Faktoriál

V matematice je faktoriál čísla n (značeno pomocí vykřičníku: n!) číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n, pokud je n kladné, a rovno 1 pro n = 0. Značení n! vyslovujeme jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808. Faktoriál n je roven počtu permutací n-prvkové množiny.

Definice

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
15	1307674368000
20	2432902008176640000
25	15511210043330985984000000
50	3,04140932…×10⁶⁴
70	1,19785717…×10¹⁰⁰
100	9,3326215444×10¹⁵⁷
171	1,2410180702×10³⁰⁹
450	1,73336873…×10¹⁰⁰⁰
1 000	4,0238726008×10^2,567
3249	6,41233768…×10¹⁰⁰⁰⁰
25206	1,205703438…×10¹⁰⁰⁰⁰⁰
47176	8,4485731495…×10²⁰⁰⁰⁰¹
100000	2,8242294079…×10⁴⁵⁶⁵⁷³
200000	1,42022534547…×10⁹⁷³³⁵⁰
205 023	2.5038989317×10^1,000,004
300000	1,477391531738…×10^1512851
1000000	8,2639316883…×10^5565708
1,0248383838×10⁹⁸	10^{1,0000000000×10¹⁰⁰}
1×10¹⁰⁰	10^{9,9565705518×10¹⁰¹}
1,7976931349×10³⁰⁸	10^{5,5336665775×10³¹⁰}

Faktoriál je formálně definován takto:

n!=1\cdot 2\cdot \,\dotsb \,\cdot n=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{pro }}n>0

Například:

5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120

Pro případ prázdného součinu platí, že

0!=1

Rekurzivní výpočet

Faktoriál lze také definovat rekurzivně:

(n+1)!=(n+1)\cdot n!\

Zobecnění pro komplexní čísla

Zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel je gama funkce, používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve statistice:

z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt

Ačkoliv uvedený integrál konverguje pouze pro $\operatorname {Re} \,z>-1$ , lze zobecněný faktoriál holomorfně rozšířit na celou komplexní rovinu kromě celých záporných čísel.

Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná:^[1]

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …

Využití

Faktoriály se hojně vyskytují v kombinatorice. Faktoriál čísla n udává počet permutací množiny n prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit n různých objektů.

Pomocí faktoriálů lze také spočítat kombinační číslo:

{n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}

Vlastnosti

Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká n lze vypočítat Stirlingovým vzorcem:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také dvojitý faktoriál, značený n!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako

n!!={\begin{cases}1,&&{\mbox{pro }}n=0{\mbox{ nebo }}n=1,\\n(n-2)!!&&{\mbox{pro }}n\geq 2.\end{cases}}

Například $8!!=8\cdot 6\cdot 4\cdot 2=384$ , nebo $9!!=9\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=945$ .

Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2… začíná:^[2]

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, …

Také dvojitý faktoriál je spojen s gama funkcí, např.

\Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}{(2n-1)!! \over 2^{n}}

Dvojitý faktoriál lze dále zobecnit na záporná lichá čísla (toto není možné u běžného faktoriálu, který při zobecnění na gama funkci pro záporná čísla diverguje). Můžeme tak učinit inverzí rekurentního vztahu:

n!!=n\cdot (n-2)!!\implies (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}.

Platí tak $\textstyle (-1)!!=1,(-3)!!=-1,(-5)!!={\frac {1}{3}},$ atd.

Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atd. (obecně n!^(k)).

Výpočet v informatice

Rekurzivní definice je často užívána i v programování, protože vede na jednoduchý zápis algoritmu využívající rekurzivní volání funkce. Takový výpočet však je z hlediska náročnosti na systémové prostředky (velikost zásobníku) velmi nevhodný (takový počítačový program lze použít jen pro malá čísla, protože obvykle dojde paměť pro zásobník). Proto je vhodnější místo rekurze použít cyklus.

Odkazy

Reference

↑ Posloupnost A000142 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
↑ Posloupnost A006882 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Související články

Taylorova řada

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu faktoriál na Wikimedia Commons
Faktoriál v encyklopedii MathWorld
Online výpočet faktoriálu až 40000! na všechna platná místa

[1] Posloupnost A000142 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

[2] Posloupnost A006882 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

[1]

[2]