour autant la possibilit� d'une d�monstration (au sens usuel, formaliste) de la fausset� de cette m�me conjecture. Autrement dit: dans une th�orie formelle non contradictoire il ne peut y avoir � la fois d�monstration d'une proposition et de sa n�gation, mais il est parfaitement possible sans contradiction qu'une conjecture de la forme "n, P(n) soit s�mantiquement vraie et que pourtant $n, nonP(n) soit un th�or�me de la th�orie. Voil� ce que Brouwer voulait dire en �crivant que la justification s�mantique de la math�matique formelle ne peut pas �tre obtenue par la preuve de sa non contradiction.

12. En supposant que le th�or�me de Fermat soit s�mantiquement vrai sans qu'on puisse le d�montrer, nous avons �videmment choisi l'hypoth�se la plus perverse, celle d'un tiers justement non exclu: on ne peut d�montrer constructivement ni sa v�rit�, ni sa fausset�.

La discussion serait sans doute plus compl�te si nous envisagions aussi le cas compl�mentaire, qui pose moins de probl�mes: le cas o� le th�or�me de Fermat serait s�mantiquement faux. En ce cas, il existerait s�mantiquement, c'est � dire concr�tement, constructivement, explicitement, quatre entiers x, y, z, et n > 2 tels que xⁿ + yⁿ = zⁿ ; que ces entiers existent constructivement, cela veut �videmment dire que chacun est explicitement d�fini par un algorithme constructif, pouvant �tre traduit en un programme en PASCAL ou en BASIC. Signalons ici qu'il n'y a pas de meilleure d�finition du mot constructif que celle-ci: un algorithme constructif est un algorithme pouvant �tre traduit en programme. Les ordinateurs n'existaient pas du temps de Brouwer, et cela explique peut-�tre pourquoi il a eu du mal � expliquer ce qu'il entendait par ``constructif''; mais aujourd'hui ce mot a un sens absolument univoque. Dans ce cas le contre-exemple n'est pas un objet id�al, alors que dans le cas discut� au num�ro 11 (le tiers cas), la th�orie pr�voyait l'existence d'un contre-exemple, mais non constructible, non s�mantique, c'est � dire id�al. Dans le pr�sent cas on peut d�montrer finitairement $n, nonP(n) , car il suffit de d�montrer P(n<sub>0</sub>) , n<sub>0</sub> �tant le contre-exemple nomm�ment d�sign�, du moins en principe, car si n<sub>0</sub> est trop fantastiquement grand la preuve de P(n<sub>0</sub>) est humainement inaccessible. Les deux situations ne sont pas sym�triques, puisque pour prouver que la conjecture est s�mantiquement vraie on devait, dans le tiers cas, proc�der par exhaustion sur une infinit� de nombres, ce qui est impossible; alors que si le contre-exemple existe constructivement, il suffit de faire la v�rification sur ce seul contre-exemple. Cette dissym�trie est un caract�re typique de la ``logique de l'infini'' et constitue la raison profonde des th�or�mes de G�del et L�wenheim. Albert Einstein �voquait exactement le m�me probl�me en disant un jour:``aucune exp�rience ne prouvera jamais d�finitivement que mon �quation est juste; une seule suffira � prouver qu'elle est fausse''. On sent tr�s bien cette dissym�trie m�me dans la math�matique formaliste, car cette fois, contrairement au tiers cas, la th�orie formelle ne peut plus, sous peine de contradiction, donner un r�sultat diff�rent de la v�rit� s�mantique. Si la math�matique formelle se ressent ainsi de cette dissym�trie, c'est �videmment parce que, par construction, elle tient pour vrai ce qui est �tabli constructivement. En effet, ses p�res fondateurs, qui furent des hommes sages et avis�s, avaient bien compris qu'une th�orie formelle n'est int�ressante que si elle est conforme � la r�alit� constatable. La seule chose qui manqua � leur sagesse fut de pr�voir qu'en l�guant � la post�rit� un dogme m�me parfait, mais soigneusement nettoy� du souvenir de sa fabrication, dont ils avaient honte, leur oeuvre allait courir le risque de sombrer dans le psittacisme et la st�rilit�.

13. Quelle attitude les math�maticiens pourraient-ils adopter s'ils �taient confront�s � la premi�re des deux situations envisag�es ci-dessus ? Notons bien qu'elle est � rapprocher de celle que nous avons d�j� discut�e au num�ro 5 (au sujet des ensembles non mesurables). On saurait qu'aucune d�monstration constructive ne sera jamais possible, ni du th�or�me de Fermat, ni de sa n�gation, et nous avons vu au num�ro 11 que cela signifiait que le th�or�me de Fermat serait s�mantiquement vrai (de fa�on plus pr�cise: le th�or�me de Fermat se v�rifierait toujours sur tous les entiers explicitement d�finis par un algorithme constructif; autrement dit il se v�rifierait toujours dans tous les cas que nous pourrions jamais rencontrer dans les si�cles des si�cles). Dans ces conditions, pour l'id�ologie formaliste, il n'y a aucun probl�me: si par exemple un math�maticien d�montre formellement que le th�or�me de Fermat est faux, alors le contre-exemple existe (voyez ce que Hilbert �crivait dans sa lettre � Frege). On n'affirmera jamais que ce contre-exemple pourrait un jour se rencontrer sur l'�cran d'un ordinateur; on se contentera de ne pas s'int�resser � cette question ou, si on y est accul� par un intuitionniste militant, on usera du sophisme ``aucun objet math�matique n'existe, celui-l� pas plus qu'un autre''. Si (autre possibilit�) les logiciens d�montrent par la m�tamath�matique formelle que le th�or�me de Fermat est ind�cidable, il n'y a pas de probl�me non plus: il suffira de choisir, selon des crit�res arbitraires, si on ajoute le th�or�me de Fermat aux autres axiomes de l'arithm�tique ou si au contraire on ajoute sa n�gation. En pratique, les choses se passeront probablement ainsi: quelques math�maticiens particuli�rement couronn�s d�cideront en fonction de leurs go�ts quelle devra �tre la v�rit� pour les g�n�rations futures, et � partir de cet instant le contre-exemple existera ou n'existera pas. Sans aucun doute, c'est ici que nous mettons le doigt sur la vraie nature de la divergence entre Brouwer et Hilbert. Pour le premier, il existe en math�matique, comme dans les autres sciences, une v�rit� objective; pour le second, elle n'existe pas ou du moins il d�cr�te que la math�matique ne doit pas s'y int�resser.

14. Pour l'intuitionniste, donc, le but de l'arithm�tique est d'en savoir plus sur les nombres na�fs, en s'aidant de th�ories, tandis que pour le formaliste, le but est d'en savoir plus sur une th�orie particuli�re l�gu�e une fois pour toutes. Et aussi: pour l'intuitionniste, la rigueur consiste � appr�hender la r�alit� arithm�tique de la fa�on la plus objective possible, c'est � dire en s�parant rigoureusement ce qui d�pend de la th�orie de ce qui n'en d�pend pas (selon le bon vieil esprit scientifique, la th�orie ne doit servir � pr�juger que de ce qu'on s'attend � observer), tandis que pour le formaliste la rigueur consiste uniquement dans la rigidit� des r�gles logiques. Ces deux visions qui s'opposent ainsi chez les math�maticiens de notre si�cle peuvent se retrouver un peu partout dans l'histoire, comme s'il s'agissait de caract�res humains �ternels; par exemple, le d�bat qui eut lieu entre Galil�e et la scolastique est en tous points semblable: pour Galil�e, comme pour les intuitionnistes, la v�rit� �tait ce qu'on observe; pour les philosophes scolastiques, comme pour les formalistes d'aujourd'hui, la v�rit� �tait ce qu'on peut d�duire de la Bible par des r�gles logiques formalis�es. Rappelons que l'une des principales critiques que les scolastiques firent � l'encontre de l'esprit scientifique naissant fut la suivante: Galil�e, pour chercher la v�rit�, fait tout d�pendre de l'observation, c'est � dire de l'usage des sens; or ceux-ci ne sont pas fiables, car ce qu'ils nous montrent n'est qu'illusion, alors qu'au contraire, ce qu'on d�duit des saintes �critures par la voie de syllogismes parfaits apporte une certitude absolue.

Terminons cette section par une remarque importante. Nous avons dit et redit que la v�rit�, c'est ce qui est s�mantiquement vrai, et que sur cela, les math�maticiens n'ont aucun pouvoir: ils peuvent choisir, comme axiome � ajouter � ceux de Peano, une conjecture de l'arithm�tique s�mantiquement fausse; mais cela n'a aucun effet sur la possibilit� de calculer effectivement l'entier qui fait fonction de contre-exemple. Cela ne veut pas dire que les math�maticiens n'ont aucune libert� dans le choix des axiomes d'une th�orie. Pour illustrer cela, imaginons une conjecture "n,  P(n) dans le tiers cas, et que la math�matique formelle actuellement en vigueur fournisse une d�monstration de la n�gation $n,  nonP(n) de la conjecture. Comme nous avions dit pr�c�demment, cela voudrait donc dire que la th�orie est ``fausse'' ou ``r�fut�e''. Mais le fait qu'une th�orie soit fausse n'est pas une raison suffisante pour la rejeter, et cela pour au moins trois raisons (valables dans toutes les sciences et pas seulement dans la math�matique):

1. la th�orie peut �tre fausse uniquement sur un point peu important et juste par ailleurs (dans les sciences de la nature ceci est la situation normale);

2. pour changer une th�orie, il ne suffit pas d'avoir trouv� une inad�quation m�me strat�gique, il faut avoir sous la main une th�orie de rechange (il suffit pour se convaincre de cela de voir ce qu'ont dit les physiciens entre la date de l'exp�rience de Michelson-Morley, 1881, et la date de la Relativit� Restreinte, 1905; Lorentz et Poincar�, entre autres, ont dit beaucoup de choses passionnantes et, du moins nous l'esp�rons, il n'y a pas de raison que les math�maticiens d'aujourd'hui aient moins d'imagination);

3. comme nous l'avons d�j� dit au num�ro 5 � propos des ensembles non mesurables, on peut pr�f�rer garder une th�orie un peu fausse, mais relativement facile, plut�t que de recourir � une autre moins fausse, mais aussi plus difficile (priv�e par exemple des commodit�s de l'infini); c'est d'ailleurs un argument avanc� par Hilbert dans le texte de l'annexe 2.

Naturellement il y a une quatri�me raison possible de ne rien changer � une th�orie qui viendrait d'�tre r�fut�e par la voie que nous avons d�crite; cette quatri�me raison, suscit�e par l'id�ologie formaliste, serait de nier la valeur de la r�futation sous le pr�texte que ce que dit un th�or�me est par nature plus vrai que ce qui est observable (en oubliant habilement que si le th�or�me est d�montr�, les axiomes sont choisis: la victime de cette escroquerie, g�n�ralement jeune, est savamment mise en condition d'oublier l'origine des axiomes par la longueur et la difficult� des d�monstrations desdits th�or�mes). Ceci est tr�s conservateur et par cons�quent tr�s vilain. Mais il ne faut pas dramatiser. Depuis toujours, notamment en th�orie math�matique des nombres o� ce probl�me est particuli�rement fr�quent, les math�maticiens ont pris garde de distinguer les r�sultats obtenus par la m�thode constructive de ceux obtenus par l'axiome du choix ou autres proc�d�s essentiellement formels, ce qui montre que l'intuitionnisme latent est bien plus r�pandu que ne le pr�tend la propagande officielle.

En disant que c'est la confrontation avec une r�alit� objective qui rend la science vivante, nous pouvons toutefois rencontrer l'objection suivante: rien ne prouve que la seule r�alit� susceptible de nourrir la math�matique soit pr�cis�ment la r�alit� constructive des nombres. La soci�t� humaine est riche de bien des activit�s pouvant jouer ce r�le. Nous n'avons rien � r�pondre � cette objection, si ce n'est que nous sommes d'accord. Mais si le lecteur qui a song� � cette objection avait en vue le changement radical que l'apparition de l'ordinateur apporte avec la possibilit� d'une v�ritable exp�rimentation num�rique, nous pouvons lui r�pondre que justement l'informatique ne travaille qu'avec la r�alit� constructive, et que son d�veloppement ne peut que renforcer la th�se �pist�mologique que nous soutenons ici.

15. Nous pensons avoir suffisamment montr� l'importance qu'avait � nos yeux cette dialectique de la th�orie et de la r�alit�; nous pr�tendons que ce constat, extr�mement banal dans les sciences de la nature, s'applique �galement � la math�matique. Mais pour que cet expos� soit satisfaisant, il faudrait analyser aussi ce que cette dialectique a de sp�cifique dans le domaine math�matique. Jusqu'� pr�sent nous avons surtout insist� sur ce qui rapprochait la math�matique des autres sciences, juste pour le plaisir d'une sorte d'unification �pist�mologique, mais peu de ce qui fait son originalit�. C'est pourquoi nous allons en parler dans cette section et les deux suivantes. En m�me temps nous pourrons illustrer notre conception en discutant l'exemple le plus simple possible, celui des nombres entiers naturels, de fa�on plus approfondie, notamment en poussant plus avant la discussion � propos des conjectures de l'arithm�tique.

L'arithm�tique formelle ou arithm�tique de Peano est une th�orie particuli�rement simple du point de vue conceptuel. Son concept de base est l'ensemble N, et ce concept est d�crit et enti�rement d�fini par les axiomes de Peano. Son objet est la suite, jamais achev�e, des nombres entiers concrets qui peuvent �tre obtenus (au moins en principe) comme r�sultat d'un algorithme constructif ou d'un programme. Pr�cisons tout de suite pour le lecteur tr�s empiriste que ces nombres vont tr�s au-del� de la cardinalit� des ensembles mat�riellement r�alisables: on peut �crire en trois lignes un programme qui calcule un nombre entier bien sup�rieur � 10¹⁰⁰, qui est lui-m�me d�j� sup�rieur au nombre de toutes les particules �l�mentaires qui composent l'univers. Nous appellerons entiers na�fs ces entiers concrets; nous avons d�j� parl� de ces nombres aux num�ros 10 � 13: ce sont ceux qui existent r�ellement, c'est � dire ind�pendamment de la th�orie qu'on prend pour les d�crire, et qu'on a une chance de rencontrer un jour sur l'�cran d'un ordinateur, si on fait abstraction de toutes les limitations inh�rentes � la condition humaine.

Parmi ces entiers na�fs, certains sont imm�diats, connus de tous, et tr�s simples: 0, 1, 2, 3, par exemple; d'autres, tels que 10¹⁰⁰, sont plus compliqu�s et il faut pour les d�signer quelques phrases d'explications (ce qu'on appelle un algorithme); il n'y a aucune limite sup�rieure � la complexit� des entiers na�fs, et on peut dire que, en gros, plus un entier na�f est grand, plus il est compliqu� (c'est � dire plus l'algorithme qui est n�cessaire pour le d�finir est long). Mais une chose est s�re: les algorithmes qui servent � d�finir les nombres na�fs sont toujours traduisibles dans le langage de l'arithm�tique de Peano, et d'ailleurs celle-ci a �t� agenc�e expr�s pour avoir, entre autres, cette propri�t�. Donc chaque entier na�f a son reflet, sous forme de concept, dans la th�orie. (Notre lecteur trouvera peut-�tre que la distinction que nous faisons ici entre les entiers-objets et les entiers-concepts est une sophistication de trop, puisque - pour une fois - la correspondance entre l'objet et le concept frise l'identit�; disons que cette pr�caution servira � nous prot�ger contre les attaques des philosophes, dont certains ne le c�dent en rien aux math�maticiens formalistes pour couper les cheveux en quatre.)

16. Revenons encore � notre discussion � propos du th�or�me de Fermat ou de n'importe quelle conjecture de la forme "n,  P(n). Nous avons dit que rien ne permet d'exclure que la math�matique formelle pr�voie l'existence d'un contre-exemple, m�me si ce contre-exemple n'existe pas en r�alit�; cela pourrait arriver sans que cette math�matique formelle soit pour autant contradictoire. Ainsi donc, �tant donn� le pr�dicat P(n), il y a toujours a priori les trois possibilit�s suivantes: ou bien il y a une d�monstration constructive (finitaire, c'est � dire non infiniment longue), d�j� connue ou non, que P(n) est vrai pour tout entier n; ou bien il existe une d�monstration constructive du contraire, c'est � dire qu'on dispose d'un programme calculant un entier n₀ et d'une d�monstration constructive du fait que nonP(n₀) soit vrai (l'entier n₀ est donc na�f), ou bien, tiers cas non exclu, on pourrait constater (soit directement, soit par une d�monstration constructive sp�cifique) la v�rit� de P(n) pour chaque entier na�f particulier, mais cette v�rification par exhaustion deviendrait de plus en plus difficile et malais�e, au fur et � mesure que l'entier na�f n serait plus grand et donc aussi plus complexe. La complexit� d'un entier na�f est la longueur du plus court programme qui le calcule, mesur�e (par exemple) en bits. Cette longueur d�pend quelque peu du langage de programmation, mais pas essentiellement; et on peut de toute fa�on choisir un langage de r�f�rence. Ainsi une v�rification globale ne pourrait �tre finitaire. Dans le tiers cas on ne peut pas d�montrer "n,  P(n), mais on est assur� que pour tout entier na�f n, P(n) sera vrai: nous exprimons cela sous forme condens�e par la phrase: ``"n,  P(n) est s�mantiquement vrai quoique non d�montrable''.

Que peut-on dire avec le tiers cas ? Plusieurs attitudes sont possibles:

a) croire que le tiers cas n'existe pas, c'est � dire croire qu'il est exclu pour toutes les conjectures de l'arithm�tique possibles et imaginables; mais ceci est �quivoque: en effet, on peut

a1) croire vraiment et s'engager, prendre un risque parce qu'on en est convaincu (attitude rarissime qui semble avoir �t� celle de Cantor, mais ce n'est pas s�r et il n'est plus l� pour faire de telles confidences); c'est un authentique acte de foi;

a2) croire par ignorance, parce qu'on n'a jamais song� � distinguer la v�rit� dans Z.F.C. et la v�rit� s�mantique (attitude de la grande majorit� des math�maticiens de base, parce que l'�ducation formaliste a censur� ces questions ``m�taphysiques'')

a3) �tant donn� qu'on peut d�montrer l'incompl�tude par la logique formelle, on peut consid�rer que l'existence du tiers cas est �tablie; mais elle ne l'est que formellement, c'est � dire que la proposition ind�cidable du type "n,  P(n) construite ``� la G�del'' n'est pas s�mantique, elle ne peut pas �tre interpr�t�e comme ayant un sens dans la culture math�matique (elle n'existe que si on pr�suppose que la math�matique est l'activit� id�ale de machines de Turing travaillant hors du temps: nous y reviendrons � la section 18); croire que le tiers cas est exclu peut donc encore consister � croire que le tiers cas ne peut pas se produire pour les conjectures ayant une pertinence historique (mais cela renvoie � a1).

b) penser qu'� moins d'un miracle comme l'harmonie pr��tablie invoqu�e parfois par Hilbert, le tiers cas existe certainement, peut-�tre m�me pour des conjectures connues comme celle de Fermat.

La position a) est �quivalente � celle-ci: croire que l'arithm�tique formelle (= l'ensemble de toutes les propositions d�ductibles des axiomes de Peano) co�ncide exactement avec la r�alit� des entiers na�fs (= l'ensemble des propri�t�s de ces entiers, ou propositions s�mantiquement vraies), c'est � dire en fin de compte nier l'incompl�tude s�mantique. Vous pouvez maintenant relire le troisi�me constat de Brouwer (annexe 1) � la lumi�re de ce commentaire.

Et quelles cons�quences tirer de la position b) ? Puisqu'on admet qu'il doit y avoir une inad�quation entre la math�matique formelle et la r�alit� arithm�tique (c'est � dire qu'il doit y avoir une conjecture "n,  P(n) s�mantiquement vraie, mais formellement fausse), c'est donc que la th�orie, la math�matique formelle, affirme l'existence d'un entier w pour lequel P(w) est faux, alors que P(n) est vrai pour tous les na�fs (voir num�ro 11). Conclusion: le postulat ``les entiers na�fs remplissent N '' ou ``la math�matique formelle n'introduit pas d'objet id�al'' est �quivalent au postulat ``tout ce qui est s�mantiquement vrai est d�ductible des axiomes de Peano''. On peut aussi formuler cette conclusion ainsi: le constat ``les entiers na�fs ne remplissent pas N '' est �quivalent au troisi�me constat de Brouwer (annexe 1), � condition �videmment d'avoir bien compris ce dernier. Nous esp�rons que notre commentaire y aura aid�.

17. L'inad�quation entre la th�orie arithm�tique et la r�alit� arithm�tique se traduit donc par la pr�sence au sein de la th�orie d'entiers id�aux, c'est � dire d'entiers ``introuvables'' (ontologiquement) dans la r�alit�. Si on veut rapprocher la th�orie de la r�alit�, la rendre plus ad�quate, la solution est de rajouter la conjecture responsable de l'inad�quation comme axiome suppl�mentaire aux axiomes de Peano, mais alors il faut supprimer ailleurs l'axiome non strictement arithm�tique (par exemple l'axiome du choix) qui a permis de d�montrer formellement la n�gation de la conjecture. Si on isole l'arithm�tique de Peano du reste de la math�matique formelle (de Z.F.C. par exemple) la conjecture appara�tra comme ind�cidable: l'existence d'entiers id�aux ne sera pas un th�or�me de l'arithm�tique, � moins que pour des raisons quelconques on n'ajoute la n�gation de la conjecture aux axiomes de Peano. Mais on peut aussi ``diminuer'' l'incompl�tude en ajoutant "n,  P(n) aux axiomes de Peano, ce qui nous met dans la m�me situation que ci-dessus, sauf que nous n'avons pas le souci d'une math�matique formelle englobant l'arithm�tique. En quelque sorte, nous distinguons ici l'inad�quation (quand on peut d�montrer par une math�matique formelle englobant l'arithm�tique de Peano que $w,  P(w) est vrai quoique s�mantiquement faux) et la simple incompl�tude (quand on isole l'arithm�tique de Peano et que "n,  P(n) aussi bien que $w,  nonP(w) sont ind�cidables). En fait on ne diminue rien du tout, bien s�r, en vertu de l'�quation c�l�bre �-1 = � puisque ajouter la conjecture "n,  P(n) aux axiomes de Peano ne fait que nous ramener au probl�me de l'incompl�tude avec huit axiomes au lieu des sept de Peano. En outre, le th�or�me d'incompl�tude nous dit que formellement l'incompl�tude demeure quel que soit le nombre des axiomes ajout�s: exprim� dans un autre langage, le th�or�me d'incompl�tude affirme que la th�orie formelle ne peut pas �tre rendue compl�te finitairement.

En quelque sorte l'arithm�tique de Peano est une th�orie tr�s pauvre puisqu'il y a beaucoup de propri�t�s des entiers na�fs qui ne sont pas pr�vues par cette th�orie; mais il se trouve que cette pauvret� est peu visible car les propri�t�s en question sont en dehors de notre champ de vision (le th�or�me de Fermat est peut-�tre une de ces propri�t�s, ou la conjecture de Goldbach, ou celle de Syracuse; allez donc savoir !). En adjoignant aux axiomes de Peano un nombre quelconque (mais fini) d'axiomes puis�s dans une liste in�puisable de conjectures du tiers cas, on enrichirait progressivement l'arithm�tique en ``diminuant'' son incompl�tude. On peut dire cela autrement: la r�alit� arithm�tique (=les propri�t�s s�mantiquement vraies des entiers na�fs) est in�puisable par rapport au programme formaliste lanc� par Hilbert. Si par contre on enrichit la th�orie arithm�tique non en lui adjoignant des conjectures ind�cidables comme axiomes suppl�mentaires, mais en l'englobant dans une th�orie plus vaste, alors on rencontre le probl�me de l'inad�quation; mais on cr�erait aussi de l'inad�quation (de fa�on quelque peu plus artificielle cependant) en ajoutant comme axiome suppl�mentaire non pas une conjecture du tiers cas, mais sa n�gation (nous avons vu que cela �tait possible sans entra�ner de contradiction). Chaque conjecture du tiers cas ainsi ni�e ferait appara�tre dans la th�orie un nouveau contingent d'entiers id�aux, dont l'existence ne serait postul�e par la th�orie formelle que pour rendre fausses, parce qu'on l'aurait souhait� ainsi, des conjectures qui sont s�mantiquement vraies.

Bien s�r chaque axiome suppl�mentaire modifie le concept N (l'objet qu'est la suite jamais achev�e des entiers na�fs ne change �videmment pas): en le rapprochant de l'objet si l'axiome ajout� est une conjecture du tiers cas "n,  P(n); en posant l'existence d'entiers id�aux si l'axiome ajout� est la n�gation $w,  P(w) d'une telle conjecture. Pour chaque famille ainsi donn�e d'axiomes suppl�mentaires on aura un N diff�rent, mais ces N ne diff�reront que par les cons�quences des axiomes suppl�mentaires. En revanche les propri�t�s d�ductibles des axiomes de Peano seront, elles, communes � tous ces N. Ainsi on voit tr�s clairement appara�tre comme cons�quence de l'incompl�tude une multiplicit� d'ensembles N ob�issant tous aux axiomes de Peano, mais diff�rant entre eux par le fait que telle ou telle conjecture de l'arithm�tique y est vraie ou pas. Le lecteur reconna�tra bien s�r la propri�t� de non cat�goricit� des axiomes de Peano, pr�dite par le th�or�me de L�wenheim-Skolem.

Ainsi, d'un point de vue intuitionniste, l'incompl�tude et la non cat�goricit� des axiomes de Peano semblent bien naturelles, si ce n'est �videntes, et �troitement li�es. On comparera avec l'opacit� des versions formalistes.

18. A vrai dire, les versions formalistes ne sont opaques que si on ignore que le formalisme n'est qu'une th�orie; en quelque sorte si on prend les th�or�mes formels d'incompl�tude et de non cat�goricit� � la lettre. Pour mieux discuter du m�canisme de cette opacification, nous allons pr�senter ici une d�monstration de l'incompl�tude, qui est inhabituelle (quoique l�gitime), mais qui a l'avantage d'�tre simple et claire; nous aurions pu avoir la m�me discussion � partir de la d�monstration de G�del, mais il nous aurait fallu auparavant exposer celle-ci, ce qui e�t �t� trop long. Bien s�r cette d�monstration est formaliste; il ne peut en �tre autrement. La voici.

Rappelons que la complexit� l(n) d'un nombre entier n est la longueur (compt�e en bits) du plus court programme qui le calcule. Pour la plupart des nombres l(n) est le logarithme en base 2 de n (= le nombre de chiffres binaires), mais pour quelques nombres, tr�s rares, l(n) est plus petit.

Consid�rons un pr�dicat P(n); celui-ci peut toujours �tre interpr�t� comme une fonction � valeurs dans { -1;+1} , �gale � +1 si P(n) est vrai et � -1 si P(n) est faux. On peut d�nombrer les entiers de complexit� inf�rieure � un entier donn� N: les programmes �tant cod�s selon un code binaire, le nombre total de programmes de longueur inf�rieure � N est assur�ment inf�rieur � 2^N, car on peut remplir N bits de 2^N mani�res diff�rentes, dont quelques unes seulement respecteront la syntaxe d'un programme ex�cutable. Donc en particulier il y aura moins de 2^N entiers de complexit� inf�rieure � N. Sur l'ensemble de tous les entiers de 0 � w-1, il y aura donc a � 2^N entiers de complexit� inf�rieure � N et par cons�quent il y en aura w-a � w-2^N de complexit� sup�rieure � N.

Consid�rons maintenant les fonctions P(n) sur l'ensemble { 0, �,w-1} , �gales � +1 pour tous les n de complexit� inf�rieure � N, et � -1 pour au moins un n de complexit� sup�rieure � N. Leur nombre total est 2^w-a-1, qui est sup�rieur � 2^w-2N. Pour w > 2^N il y en a beaucoup! Alors prenons N = 10¹⁰⁰⁰. Un entier n₀ de complexit� sup�rieure � 10¹⁰⁰⁰ est impossible � d�finir. Nous regrettons beaucoup que Poincar� ne soit plus parmi nous; il nous dirait si un tel n₀ est un pur n�ant ou pas (voir annexe 3). Ecrire une d�finition (pr�dicative, c'est � dire un programme) de cet entier est en effet impossible, radicalement: Poincar� dit:``m�me s'il faut cent g�n�rations pour l'�crire, il existe''; mais cent g�n�rations, cela permet d'atteindre une complexit� de l'ordre de 10¹², mettons 10²⁰ en admettant des progr�s fantastiques dans la technologie des ordinateurs et le g�nie logiciel; nous sommes fort loin de l'horizon des 10¹⁰⁰⁰. Un tel entier est-il na�f, est-il s�mantique, est-il r�el? Brouwer aurait r�pondu sans h�siter: OUI. Nous r�pondrons: NON, parce que cela nous arrange bien pour le moment (mais rassurez-vous, nous avons un doute).

Il existe donc des pr�dicats P(n) vrais pour tous les entiers que nous rencontrerons jamais, et faux pour des entiers totalement inaccessibles; si n₀ est un tel entier, il est hors de question que nous puissions d�montrer non P(n₀), ne serait-ce que parce qu'une telle d�monstration exigerait la mention explicite de n₀; mais il est impossible �galement de d�montrer "n, P(n), car s'il y avait une telle d�monstration, P(n₀) serait vrai. Nous sommes donc bel et bien dans le tiers cas, et n₀ serait un entier id�al.

Cette d�monstration est-elle rigoureuse?

On peut la critiquer sur deux aspects. a) Elle fait intervenir un �l�ment non purement logique: les limites humaines; comme l'aurait dit Cantor, en math�matique la v�rit� est ind�pendante de l'observateur; ce qui est vrai doit �tre vrai m�me pour Dieu. b) On a d�montr� l'existence d'un pr�dicat P dans le tiers cas; mais la d�monstration ne dit rien de ce P; rien ne prouve que la complexit� de P est assez petite pour que P ``existe''; si la complexit� de P est aussi de l'ordre de 10¹⁰⁰⁰, la conjecture "n, P(n) n'est pas plus s�mantique que n₀.

La critique a) est inessentielle: d'abord, comme nous l'avons annonc� avant de pr�senter cette d�monstration, on peut avoir la m�me discussion � propos des d�monstrations ``� la G�del'' ou ``� la Cantor'' qui elles, �chappent � la critique a). Ensuite, on peut en modifiant � peine la d�monstration ci-dessus (il suffit de remplacer entier inaccessible par entier non-standard) la rendre ``rigoureuse'' selon les canons formalistes les plus orthodoxes; mais bien s�r on ne d�montrera pas que le pr�dicat P est standard, et pour cause. Par contre la critique b) est incontournable. D'ailleurs elle n'est que l'illustration, sur un cas particulier que nous avons voulu p�dagogique et qui est, il est vrai, quelque peu simpliste, de la critique g�n�rale de Brouwer contre le formalisme. En ce sens notre illustration est une bonne caricature: elle montre ce qu'il y a de faux dans le formalisme en exag�rant le degr� de la fausset�, mais non sa nature. Elle nous fait voir, en grossissant � peine, la distance entre la logique (th�orie formelle) et l'arithm�tique s�mantique (intuitionniste). Mais le th�or�me d'incompl�tude de la logique formaliste (dont la valeur scientifique est bien s�r de tout premier ordre) est tout aussi faux: il affirme l'existence d'une proposition ind�montrable ainsi que sa n�gation, mais ne dit rien, et pour cause, de son contenu s�mantique.

En n�gligeant la critique inessentielle a), la d�monstration ci-dessus est formellement rigoureuse; son argument - le d�nombrement - est sans faille. Mais cette rigueur fond comme la neige au soleil d�s lors qu'on tient compte du contenu s�mantique du pr�dicat P. Et ce qui fait qu'une proposition arithm�tique a un contenu s�mantique, un sens si vous pr�f�rez, c'est que la math�matique est une culture, qu'elle parle de choses qu'on se repr�sente mentalement, m�me si elles sont abstraites ou id�ales. La logique, ou plus g�n�ralement la math�matique, peut �tre parfaitement rigoureuse lorsqu'elle parle de langages formalis�s simples et id�aux (car il faut id�aliser pour raisonner); elle ne peut plus l'�tre quand elle veut parler de l'arithm�tique s�mantique (die inhaltliche Arithmetik, comme disaient Brouwer et Hilbert). Elle ne peut donc apporter qu'une connaissance approch�e. Tr�s pr�cieuse, comme d'ailleurs toutes les connaissances approch�es. La mystification appara�t, lorsque pour �viter la honte d'une science approch�e et conserver l'apparence de la rigueur, on d�nie toute pertinence � la r�alit� s�mantique. En faisant cela, le formalisme a form� des g�n�rations d'experts qui ne con�oivent plus la math�matique comme une culture.

19. Conclusion. Dans les pages que vous venez de lire, nous avons voulu vous montrer la logique de l'infini en adoptant un point de vue peu habituel; ou plus exactement, un point de vue oubli�. Car nous sommes convaincus qu'il n'y a rien ci-dessus qui n'ait d�j� �t� dit au d�but de ce si�cle, sous une forme peut-�tre diff�rente (la lecture des annexes devrait vous le prouver).

Mais ce que par-dessus tout nous avons voulu dire, c'est que cette fa�on oubli�e de voir la logique de l'infini est plus qu'une fa�on parmi d'autres de la pr�senter: c'est par l'intuitionnisme qu'on comprend la vraie nature de cette logique, car l'intuitionnisme consiste � la voir de l'ext�rieur. Lorsqu'au contraire on aborde la logique de l'infini par le formalisme on ne voit plus sa vraie nature; celle-ci est masqu�e par des d�tails purement anecdotiques que la th�orie formelle met en avant pour des raisons techniques et non fondamentales. Par exemple, dans la d�monstration de la section 18, le nombre N = 10¹⁰⁰⁰ est anecdotique. Autre exemple: nous avons vu � la section 17 pourquoi une infinit� de concepts N tous diff�rents peuvent r�pondre aux axiomes de Peano; c'est parce que ces derniers ne r�sument qu'une faible partie des propri�t�s des entiers na�fs. Dans la pr�sentation formaliste habituelle, ce fait est exprim� sous la forme du th�or�me de Skolem, dont la d�monstration fait appel � la notion d'ultraproduit, c'est � dire � l'axiome du choix. Cette pr�sentation formaliste fait croire ainsi que la propri�t� dite de non-cat�goricit� est une cons�quence de l'axiome du choix, alors que cette propri�t� existe ind�pendamment de cet axiome: le fait que les axiomes de Peano soient loin d'�puiser la v�rit� sur les entiers na�fs n'a rien � voir avec l'axiome du choix. Tout au plus on peut dire: ``l'axiome du choix est juste parce que ses cons�quences logiques - telles que cette non-cat�goricit� - sont justes''; le jour o� l'une de ses cons�quences sera fausse, il faudra l'abandonner! Le r�le jou� par l'ultraproduit est purement anecdotique, il provient de la th�orie choisie et non de la nature des choses; il n'est qu'une astuce th�orique imagin�e par Skolem pour formaliser la non-cat�goricit�, qui est une propri�t� objective des axiomes de Peano.

Il y a une sorte de perversion par le formalisme, qui fait appara�tre comme cause fondamentale ce qui n'est qu'une contingence technique. Une situation �pist�mologiquement comparable est celle de l'ancien syst�me de Ptol�m�e, qui permettait de calculer, avec exactitude pour l'�poque, les trajectoires apparentes des plan�tes, mais en postulant des sph�res rigides en rotation. Ces sph�res �taient anecdotiques comme les artifices du formalisme: en effet, lorsqu'on a commenc� � utiliser le syst�me de Copernic, on ne voyait (ou on faisait semblant pour ne pas avoir d'ennuis) dans ce dernier qu'un autre artifice, aussi anecdotique que le premier mais techniquement plus simple. La conception contemporaine du syst�me solaire est au contraire r�aliste (ce que les sondes spatiales nous font voir est une r�alit�), comme l'est l'intuitionnisme face � la r�alit� arithm�tique.

On peut objecter � cela que la r�alit� ultime du syst�me solaire reste toujours �nigmatique (ou transcendentale pour parler comme Kant), les sondes spatiales ne montrant que des apparences. Certes! Mais nous n'avons jamais dit que la r�alit� ultime des nombres na�fs �tait moins �nigmatique.

annexe 1

Die Richtigkeitsdifferenzen zwischen der formalistischen Neubegr�ndung und dem intuitionistischen Neubau der Mathematik werden beseitigt sein, und die Wahl zwischen beiden Besch�ftigungen sich auf eine gelegenheit reduzieren, sobald die folgenden in erster Linie auf den Formalismus bez�glichen, aber in der intuitionistischen Literatur zuerst formulierten Einsichten allgemein durchgedrungen sein werden. (...)

Erste Einsicht. Die Einteilung der formalistischen Bem�hungen in einen Aufbau des ``mathematischen Formelbestandes'' (formalistischen Bildes der Mathematik) und eine intuitive (inhaltliche) Theorie der Gesetze dieses Aufbaues, sowie die Erkenntnis, dass f�r die letztere Theorie die intuitionistische Mathematik der Menge der nat�rlichen Zahlen unentbehrlich ist.

Zweite Einsicht. Die Verwerfung der gedankenlosen Anwendung des logischen Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, sowie die Erkenntnis, erstens dass die Erforschung des Berechtigungsgrundes und der G�ltigkeitsbereichs des genannten Satzes einen wesentlichen Gegenstand der mathematischen Grundlagenforschung ausmacht, zweitens dass dieser G�ltigkeitsbereich in der intuitiven (inhaltlichen) Mathematik nur die endlichen Systeme umfasst.

Dritte Einsicht. Die Identifizierung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten mit dem Prinzip von der L�sbarkeit jedes mathematischen Problems.

Vierte Einsicht. Die Erkenntnis dass die (inhaltliche) Rechtfertigung der formalistischen Mathematik durch den Beweis ihrer Widerspruchslosigkeit einen circulus vitiosus enth�lt, weil diese Rechtfertigung auf der (inhaltlichen) Richtigkeit der Aussage, dass aus der Widerspruchslosigkeit eines Satzes die Richtigkeit dieses Satzes folge, d.h. auf der (inhaltlichen) Richtigkeit des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten beruht.

Voici notre traduction:

Les diff�rences de validit� entre la refonte formaliste et la reconstruction intuitionniste de la math�matique seront aplanies, et le choix entre ces deux activit�s se r�duira � une simple question de go�t, d�s lors que tout le monde aura pris conscience des quatre constatations ci-dessous, qui concernent au premier chef le formalisme, mais furent formul�es d'abord dans la litt�rature intuitionniste. (...)

Premi�re constatation. La distinction entre

a) les efforts des formalistes pour une construction du ``corpus des formules math�matiques'' (conception formaliste de la math�matique);

b) une th�orie intuitive (s�mantique) des lois de cette reconstruction;

et la conviction que la math�matique intuitionniste des entiers naturels est indispensable � la th�orie intuitive mentionn�e plus haut.

Deuxi�me constatation. Le rejet de l'usage irr�fl�chi du principe du tiers exclu ainsi que la reconnaissance du fait que

premi�rement l'�tude du domaine de l�gitimit� et de validit� du principe du tiers exclu repr�sente un objectif essentiel pour la recherche sur les fondements de la math�matique et

deuxi�mement ce domaine de validit� n'englobe dans la math�matique intuitive (s�mantique) que les syst�mes finis.

Troisi�me constatation. L'identification du principe du tiers exclu avec le principe de la possibilit� de r�solution de tout probl�me math�matique.

Quatri�me constatation. La reconnaissance de ce fait: la justification (s�mantique) de la math�matique formalis�e par la preuve de sa non contradiction renferme un cercle vicieux, car

cette justification repose sur la validit� (s�mantique) de l'assertion suivante:``le fait qu'une affirmation n'entra�ne pas de contradiction implique la validit� de cette affirmation''; c'est � dire que cette justification repose sur la validit� (s�mantique) du principe du tiers exclu.

annexe 2

Quoi qu'il en soit, nous constatons ceci: si nous nous cantonnons dans le domaine finitaire [i.e. des propositions, termes, et formules exprimables en un nombre fini de mots], comme nous y sommes bien oblig�s, nous pouvons nous heurter � des probl�mes de logique difficiles � d�nouer, et ces probl�mes deviennent bien vite inextricables quand les ``quel que soit'' et les ``il existe'' apparaissent combin�s, et dans des formules embo�t�es. En tous cas, les lois logiques que les hommes ont toujours utilis�es depuis qu'ils pensent, et qu'Aristote a enseign�es, ne sont plus valables. On pourrait � premi�re vue s'en sortir en �tablissant les lois de la logique qui r�gissent le domaine finitaire, mais par l� nous ne serions pas aid�s, puisque justement nous ne voulons pas abandonner l'usage des lois simples de la logique aristot�licienne. De plus, nul, quand bien m�me il parlerait avec la langue des anges, ne pourrait emp�cher les hommes de nier des jugements universels, de particulariser, d'appliquer le principe du tiers exclu. Alors, que faire ?

Souvenons-nous que nous sommes math�maticiens et qu'en tant que tels nous nous sommes trouv�s souvent d�j� dans une telle situation d�licate, et comment, alors, la m�thode g�niale des �l�ments id�aux nous a sauv�s. (...) De m�me que i = �{-1} a �t� introduit pour obtenir une formulation aussi simple que possible des lois de l'alg�bre, par exemple celle sur l'existence et le nombre des racines d'un polyn�me; de m�me que l'introduction de facteurs id�aux est apparue afin de conserver pour les nombres alg�briques les lois simples de la division, comme par exemple l'introduction d'un diviseur commun id�al pour 2 et 1+�{-5}, alors qu'il est impossible d'en trouver un r�el, de m�me nous devons cette fois ajouter aux propositions finitaires des propositions id�ales, afin de pouvoir conserver les r�gles formelles simples de la logique aristot�licienne usuelle. Et c'est un fait curieux, que les formes de raisonnement condamn�es avec tant de passion par Kronecker sont exactement le pendant de ce que ce m�me Kronecker admire avec tant d'enthousiasme dans cette arithm�tique qui nous pr�occupe ici et qu'il c�l�brait comme le plus grand exploit de la math�matique.

Et maintenant, comment r�ussir avec nos ``propositions id�ales'' ? Il est remarquable, et c'est en tout cas une circonstance heureuse et favorable, qu'il nous suffise pour les atteindre de poursuivre, de fa�on naturelle et cons�quente, le d�veloppement que la science des fondements de la math�matique a eu jusqu'ici. En fait nous savons bien que d�j� la math�matique la plus �l�mentaire va au-del� du simple point de vue de la th�orie na�ve des nombres. La m�thode du calcul alg�brique, � l'aide des symboles formels que sont les lettres, est en effet autonome par rapport au sens num�rique des expressions alg�briques.

Ici il faudrait signaler au lecteur que notre traduction de cette phrase ne respecte pas du tout la construction allemande, car c'�tait le seul moyen de ne pas en trahir le sens. Voici la phrase allemande:``...ist n�mlich in der inhaltlich-anschaulichen Zahlentheorie, wie wir sie bisher auffa� ten, nicht mit inbegriffen'', c'est � dire litt�ralement:``...n'est en effet pas du ressort de la th�orie s�mantique-na�ve des nombres, comme nous l'avons con�ue jusqu'� pr�sent''. Comme on le voit, la difficult� ne provient pas de la langue fran�aise, mais du fait que les mots employ�s par Hilbert, m�me en allemand, ne seraient plus compris aujourd'hui comme ils pouvaient l'�tre alors. Vous remarquerez le mot inhaltlich (s�mantique), qui signifie ici ``relatif � la valeur num�rique sous-jacente''. L'alg�bre consiste � passer des lois du calcul num�rique � un calcul purement formel; on passe donc d'un calcul ``s�mantique'' � un calcul formel.

Pour revenir � l'argument de Hilbert, les formules du calcul alg�brique ne servent jamais qu'� la simple communication; les lettres repr�sentaient des chiffres, et par une �quation on exprime l'identit� de deux nombres. Au contraire dans l'alg�bre, nous consid�rons les expressions alg�briques en elles-m�mes, comme des structures autonomes, et les th�or�mes relatifs au contenu num�rique sont formalis�s par elles. A la place de propositions sur les chiffres apparaissent des formules qui de leur c�t� deviennent maintenant des objets concrets ais�ment observables; et � la place de d�monstrations num�riques nous d�duisons une formule � partir d'une autre selon des r�gles d�finies''.

David HILBERT Ueber das Unendliche Mathematische Annalen vol. 95, 1926, pages 161 - 190

Apr�s ce passage, Hilbert explique comment, aux propositions �crites dans un langage formalis�, mais ayant un sens concret, c'est � dire un contenu s�mantique, on peut ajouter des propositions qui n'en ont aucun (qui par exemple expriment des propri�t�s de cardinaux transfinis) de fa�on � engendrer un corpus de propositions dans lequel on peut pratiquer la d�duction aveugle par application de r�gles d�finies.

annexe 3

Qu'on me permette de reprendre un exemple cit� par M. Russell. C'�tait contre moi d'ailleurs qu'il l'invoquait. (...)

Quel est le plus petit nombre entier qui ne peut pas �tre d�fini par une phrase de moins de cent mots fran�ais ? Et d'abord ce nombre existe-t-il ?

Oui, car avec cent mots fran�ais, on ne peut construire qu'un nombre fini de phrases, puisque le nombre des mots du dictionnaire fran�ais est limit�. Parmi ces phrases, il y en aura qui n'auront aucun sens ou qui ne d�finiront aucun nombre entier. Mais chacune d'elles pourra d�finir au plus un seul nombre entier. Le nombre des entiers susceptibles d'�tre d�finis de la sorte est donc limit�; par cons�quent il y a certainement des entiers qui ne peuvent l'�tre; et parmi ces entiers, il y en a certainement un qui est plus petit que tous les autres.

Non, car si cet entier existait, son existence impliquerait contradiction, puisqu'il se trouverait d�fini par une phrase de moins de cent mots fran�ais, � savoir par la phrase m�me qui affirme qu'il ne peut pas l'�tre.

Ce raisonnement repose sur une classification des nombres entiers en deux cat�gories, ceux qui peuvent �tre d�finis par une phrase de moins de cent mots fran�ais et ceux qui ne peuvent pas l'�tre. En posant la question, nous proclamons implicitement que cette classification est immuable et que nous ne commen�ons � raisonner qu'apr�s l'avoir �tablie d�finitivement. Mais cela n'est pas possible. La classification ne pourra �tre d�finitive que lorsque nous aurons pass� en revue toutes les phrases de moins de cent mots, que nous aurons rejet� celles qui n'ont pas de sens, et que nous aurons fix� d�finitivement le sens de celles qui en ont un. Mais parmi ces phrases, il y en a qui ne peuvent avoir de sens qu'apr�s que la classification est arr�t�e, ce sont celles o� il est question de cette classification elle-m�me. En r�sum� la classification des nombres ne peut �tre arr�t�e qu'apr�s que le triage des phrases est achev�, et ce triage ne peut �tre achev� qu'apr�s que la classification est arr�t�e, de sorte que ni la classification, ni le triage ne pourront jamais �tre termin�s.

Ces difficult�s se rencontreront beaucoup plus souvent encore quand il s'agira de collections infinies. (...)

De l� une distinction entre deux esp�ces de classifications, applicables aux �l�ments des collections infinies; les classifications pr�dicatives, qui ne peuvent �tre boulevers�es par l'introduction de nouveaux �l�ments; les classifications non pr�dicatives que l'introduction des �l�ments nouveaux oblige � remanier sans cesse.

Est-il possible de raisonner sur des objets qui ne peuvent pas �tre d�finis en un nombre fini de mots ? Est-il possible m�me d'en parler en sachant de quoi l'on parle, et en pronon�ant autre chose que des paroles vides ? Ou au contraire doit-on les regarder comme impensables ? Quant � moi, je n'h�site pas � r�pondre que ce sont de purs n�ants.

Tous les objets que nous aurons jamais � envisager, ou bien seront d�finis en un nombre fini de mots, ou bien ne seront qu'imparfaitement d�termin�s et demeureront indiscernables d'une foule d'autres objets; et nous ne pourrons raisonner congrument � leur endroit, que quand nous les aurons distingu�s de ces autres objets avec lesquels ils demeurent confondus, c'est � dire quand nous serons arriv�s � les d�finir en un nombre fini de mots.

(...)

Les phrases d'un nombre fini de mots pourront toujours �tre num�rot�es, puisqu'on peut par exemple les classer par ordre alphab�tique. Si tous les objets pensables doivent �tre d�finis par de semblables phrases, on pourra aussi leur donner un num�ro. Il n'y aurait donc pas plus d'objets pensables que de nombres entiers; et si l'on consid�re l'espace, par exemple, si l'on en exclut les points qui ne peuvent �tre d�finis en un nombre fini de mots et qui sont de purs n�ants, il n'y restera pas plus de points qu'il n'y a de nombres entiers. Et Cantor a d�montr� le contraire.

Ce n'est l� qu'un trompe-l'oeil; repr�senter les points de l'espace par la phrase qui sert � les d�finir; classer ces phrases et les points correspondants d'apr�s les lettres qui forment ces phrases, c'est construire une classification qui n'est pas pr�dicative, qui entra�ne tous les inconv�nients, tous les paralogismes, toutes les antinomies dont j'ai parl� au d�but de ce chapitre. Qu'a voulu dire Cantor et qu'a-t-il r�ellement d�montr�? On ne peut trouver, entre les nombres entiers et les points de l'espace d�finissables en un nombre fini de mots, une loi de correspondance satisfaisant aux conditions suivantes: 1) Cette loi peut s'�noncer en un nombre fini de mots. 2) �tant donn� un entier quelconque, on peut trouver le point de l'espace correspondant, et ce point sera enti�rement d�fini sans ambigu�t�; la d�finition de ce point qui se compose de deux parties, la d�finition de l'entier et l'�nonc� de la loi de correspondance, se r�duira � un nombre fini de mots, puisque notre entier peut se d�finir et notre loi s'�noncer en un nombre fini de mots. 3) �tant donn� un point P de l'espace que je suppose d�fini en un nombre fini de mots (sans m'interdire de faire figurer dans cette d�finition des allusions � la loi de correspondance elle-m�me, ce qui est essentiel dans la d�monstration de Cantor) il y aura un entier qui sera d�termin� sans ambigu�t� par l'�nonc� de la loi de correspondance et par la d�finition du point P. 4) La loi de correspondance doit �tre pr�dicative, c'est-�-dire que si elle fait correspondre un point P � un entier, elle ne devra pas cesser de faire correspondre ce point P � ce m�me entier, quand on aura introduit de nouveaux points de l'espace. Voil� ce que Cantor a d�montr� et cela reste toujours vrai; on voit quel est le sens compliqu� enferm� dans cette br�ve proposition: le nombre cardinal des points de l'espace est plus grand que celui des entiers.

Et alors que devons-nous en conclure ? Tout th�or�me de math�matiques doit pouvoir �tre v�rifi�. Quand j'�nonce ce th�or�me, j'affirme que toutes les v�rifications que j'en tenterai r�ussiront; et m�me si l'une de ces v�rifications exige un travail qui exc�derait les forces d'un homme, j'affirme que, si plusieurs g�n�rations, cent, s'il le faut, jugent � propos de s'atteler � cette v�rification, elle r�ussira encore. Le th�or�me n'a pas d'autre sens, et cela est encore vrai si dans son �nonc� on parle de nombres infinis; mais comme les v�rifications ne peuvent porter que sur des nombres finis, il s'ensuit que tout th�or�me sur les nombres infinis ou surtout sur ce qu'on appelle ensembles infinis, ou cardinaux transfinis, ou ordinaux transfinis, etc., etc., ne peut �tre qu'une fa�on abr�g�e d'�noncer des propositions sur les nombres finis. S'il en est autrement, ce th�or�me ne sera pas v�rifiable, et s'il n'est pas v�rifiable, il n'aura pas de sens.

Et il s'ensuit qu'il ne saurait y avoir d'axiome �vident concernant les nombres infinis; toute propri�t� des nombres infinis n'est que la traduction d'une propri�t� des nombres finis; c'est cette derni�re qui pourra �tre �vidente, tandis qu'il faudra d�montrer la premi�re en la comparant � la derni�re et en montrant que la traduction est exacte.

Henri POINCARE La logique de l'infini dans Derni�res pens�es Ernest Flammarion, �diteur 1920 pages 101 - 139

annexe 4

Dans son ouvrage Die Zahlen, was sind sie und was sollen sie ?, Dedekind pr�sente sa conception de l'arithm�tique, que nous allons r�sumer avant de donner un extrait significatif.

Le livre commence ainsi: ``Dans la suite, j'entends par ``chose'' tout objet de notre pens�e. Pour pouvoir parler commod�ment des choses, on les d�signe par des signes, par exemple des lettres''. Peu apr�s, Dedekind d�finit les ``syst�mes'' o� chacun reconna�tra ce qu'on appelle aujourd'hui des ensembles: ``il arrive tr�s souvent que des choses diff�rentes a, b, c, � soient pour un motif quelconque r�unies sous un point de vue commun, mises ensemble dans la pens�e, et on dit alors qu'elles forment un syst�me S; on nomme les choses a, b, c, �, les �l�ments du syst�me S ''. Il est inutile de vous citer sa d�finition d'une application, puisqu'elle est en tous points identique � celle que vous avez apprise � l'�cole. De m�me ce qu'il appelle application semblable est simplement ce que nous avons appris sous le nom d'application injective. Nous retrouvons encore du connu dans la d�finition suivante: ``un syst�me S est dit infini quand il est semblable � une de ses parties propres; dans le cas oppos�, S est dit syst�me fini.'' La th�orie devient int�ressante � partir de maintenant: Dedekind d�montre le

``TH�OR�ME: il existe des syst�mes infinis''

Pour Dedekind en effet, ceci est un th�or�me et non un axiome comme pour la seconde g�n�ration des formalistes. Voici sa d�monstration: ``le domaine de mes pens�es, c'est � dire l'ensemble S de toutes les choses qui peuvent �rte objets de ma pens�e, est infini. Car si s d�signe un �l�ment de S, la pens�e s�, que s peut �tre objet de ma pens�e, est elle-m�me un �l�ment de S. Si l'on consid�re le m�me �l�ment comme l'image f( s) de l'�l�ment s l'application f de S ainsi d�finie a la propri�t� que l'image S� est une partie propre de S; et en particulier, S� est une partie propre de S, car il y a dans S des �l�ments (par exemple mon moi) qui sont distincts de toute pens�e s� de ce genre et pour cette raison ne sont pas contenus dans S�. Enfin, il est clair que si a, b sont des �l�ments diff�rents de S, leurs images a�, b� sont aussi diff�rentes, donc que l'application est une application semblable. Par cons�quent, S est infini, C.Q.F.D.''

Par ailleurs, Dedekind appelle cha�ne (relative � une application f une partie K de S telle que f( K) soit contenu dans K, et cha�ne d'un �l�ment s la plus petite cha�ne qui contient s. Ce qui lui permet (entre autres) de poser la d�finition que voici: ``un syst�me N est dit simplement infini, quand il existe une application semblable f de N dans lui-m�me telle que N appara�t comme cha�ne d'un �l�ment qui n'est pas contenu dans f( N)''. On dit alors que f ordonne N.

Enfin:

``Si en consid�rant un syst�me N simplement infini, ordonn� par une application f, on fait totalement abstraction de la constitution particuli�re des �l�ments, que l'on ne retient que ce qui les diff�rencie et que l'on saisit seulement les relations qu'�tablit entre eux l'application f qui d�finit l'ordre, on nommera ces �l�ments nombres naturels ou nombres ordinaux ou m�me absolument nombres.'' L'�l�ment de base dont N est la cha�ne est nomm� 1 et est dit le nombre de base de la s�rie. Dedekind ajoute imm�diatement:``eu �gard � cette lib�ration des �l�ments de tout autre contenu (abstraction), on peut d�finir avec raison les nombres comme une cr�ation libre de l'esprit humain.''

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