Theoria classium

Theoria classium vel fortasse theoria copiarum est pars mathematicae in qua aggregationes classesque tractantur, quae rerum collationes intelleguntur. Quamquam quaelibet res in aggregationes colligi possunt, theoria classium plerumque rebus mathematicis adhibetur.

Georgius Cantor, anno 1894

Classium theoria nostrae aetatis a Georgio Cantor et Ricardo Dedekind annis 1870 inchoata est. Post theoriam paradoxorum in simplici classium theoria excogitatam multa systemata axiomatica saeculo vicesimo ineunte proposita sunt, quorum notissima sunt axiomata Zermelo-Fraenkel et axioma electionis.

Adhibentur vocabula classium theoriae ad omnes fere res mathematicas definiendas, sicut functiones, quin etiam notiones theoriae classium per totum curriculum mathematicae docendae inveniuntur. Principia classium et membrorum earum facile doceri possunt in schola primaria ope diagrammatum Venn et Euler, cum collectiones corporearum rerum cottidianarum discuntur. Qua in re etiam operationes facillimae, sicut unio intersectioque classium, exponi possunt. Notiones difficiliores, sicut cardinalitas, nulli curriculo baccalaureati quod quidem ad mathematicam artem attinet desunt.

Definitiones

Imprimis definitiones ponendae quibus mathematici cottidie utuntur. Haec est simplex classium theoria, quam necesse erit subtiliorem facere.

Elementa

Quum aggregatio sit conlatio rerum, hae res sunt elementa aggregationis. Si $S=\{a,b,c,...\}$ est aggregatio, dicimus "a est elementum aggregationis S," et scribimus $a\in S$. Est aggregatio vacua vel inanis, quae nulla elementa habet; signum huius aggregationis est $\emptyset$. Elementa aggregationis possunt quaelibet res esse, etiam aliae aggregationes. Exempli gratia, $S=\{a,\{a\}\}$ est aggregatio cuius elementa sunt a et aggregatio alia {a} (cuius elementum est ipsa a). Numerus elementorum aggregationis nomine cardinalitatis vel magnitudine aggregationis appellatur, sive finita sive infinita. Sit S = {a, b, c}; tum cardinalitas aggregationis S est 3.

Si S, T sunt aggregationes, et omnia elementa S sunt elementa etiam T, aggregatio S dicitur aggregatio inferior aggregationis alterius, quae ea de re aggregatio superior appellatur. Hoc est, si $S=\{a,c,e\},T=\{a,b,c,d,e,f\},$ tum $S\subset T$ et $T\supset S$. Aggregatio vacua est aggregatio inferior omnium aliarum aggregationum. Omnis aggregatio est inferior sui ipsius (hoc est, semper $S\subset S$), sed aggregationes inferiores proprie dictae sunt aggregationes inferiores quae suas aggregationes superiores non aequant. Si S et T sunt aggregationes, fieri potest ut non sit nec $S\subset T$ nec $T\subset S$: exempli gratia, si $S=\{a,1,b,2\}$ et $T=\{a,b,c,d\}$, tum nec $S\subset T$ quod $1\in S,1\notin T$, nec $T\subset S$, quod $d\in T,d\notin S$.

Duae aggregationes, quae eadem elementa habent, sunt eadem aggregatio, etiamsi elementa varie scribuntur. Exempli gratia, sit S = {1, 2, 3, 4, 5} et T = {5, 4, 3, 2, 1}; tum S = T. Aggregatio vacua est solum una.

Aggregatio infinita est si ei tantundem elementorum est, quantum habet aggregatio sua inferior proprie dicta. Duae aggregationes inter se numero elementorum (i. e. cardinalitate) aequales sunt, si est functio biiectiva quae omni elemento unius aggregationis elementum alterius aggregationis attribuit. Exempli gratia, aggregationis {a, b, c} et {1, 2, 3} eiusdem cardinalitatis sunt, quod functio elementa (a, 1), (b, 2), (c, 3) attribuit. Sed {a, b, c} est aggregatio finita, quod aggregationis eius inferiores pauciora elementa habent. Aggregatio autem numerorum naturalium est aggregatio infinita: functio f(x) = 2x omni numero naturali unum numerum parem aggregat, et rursum omni numero pari y unum numerum naturalem y/2. Numeri pares hic sunt aggregatio inferior, quia numerus par semper est numerus naturalis, et aggregatio inferior proprie dicta, quia aggregationes numerorum naturalium etiam numeri impares sunt. Atqui eo quod tantundem numerorum naturalium est quantum numerorum parium, hae duae aggregationes infinitae sunt.

Aggregationes infinitiae sunt aut numerabiles aut innumerabiles. Aggregatio est numerabilis si eandem cardinalitatem habet atque aggregatio numerorum naturalium; aggregationes finitae quoque numerabiles dicuntur. Aggregatio innumerabilis maior est quam aggregatio numerabilis, hoc est, maiorem cardinalitatem habet. Exempli gratia, aggregatio numerorum realium est innumerabilis, ut Cantor demonstravit.

Operationes

Aggregatio cuius elementa sunt aggregationes inferiores cuiusdam aggregationis dicitur aggregatio potens vel potentiae huius aggregationis, aut aggregatio partium. Aggregatio potens cuiusdam aggregationis semper plura elementa habet quam haec aggregatio ipsa. Exempli gratia, sit S = {a, b, c}. Tum aggregatio potens S, vel ${\mathcal {P}}(S)$, 8 elementa habet:

${\mathcal {P}}(S)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},S\}$

Si S est aggregatio finita et n elementa habet, cardinalitas aggregationis potentis S est 2ⁿ. Si S est aggregatio infinita cuius cardinalitas est α, 2^α significat cardinalitas aggregationis potentis S, per definitionem.

Diagrammata Venniana quae monstrant operationes intersectionis, unionis complementique vel negationis

Coniunctione aut unione duarum aggregationum fit nova aggregatio, quae omnia elementa harum duarum aggregationum habet. Exempli gratia, sint S = {a, b, c} et T = {1, 3, 5}. Tum $S\cup T=\{a,b,c,1,3,5\}$.

Aut, si S = {a, b, c} et T = {c, d, e}, tum $S\cup T=\{a,b,c,d,e\}$; elementum c, etiamsi est elementum ambarum aggregationum, modo semel reperitur inter elementa novae aggregationis.

Intersectio duarum aggregationum est nova aggregatio, cuius elementa sunt omnia elementa quae in ambabus aggregationibus insunt. Exempli gratia, si S = {a, b, c, d, e} et T = {a, c, e, g, i}, tum $S\cap T=\{a,c,e\}$.

Aut, si S = {a, b, c} et T = {1, 3, 5}, tum $S\cap T=\emptyset$.

Differentia inter aggregationem S e aggregationem T est nova aggregatio, cuius elementa sunt omnia elementa quae in S insunt, sed in T non insunt. Hoc est, si S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} et T = {f, g, h, i}, tum $S\setminus T=\{a,b,c,d,e\}$.

Complementum aggregationis S in universa U est nova aggregatio, cuius elementa sunt omnia elementa universae quae non in S insunt. Exempli gratia, si universa est aggregatio numerorum naturalium, et si S est aggregatio numerorum naturalium parium, tum $\neg S$ est aggregatio numerorum naturalium imparium. Non est complementum sine universa data.

Universa est aggregatio quae continet omnia elementa omnium aggregationum de quibus tractamus. Exempli gratia, si analysin realem facimus, universa est $\mathbb {R}$, numeri reales. Sed si de theoria numerorum agitur, fortasse universa est $\mathbb {Z}$, numeri integri. Scilicet non necesse est elementa esse numeros.

Axiomata et problemata

Aggregationes mathematicae ante quam data sunt axiomata formalia collectiones esse quarumvis rerum, dum definitio daretur, receptae sunt. Russell verum cum Zermelo paradoxon dedit, quo monstratum est aggregationem non esse quamvis aliqua definitione determinatam, perque consequentiam theoriam simplicem sibi congruere redarguit. Axiomata Zermelo-Fraenkel igitur prodita sunt, per quae vetantur eiusmodi aggregationes, ut theoria sibi congruere speretur.

Sunt autem multa problemata amplissima e theoria classium orta, quorum praecipuum et notissimum est hypothesis continui vel saepius CH, quae nullam aggregationem esse maiorem quam aggregationem numerorum integrorum, minorem quam aggregationem numerorum realium vult, aut notis cardinalium $2^{\omega }=\omega _{1}$. Hypothesis est quoque continui expansa vel GCH, quae $2^{\kappa }=\kappa ^{+}$ omnibus cardinalibus $\kappa$ vult.

Disciplina theoriae

Exemplaria interiora

Hypothesis continui: quid est cardinalitas ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$?

Aggregationes rite ab imo structae quia diversas theorias mathematicae aemulari possunt, a David Hilbert et aliis pro fundamento huius doctrinae sumptae et nobis eis finibus traditae sunt. Nonne verum comprobare fundamentum mathematicum sibi congruere volumus, ne quid antinomiae comprobet? Profecto nequimus: anno 1931 a Kurt Gödel edita sunt theoremata de imperfectione, quae nos nullam probationem congruentiae axiomatum quorumvis per ipsa dare posse monstravit, nisi haec axiomata sibi non congruunt. Ut exemplo est, si Con(ZFC) congruentiam axiomatum ZFC signat, tum

$\mathrm {ZFC} \nvdash \operatorname {Con} (\mathrm {ZFC} )$

Nihilominus, si Con(ZFC) asciscimus atque per consequentiam exemplari eorum utimur, exemplaria aliorum axiomatum intus inveniri possunt. Pars exemplaris aliqui primigeni exemplar interius appellatur, si et ZF axiomata satisfacit et omnes cardinales exemplaris primigeni continet. Primum exemplar huius generis Gödel anno 1938 prodidit, nomine $L$ (mundus constructibilis): exemplar non solum axiomatum ZFC est ab exemplar ZF definitum, sed etiam hypothesin continui expansam satisfacit, quare comprobavit

$\operatorname {Con} (\mathrm {ZF} )\vdash \operatorname {Con} (\mathrm {ZFC+GCH} )$

Axioma V=L igitur omne exemplar primigenum in L inesse vult.

Modus coercens

Exemplari ZFC posito fortasse Con(¬GCH) comprobare volumus aut Con(¬AC), id est axioma electionis, cuius per consequentiam GCH et AC non in ZF pendere videamus. Quid agamus? Certe nullum erit exemplar interius quod ¬GCH aut ¬AC satisfaciat, quia si V=L in exemplar primigenum, tum nullum est exemplar interius nisi quod iam habemus.

Anno 1963 praeclarissimus modus coercens (anglice "forcing") a Paul Cohen inventus est ad resolvendum hoc problema, quo modo functiones in exemplari addi possunt, ut cardinalitas $2^{\omega }$ mutetur et aequa ac, ut exemplo est, $\omega _{2}$ sit, nec minus axiomata ZFC satisfaciantur. Porro autem W. B. Easton modum excoluit ut cardinalitas aggregationum partium cardinalium omnino libere mutari possint, nisi leges simplices (incrementum continuum, theorema Cantor, theorema König) contradictentur.

Cardinales permagni

Cardinales permagni sunt eiusmodi numeri cardinales infiniti, qui ob suam immanitatem plus praebeant facultatis monstrandi.

Ut exemplo est, cardinalis regularis $\kappa$ eiusmodi sumamus, ut $2^{<\kappa }<\kappa$. Hic cardinalis "inaccessus" appellatur, quod nullo modo accedi potest a minoribus cardinalis (nec supremo concipiendo nec aggregatio partium), porro enim monstrari potest $V_{\kappa }$ esse exemplar axiomatum ZF. Suntne verum cardinales inaccessi? In axiomatibus ZF non pendet hoc problema: alia sunt exemplaria quae cardinales inaccessos contineant, alia sunt in quibus nulli sint hi cardinales.

Sit T theoria formalis extendens ZF+DC (id est axioma electionis consequentis) quae "omnes aggregationes numerorum realium metro Lebesgue metiri posse" vult. Monstratum est a Shelah (1984) nec Con(T) nec ¬Con(T) a Con(ZFC) sequi, etsi Solovay (1970) iam Con(T) a Con(ZFC+"est cardinalis inaccessus") consequi monstravit, quippe igitur cardinales inaccessi plus facultatis monstrandi praebent.

Historia

Georgius Cantor theoriam classium anno 1874 primus definit, in articulo qui inscribitur Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reelen algebraischen Zahlen, hoc est Latine De proprietate aggregationes omnium numerorum algebraicorum realium. Hoc in articulo demonstravit aggregationem numerorum realium maiorem esse quam aggregationem numerorum rationalium: id est, infinitas non una res est, nec una quantitas, sed plures.

Ernestus Zermelo axiomata anno 1908 formulavit.

Nexus interni

• Algebra Booleana (logica)
• Aggregatio (theoria classium)
• Classis (theoria classium)
• Logica mathematica
• Supremum
• Theoria gregum
• Topologia

Bibliographia

• Aczel, Peter. 1988. Non-well-founded Sets. CSLI Lecture Notes, 14. Stanford. ISBN 0-937073-21-0.
• Bandmann, Hans. 1992. Die Unendlichkeit des Seins: Cantors transfinite Mengenlehre und ihre metaphysichen Wurzeln. Peter Lang. ISBN 3-631-42559-7.
• Barwise, Jon, ed. 1977. Handbook of Mathematical Logic. North-Holland. ISBN 0-7204-2285-X.
• Bourbaki, Nicolas. 1970. Théorie des ensembles. Hermann; re-ed Springer 2006. ISBN 978-3-540-34034-8.
• Cantor, Georg. 1932 Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. re-editio 1980, Springer.
• Cohen, Paul J. 1963-1964. "The Independence of the Continuum Hypothesis." Proc. Nat. Acad. Sci. USA 50 (1963), 1143-1148, 51 (1964), 105-110.
• Cohen, Paul. J. 1966. Set Theory and the Continuum Hypothesis. Benjamin; re-editio Dover, 2008. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Dedekind, Richard. 1872. Stetigkeit und irrationale Zahlen. F. Vieweg und Sohn.
• Devlin, Keith. 1993. The Joy of Sets. Ed. 2a. Springer Verlag. ISBN 0-387-94094-4.
• Enderton, Herbert B. 1972. A Mathematical Introduction to Logic. Academic Press.
• Ferreirós, Jose. (1999) 2007. Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Foreman, Matthew, et Akihiro Kanamori, eds. 2010. Handbook of Set Theory. 3 voll.
• Fraenkel, Adolf. 1928, 1972. Einleitung in die Mengenlehre. Ed. 2a. Waldaffae: Martin Sändig oHG. ISBN 3500249604. Prima editio Berolini, Heidelberg, Novi Eboraci: Springer Verlag.
• Hausdorff, Felix. 1927. Mengenlehre. De Gruyter. OCLC 997955.
• Jech, Thomas. 1973. The Axiom of Choice. North-Holland. ISBN 0-444-10484-4.
• Jech, Thomas. 2003. Set Theory, editio tertia. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Johnson, Philip. 1972. A History of Set Theory. Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 0-87150-154-6.
• Kunen, Kenneth. 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland. ISBN 0-444-85401-0.
• Mayberry, J. P. 2000. The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets. Cambridge. ISBN 0-521-77034-3.
• Machover, Moshé. 1996. Set Theory, Logic, and their Limitations. Cambridge. ISBN 0-521-47998-3.
• Suppes, Patrick. 1960. Axiomatic Set Theory. D. Van Nostrand; reeditio Dover, 1972. ISBN 0-486-61630-4.
• Tiles, Mary. (1989) 2004. The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise. Dover Publications.

Nexus externi

Vicimedia Communia plura habent quae ad theoriam classium spectant.

• Paginae mathematicorum qui theoriam classium colunt
• Theoria classium, pagina in encyclopedia philosophiae Stanfordense (Anglice)
• Theoria classium et fundamenta mathematicae, pagina Francogallice scripta a Sylvano Poirier
• Theoria classium apud Sciences.ch (Francogallice)
• Theoria classium apud Universitatem Lugdunensem (Francogallice)
• Libri et articuli de theoria classium, logica mathematica, et aliis partibus mathematicae, a Carolo Ivorra scripti (Hispanice)