Grup ruang

Grup ruang sebuah kristal adalah deskripsi matematis dari simetri dalam struktur. Kata 'grup' dalam istilah ini berasal dari istilah matematika grup, yang digunakan untuk membangun set grup ruang.

Elemen

Grup ruang dalam tiga dimensi tersusun dari kombinasi 32 grup titik kristalografi dengan 14 kisi Bravais, yang masing-masing termasuk dalam salah satu dari 7 sistem kisi. Artinya, aksi dari setiap elemen suatu grup ruang tertentu dapat dinyatakan sebagai aksi dari elemen grup titik yang sesuai, yang kemudian dapat diikuti dengan translasi. Dengan demikian, sebuah grup ruang merupakan suatu kombinasi dari simetri translasi sel unit (termasuk pemusatan kisi), operasi simetri grup titik berupa pencerminan, rotasi dan rotasi tak wajar (disebut juga roto-inversi), serta operasi simetri berupa sumbu ulir dan bidang luncur. Kombinasi dari semua operasi simetri ini menghasilkan total 230 grup ruang berbeda yang mendeskripsikan semua kemungkinan simetri kristal.

Jumlah replika unit asimetrik dalam sebuah sel unit adalah hasil kali jumlah titik kisi dalam sel dengan orde grup titik. Jumlah ini berkisar dari 1 dalam kasus grup ruang P1 hingga 192 untuk grup ruang seperti Fm3m, yaitu struktur NaCl.

Elemen yang Memfiksasi Sebuah Titik

Elemen-elemen dari grup ruang yang memfiksasi suatu titik dalam ruang adalah elemen identitas, pencerminan, rotasi, dan rotasi tak wajar, termasuk titik inversi.

Translasi

Translasi membentuk subgrup abelian normal berrank 3, yang disebut kisi Bravais (dinamai menurut fisikawan Prancis Auguste Bravais). Ada 14 kemungkinan jenis kisi Bravais. Grup hasil bagi dari grup ruang oleh kisi Bravais adalah grup berhingga yang merupakan salah satu dari 32 grup titik yang mungkin.

Bidang geser

Bidang geser adalah pencerminan terhadap suatu bidang, yang diikuti oleh translasi sejajar dengan bidang tersebut. Hal ini dinotasikan dengan $a$, $b$, atau $c$, tergantung pada sumbu mana luncuran itu berada. Ada juga luncuran $n$, yaitu luncuran sepanjang setengah dari diagonal suatu sisi, dan luncuran $d$, yaitu luncuran seperempat jarak baik sepanjang diagonal sisi atau diagonal ruang dari sel unit. Yang terakhir ini disebut bidang luncur intan karena muncul dalam struktur intan. Dalam 17 grup ruang, akibat pemusatan sel, luncuran terjadi secara bersamaan dalam dua arah tegak lurus, yaitu bidang luncur yang sama dapat disebut b atau c, a atau b, a atau c. Sebagai contoh, grup Abm2 dapat juga disebut Acm2, grup Ccca dapat disebut Cccb. Pada tahun 1992, diusulkan untuk menggunakan simbol e untuk bidang-bidang tersebut. Simbol untuk lima grup ruang telah dimodifikasi:

No. grup ruang	39	41	64	67	68
Simbol baru	Aem2	Aea2	Cmce	Cmme	Ccce
Simbol lama	Abm2	Aba2	Cmca	Cmma	Ccca

Sumbu Ulir

Sumbu ulir adalah rotasi terhadap suatu sumbu, yang diikuti oleh translasi sepanjang arah sumbu tersebut. Hal ini dinotasikan dengan angka, n, untuk menyatakan derajat rotasi, di mana angka tersebut menunjukkan berapa banyak operasi yang harus dilakukan untuk menyelesaikan satu putaran penuh (misalnya, 3 berarti rotasi sepertiga putaran setiap kali). Derajat translasi kemudian ditambahkan sebagai subskrip yang menunjukkan seberapa jauh translasi sepanjang sumbu, sebagai bagian dari vektor kisi paralel. Jadi, 2₁ adalah rotasi dua kali lipat yang diikuti oleh translasi sebesar 1/2 dari vektor kisi.

Rumus Umum

Rumus umum untuk aksi suatu elemen dari grup ruang adalah

y = M.x + D

di mana M adalah matriksnya, D adalah vektornya, dan di mana elemen tersebut mentransformasikan titik x menjadi titik y. Secara umum, D = D (kisi) + D(M), di mana D(M) adalah fungsi unik dari M yang bernilai nol untuk M sebagai identitas. Matriks M membentuk sebuah grup titik yang menjadi basis dari grup ruang; kisi harus simetris terhadap grup titik tersebut, tetapi struktur kristal itu sendiri mungkin tidak simetris terhadap grup titik tersebut jika diterapkan pada sembarang titik tertentu (yaitu, tanpa translasi). Sebagai contoh, struktur intan kubik tidak memiliki titik di mana grup titik kubik berlaku.

Dimensi kisi dapat lebih kecil dari dimensi keseluruhan, sehingga menghasilkan grup ruang "subperiodik". Untuk (dimensi keseluruhan, dimensi kisi):

· (1,1): Grup garis satu dimensi · (2,1): Grup garis dua dimensi: grup dekorasi · (2,2): Grup kertas dinding · (3,1): Grup garis tiga dimensi; dengan grup titik kristalografi 3D, disebut grup batang · (3,2): Grup lapisan · (3,3): Grup ruang yang dibahas dalam artikel ini

Kiralitas

65 grup ruang "Sohncke", yang tidak mengandung bidang cermin, titik inversi, rotasi tak wajar, atau bidang luncur, menghasilkan kristal kiral, yang tidak identik dengan bayangan cerminnya; sedangkan grup ruang yang mengandung setidaknya satu dari elemen-elemen tersebut menghasilkan kristal akiral. Molekul akiral terkadang membentuk kristal kiral, tetapi molekul kiral selalu membentuk kristal kiral, dalam salah satu grup ruang yang mengizinkan hal ini.

Di antara 65 grup Sohncke, terdapat 22 grup yang membentuk 11 pasangan enantiomorfik.

Kombinasi

Hanya kombinasi tertentu dari elemen simetri yang mungkin ada dalam suatu grup ruang. Translasi selalu ada, dan grup ruang P1 hanya memiliki translasi dan elemen identitas. Keberadaan bidang cermin mengimplikasikan adanya bidang luncur juga, dan keberadaan sumbu rotasi mengimplikasikan adanya sumbu ulir juga, tetapi kebalikannya tidak selalu benar. Sebuah titik inversi dan bidang cermin mengimplikasikan adanya sumbu ulir dua kali lipat, dan seterusnya.

.

Referensi

• Barlow, W (1894), "Über die geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle" [On the geometric properties of rigid structures and their application to crystals], Zeitschrift für Kristallographie, 23: 1–63, doi:10.1524/zkri.1894.23.1.1, S2CID 102301331, diarsipkan dari asli tanggal 2023-04-18, diakses tanggal 2021-05-11
• Bieberbach, Ludwig (1911), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume" [On the groups of rigid transformations in Euclidean spaces], Mathematische Annalen, 70 (3): 297–336, doi:10.1007/BF01564500, ISSN 0025-5831, S2CID 124429194
• Bieberbach, Ludwig (1912), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich" [On the groups of rigid transformations in Euclidean spaces (Second essay.) Groups with a finite fundamental domain], Mathematische Annalen, 72 (3): 400–412, doi:10.1007/BF01456724, ISSN 0025-5831, S2CID 119472023, diarsipkan dari asli tanggal 2023-04-18, diakses tanggal 2021-05-11
• Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans (1978), Crystallographic groups of four-dimensional space, New York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179
• Burckhardt, Johann Jakob (1947), Die Bewegungsgruppen der Kristallographie [Groups of Rigid Transformations in Crystallography], Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften (Textbooks and Monographs from the Fields of the Exact Sciences), vol. 13, Verlag Birkhäuser, Basel, MR 0020553
• Burckhardt, Johann Jakob (1967), "Zur Geschichte der Entdeckung der 230 Raumgruppen" [On the history of the discovery of the 230 space groups], Archive for History of Exact Sciences, 4 (3): 235–246, doi:10.1007/BF00412962, ISSN 0003-9519, MR 0220837, S2CID 121994079
• Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), "On three-dimensional space groups", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475–507, ISSN 0138-4821, MR 1865535, diarsipkan dari asli tanggal 2021-04-18, diakses tanggal 2021-05-11
• Fedorov, E. S. (1891), "Симметрія правильныхъ системъ фигуръ" [Simmetriya pravil'nykh sistem figur, The symmetry of regular systems of figures], Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического Общества (Zapiski Imperatorskova Sankt Petersburgskova Mineralogicheskova Obshchestva, Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society), 2nd series, 28 (2): 1–146, diarsipkan dari asli tanggal 2023-04-15, diakses tanggal 2021-05-11
• Fedorov, E. S. (1971), Symmetry of crystals, ACA Monograph, vol. 7, American Crystallographic Association
• Hahn, Th. (2002), Hahn, Theo (ed.), International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry, International Tables for Crystallography, vol. A (Edisi 5th), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1107/97809553602060000100, ISBN 978-0-7923-6590-7, diarsipkan dari asli tanggal 2021-04-28, diakses tanggal 2021-05-11
• Hall, S.R. (1981), "Space-Group Notation with an Explicit Origin", Acta Crystallographica A, 37 (4): 517–525, Bibcode:1981AcCrA..37..517H, doi:10.1107/s0567739481001228
• Janssen, T.; Birman, J.L.; Dénoyer, F.; Koptsik, V.A.; Verger-Gaugry, J.L.; Weigel, D.; Yamamoto, A.; Abrahams, S.C.; Kopsky, V. (2002), "Report of a Subcommittee on the Nomenclature of n-Dimensional Crystallography. II. Symbols for arithmetic crystal classes, Bravais classes and space groups", Acta Crystallographica A, 58 (Pt 6): 605–621, doi:10.1107/S010876730201379X, PMID 12388880
• Kim, Shoon K. (1999), Group theoretical methods and applications to molecules and crystals, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511534867, ISBN 978-0-521-64062-6, MR 1713786, S2CID 117849701, diarsipkan dari asli tanggal 2023-08-09, diakses tanggal 2021-05-11
• Litvin, D.B. (May 2008), "Tables of crystallographic properties of magnetic space groups", Acta Crystallographica A, 64 (Pt 3): 419–24, Bibcode:2008AcCrA..64..419L, doi:10.1107/S010876730800768X, PMID 18421131
• Litvin, D.B. (May 2005), "Tables of properties of magnetic subperiodic groups" (PDF), Acta Crystallographica A, 61 (Pt 3): 382–5, Bibcode:2005AcCrA..61..382L, doi:10.1107/S010876730500406X, PMID 15846043, diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2017-08-10, diakses tanggal 2021-05-11
• Neubüser, J.; Souvignier, B.; Wondratschek, H. (2002), "Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space by Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons]", Acta Crystallographica A, 58 (Pt 3): 301, doi:10.1107/S0108767302001368, PMID 11961294
• Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Crystallographica A, 54 (Pt 5): 517–531, doi:10.1107/S010876739701547X
• Palistrant, A. F. (2012), "Complete Scheme of Four-Dimensional Crystallographic Symmetry Groups", Crystallography Reports, 57 (4): 471–477, Bibcode:2012CryRp..57..471P, doi:10.1134/S1063774512040104, S2CID 95680790
• Plesken, Wilhelm; Hanrath, W (1984), "The lattices of six-dimensional space", Math. Comp., 43 (168): 573–587, doi:10.1090/s0025-5718-1984-0758205-5
• Plesken, Wilhelm; Schulz, Tilman (2000), "Counting crystallographic groups in low dimensions", Experimental Mathematics, 9 (3): 407–411, doi:10.1080/10586458.2000.10504417, ISSN 1058-6458, MR 1795312, S2CID 40588234, diarsipkan dari asli tanggal 2021-04-18, diakses tanggal 2021-05-11
• Schönflies, Arthur Moritz (1923), "Theorie der Kristallstruktur" [Theory of Crystal Structure], Gebrüder Bornträger, Berlin.
• Souvignier, Bernd (2006), "The four-dimensional magnetic point and space groups", Zeitschrift für Kristallographie, 221: 77–82, Bibcode:2006ZK....221...77S, doi:10.1524/zkri.2006.221.1.77, S2CID 99946564
• Templat:Eom
• Zassenhaus, Hans (1948), "Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen" [On an algorithm for the determination of space groups], Commentarii Mathematici Helvetici, 21: 117–141, doi:10.1007/BF02568029, ISSN 0010-2571, MR 0024424, S2CID 120651709, diarsipkan dari asli tanggal 2012-11-28, diakses tanggal 2021-05-11
• Souvignier, Bernd (2003), "Enantiomorphism of crystallographic groups in higher dimensions with results in dimensions up to 6", Acta Crystallographica A, 59 (3): 210–220, doi:10.1107/S0108767303004161, PMID 12714771