Τύπος περιστροφής του Ροντρίγκες

Στη θεωρία της τρισδιάστατης περιστροφής, ο τύπος περιστροφής του Ροντρίγκες, που πήρε το όνομά του από τον Ολίντε Ροντρίγκες, είναι ένας αποτελεσματικός αλγόριθμος για την περιστροφή ενός διανύσματος στο χώρο, δεδομένου ενός άξονα και μιας γωνίας περιστροφής. Κατ' επέκτασιν, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον μετασχηματισμό και των τριών διανυσμάτων βάσης για τον υπολογισμό ενός πίνακα περιστροφής στο SO(3), την ομάδα όλων των πινάκων περιστροφής, από μια αναπαράσταση άξονα-γωνίας. Όσον αφορά τη θεωρία Λι, ο τύπος του Ροντρίγκες παρέχει έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό του εκθετικού χάρτη από την άλγεβρα Λι so(3) στην ομάδα Λι SO(3).

Ο τύπος αυτός αποδίδεται ποικιλοτρόπως στον Λεονάρντ Όιλερ, στον Όλιντε Ροντρίγκες ή σε συνδυασμό των δύο. Μια λεπτομερής ιστορική ανάλυση το 1989 κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο τύπος θα πρέπει να αποδοθεί στον Όιλερ, και συνέστησε να τον ονομάσει «τύπος πεπερασμένης περιστροφής του Όιλερ». Η πρόταση αυτή έλαβε αξιοσημείωτη υποστήριξη, αλλά κάποιοι άλλοι θεώρησαν τον τύπο ως μία από τις πολλές παραλλαγές του τύπου Όιλερ-Ροντρίγκες, πιστώνοντας έτσι και τους δύο.

Δήλωση

Αν v είναι ένα διάνυσμα στο ℝ³ και k είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα που περιγράφει έναν άξονα περιστροφής γύρω από τον οποίο το v περιστρέφεται κατά γωνία θ σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού, ο τύπος του Ροντρίγκες για το περιστρεφόμενο διάνυσμα v_rot είναι

$\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} \cos \theta +(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\sin \theta +\mathbf {k} ~(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos \theta )\,.$

Η διαίσθηση του παραπάνω τύπου είναι ότι ο πρώτος όρος κλιμακώνει το διάνυσμα προς τα κάτω, ενώ ο δεύτερος το γέρνει (μέσω της πρόσθεσης διανυσμάτων) προς τη νέα θέση περιστροφής. Ο τρίτος όρος προσθέτει ξανά το ύψος (σε σχέση με το ${\textbf {k}}$) που χάθηκε από τον πρώτο όρο.

Μια εναλλακτική δήλωση είναι να γραφεί το διάνυσμα του άξονα ως διασταυρούμενο γινόμενο a × b οποιωνδήποτε δύο μη μηδενικών διανυσμάτων a και b που ορίζουν το επίπεδο περιστροφής, και η έννοια της γωνίας θ μετριέται μακριά από το a και προς το b. Αφήνοντας το α να υποδηλώνει τη γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων, οι δύο γωνίες θ και α δεν είναι απαραίτητα ίσες, αλλά μετριούνται με την ίδια έννοια. Τότε το διάνυσμα του μοναδιαίου άξονα μπορεί να γραφεί

$\mathbf {k} ={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \alpha }}\,.$

Αυτή η μορφή μπορεί να είναι πιο χρήσιμη όταν πρόκειται για δύο διανύσματα που ορίζουν ένα επίπεδο. Ένα παράδειγμα στη φυσική είναι η μετάπτωση του Τόμας, η οποία περιλαμβάνει την περιστροφή που δίνεται από τον τύπο του Ροντρίγκες, σε όρους δύο μη κολλητών ταχυτήτων ώθησης και ο άξονας περιστροφής είναι κάθετος στο επίπεδό τους.

Παραγώγιση

Ο τύπος περιστροφής του Ροντρίγκες περιστρέφει το v κατά γωνία θ γύρω από το διάνυσμα k αναλύοντάς το σε συνιστώσες παράλληλες και κάθετες στο k και περιστρέφοντας μόνο την κάθετη συνιστώσα.

Διανυσματική γεωμετρία του τύπου περιστροφής του Ροντρίγκες, καθώς και η διάσπαση σε παράλληλες και κάθετες συνιστώσες.

Έστω k ένα μοναδιαίο διάνυσμα που ορίζει έναν άξονα περιστροφής, και έστω v ένα οποιοδήποτε διάνυσμα που περιστρέφεται γύρω από το k κατά γωνία θ (κανόνας του δεξιού χεριού, αριστερόστροφα στο σχήμα), παράγοντας το περιστρεφόμενο διάνυσμα. $\mathbb {v} _{\text{rot}}$.

Χρησιμοποιώντας τα Εσωτερικά γινόμενα και τα Διανυσματικά γινόμενἀ, το διάνυσμα vv μπορεί να αναλυθεί σε συνιστώσες παράλληλες και κάθετες στον άξονα k,

$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }\,,$

όπου η συνιστώσα που είναι παράλληλη στο k ονομάζεται διανυσματική προβολή του v στο 'k,

$\mathbf {v} _{\parallel }=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k}$,

και η συνιστώσα κάθετη στο k ονομάζεται διανυσματική απόρριψη του v από το 'k:

$\mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} =-\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )$,

όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από τον τύπο του διανυσματικού τριπλού γινομένου:${\textstyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$. Τέλος, το διάνυσμα $\mathbf {k} \times \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {k} \times \mathbf {v}$ είναι ένα αντίγραφο του $\mathbf {v} _{\perp }$ περιστρέφεται κατά 90° γύρω από $\mathbf {k}$. Έτσι, τα τρία διανύσματα $\mathbf {k} \,,\ \mathbf {v} _{\perp }\,,\,\mathbf {k} \times \mathbf {v}$ σχηματίζουν μια ορθογώνια βάση του $\mathbb {R} ^{3}$, με τα δύο τελευταία διανύσματα ίσου μήκους.

Υπό την περιστροφή, η συνιστώσα $\mathbf {v} _{\parallel }$ που είναι παράλληλη στον άξονα δεν θα αλλάξει μέγεθος ούτε κατεύθυνση:

$\mathbf {v} _{\parallel \mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel }\,;$

ενώ η κάθετη συνιστώσα διατηρεί το μέγεθός της αλλά περιστρέφεται κατά τη διεύθυνσή της στο κάθετο επίπεδο που καλύπτεται από τις $\mathbf {v} _{\perp }$ and $\mathbf {k} \times \mathbf {v}$, σύμφωνα με τη σχέση

$\mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} }=\cos(\theta )\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} _{\perp }=\cos(\theta )\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} \,,$

κατ' αναλογία με τις επίπεδες πολικές συντεταγμένες (r, θ) στην καρτεσιανή βάση

e_x, e_y:

$\mathbf {r} =r\cos(\theta )\mathbf {e} _{x}+r\sin(\theta )\mathbf {e} _{y}\,.$

Τώρα το πλήρες περιστρεφόμενο διάνυσμα είναι:

$\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel \mathrm {rot} }+\mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel }+\cos(\theta )\,\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} .$

Αντικαθιστώντας το $\mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\|}$ ή $\mathbf {v} _{\|}=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }$ στην τελευταία έκφραση δίνει αντιστοίχως: $\mathbf {v} _{\text{rot}}=\cos(\theta )\,\mathbf {v} +(1-\cos \theta )(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} +\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} ,$

$\mathbf {v} _{\text{rot}}=\mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} .$

Συμβολισμός πινάκων

Ο γραμμικός μετασχηματισμός στο $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}$ που ορίζεται από το διασταυρούμενο γινόμενο $\mathbf {v} \mapsto \mathbf {k} \times \mathbf {v}$ δίνεται σε συντεταγμένες αναπαριστώντας v και k' × v ως πίνακες στήλης:

${\begin{bmatrix}(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{x}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{y}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{y}v_{z}-k_{z}v_{y}\\k_{z}v_{x}-k_{x}v_{z}\\k_{x}v_{y}-k_{y}v_{x}\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{rrr}0\ \,&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0\ \,&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\ \,\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}\,.$

Δηλαδή, ο πίνακας αυτού του γραμμικού μετασχηματισμού (ως προς τις τυπικές συντεταγμένες) είναι το διανυσματικό γινόμενο πινάκων:

$\mathbf {K} =\left[{\begin{array}{rrr}0\ \,&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0\ \,&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\ \,\end{array}}\right]\,.$

Δηλαδή,

$\mathbf {k} \times \mathbf {v} =\mathbf {K} \mathbf {v} ,\qquad \qquad \mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )=\mathbf {K} (\mathbf {K} \mathbf {v} )=\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} \,.$

Ο τελευταίος τύπος της προηγούμενης ενότητας μπορεί επομένως να γραφτεί ως εξής:

$\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )\mathbf {K} \mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} \,.$

Η συγκέντρωση των όρων επιτρέπει τη συμπαγή έκφραση

$\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \mathbf {v}$

όπου

$\mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}$

είναι ο πίνακας περιστροφής κατά γωνία θ αριστερόστροφα γύρω από τον άξονα k, και I ο 3 × 3 ταυτοτικός πίνακας. Αυτός ο πίνακας R είναι ένα στοιχείο της ομάδας περιστροφής SO(3) της ℝ³, και K είναι ένα στοιχείο της άλγεβρας Λι ${\mathfrak {so}}(3)$ που παράγει αυτή την ομάδα Λι (σημειώστε ότι η K είναι λοξά συμμετρική, κάτι που χαρακτηρίζει την ${\mathfrak {so}}(3)$).

Όσον αφορά τον εκθετικό πίνακα,

$\mathbf {R} =\exp(\theta \mathbf {K} )\,.$

Για να διαπιστώσουμε ότι η τελευταία ταυτότητα ισχύει, σημειώνουμε ότι

$\mathbf {R} (\theta )\mathbf {R} (\phi )=\mathbf {R} (\theta +\phi ),\quad \mathbf {R} (0)=\mathbf {I} \,,$

χαρακτηριστική μιας μονοπαραμετρικής υποομάδας, δηλαδή εκθετική, και ότι οι τύποι ταιριάζουν για απειροελάχιστες θ.

χαρακτηριστικό μιας υποομάδας μιας παραμέτρου, δηλ. Για μια εναλλακτική παραγώγιση που βασίζεται σε αυτή την εκθετική σχέση, (βλέπε εκθετικός χάρτης από ${\mathfrak {so}}(3)$ σε SO(3)). (Για την αντίστροφη αντιστοίχιση, βλέπε log map από SO(3) σε ${\mathfrak {so}}(3)$)

Ο δυϊκός Χοτζ της περιστροφής $\mathbf {R}$ is just $\mathbf {R} ^{*}=-\sin(\theta )\mathbf {k}$ που επιτρέπει την εξαγωγή τόσο του άξονα περιστροφής όσο και του ημιτόνου της γωνίας περιστροφής από τον ίδιο τον πίνακα περιστροφής, με τη συνήθη ασάφεια,

${\begin{aligned}\sin(\theta )&=\sigma \left|\mathbf {R} ^{*}\right|\\[3pt]\mathbf {k} &=-{\frac {\sigma \mathbf {R} ^{*}}{\left|\mathbf {R} ^{*}\right|}}\end{aligned}}$

όπου $\sigma =\pm 1$. Η παραπάνω απλή έκφραση προκύπτει από το γεγονός ότι τα δυϊκά Χοτζ των $\mathbf {I}$ και $\mathbf {K} ^{2}$ είναι μηδενικά και $\mathbf {K} ^{*}=-\mathbf {k}$.

Δημοσιεύσεις

• Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530. 
• Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0 
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 44, Berlin: Springer, ISBN 3-540-61786-8, https://archive.org/details/finitegeometries0000demb 
• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Μαΐου 2022. Ανακτήθηκε στις 17 Απριλίου 2022. 
• Berlinski, David (2011). A Tour of the Calculus. Knopf Doubleday Publishing Group. ISBN 9780307789730. 
• Alsina, C.· Nelsen, R. B. (2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. Mathematical Association of America. ISBN 978-1-61444-216-5. 
• Bottema, O. (1969). «A Theorem of Bobillier on the Tetrahedron». Elemente der Mathematik 24: 6–10. 
• Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55432-9. 
• Cundy, H. Martyn (1952). «Deltahedra». Mathematical Gazette 36: 263–266. doi:10.2307/3608204. 
• Eggleston, H. G. (2007) [1957]. Problems in Euclidean Space: Applications of Convexity. Dover Publications. σελίδες 149–160. ISBN 978-0-486-45846-5. 
• Chandran, Sharat; Mount, David M. (1992). «A parallel algorithm for enclosed and enclosing triangles». International Journal of Computational Geometry & Applications 2 (2): 191–214. doi:10.1142/S0218195992000123. . 
• Johan E. Mebius, Derivation of the Euler-Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations., arXiv General Mathematics 2007.
• For another descriptive example see: http://chrishecker.com/Rigid_Body_Dynamics#Physics_Articles, Chris Hecker, physics section, part 4. "The Third Dimension" – on page 3, section ``Axis and Angle, http://chrishecker.com/images/b/bb/Gdmphys4.pdf
• Weisstein, Eric W., "Rodrigues' Rotation Formula" από το MathWorld.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Διανυσματική προβολή
• Διαβήτης (όργανο)
• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Λέοναρντ Όιλερ
• Ευθεία του Όιλερ
• Εσωτερικό γινόμενο
• Πίνακας περιστροφής
• Διανυσματική προβολή
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and .., page 342
• Rotation Transforms for Computer Graphics, page 139
• Reconstruction of Specular Reflective Surfaces Using Auto-Calibrating ... page 14...
• Vision: 4th International Workshop, ICVW 2008, Santorini, Greece ..., page 30
• Flexible Multibody Dynamics -Rodrigues' rotation formula, page 191..
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Leonhard Euler, "Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares memorabile", Commentatio 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. Acad. Sci. Petropolitanae 15 (1770), 75–106.
• Olinde Rodrigues, "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendants des causes qui peuvent les produire", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 5 (1840), 380–440. online.
• Friedberg, Richard (2022). "Rodrigues, Olinde: "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un systéme solide...", translation and commentary". arXiv:2211.07787.
• Don Koks, (2006) Explorations in Mathematical Physics, Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 0-387-30943-8. Ch.4, pps 147 et seq. A Roundabout Route to Geometric Algebra