Rengas (matematiikka)

Rengas on keskeinen algebrassa käytetty matemaattinen käsite. Rengas on joukko, jossa on määritelty kaksi laskutoimitusta, joita sanotaan yhteen- ja kertolaskuksi, ja joille pätee:

1. yhteenlaskun suhteen se on Abelin ryhmä
2. kertolasku on liitännäinen
3. kertolaskulla on neutraalialkio
4. on voimassa osittelulait: kaikille renkaan alkioille a, b ja c pätee: $a(b+c)=ab+acja(a+b)c=ac+bc$.

Renkaissa yhteenlaskulle käytetään yleensä merkintää $a+b$, kertolaskulle $a\cdot b$ tai $ab$ ja kertolaskun neutraalialkiolle merkintää "1".

Pseudorengas määritellään kuten rengas, mutta ei edellytetä, että kertolaskulla on oltava neutraalialkio. Tältä osin terminologia ei kuitenkaan ole täysin vakiintunut. Joissakin teoksissa renkaiksi katsotaan myös pseudorenkaat, joissa tällaista neutraalialkiota ei ole. Siinä tapauksessa renkaita, joissa tällainen neutraalialkio on, sanotaan ykkösellisiksi renkaiksi. Tässä jäljempänä renkailla tarkoitetaan vain tallaisia ykkösellisiä renkaita.

Kuntia ovat ne renkaat, joissa kertolaskukin on kommutatiivinen (vaihdannainen, $a\cdot b=b\cdot a$) ja joissa jokaisella $a\neq 0$ on käänteisalkio $b$ (jolla $a\cdot b=1$) ja $0\neq 1$ (eli nollarengasta $\{0\}$ ei määritellä kunnaksi, vaikka sekin on nuo muut ehdot täyttävä rengas).

Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):

Rngas eli pseudorengas ⊃ rengas ⊃ kommutatiivinen rengas ⊃ kokonaisalue ⊃ faktoriaalinen kokonaisalue ⊃ pääideaalialue ⊃ euklidinen alue ⊃ kunta ⊃ Algebrallisesti suljettu kunta

Esimerkkejä

Kunnat, kuten rationaaliluvut ℚ, reaaliluvut ℝ ja kompleksiluvut ℂ, ovat kommutatiivisia renkaita. Seuraavassa on esimerkkejä renkaista, jotka eivät ole kuntia.

Kokonaislukujen joukko $\mathbb {Z}$ on kommutatiivinen rengas (muttei kunta, koska vain ykkösellä on käänteisalkio joukossa $\mathbb {Z}$).

Neliömatriisien joukko (matriisitulolla) on rengas muttei kommutatiivinen, jos matriisissa on enemmän kuin yksi rivi. Tämä on totta silloinkin, jos ei puhuta reaalilukujen matriiseista vaan jonkin muun renkaan $R$ alkioiden muodostamista matriiseista (paitsi jos renkaassa $R$ on pelkkä nolla-alkio, jolloin neliömatriisien joukko $R^{n\times n}$ on kommutatiivinen).

Jos $R$ on kommutatiivinen rengas (esimerkiksi reaalilukujen joukko $\mathbb {R}$), niin kaikkien $R$-kertoimisten yhden muuttujan polynomien joukko

$R[x]=\left\{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}$

on kommutatiivinen rengas, samoin jopa $m$ eri muuttujan polynomien joukko. Vain vakioilla on käänteisalkio renkaassa $R$, koska polynomin $pq$ asteluku on vähintään polynomin $q$ asteluku, kun $p,q\in R$, eli se ei voi olla neutraalialkion $1$ asteluku 0, jos $q$:n asteluku on positiviinen.

Kokonaisluvut modulo 4

Pääartikkeli: Modulaarinen aritmetiikka

Joukko $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ (sitä voi ajatella joukkona $\{0,1,2,3\}$ siten, että laskujen tuloksista otetaan jakojäännös $4$:llä) varustettuna alla mainituilla operaatioilla on kommuntatiivinen rengas:

• Summa ${\overline {x}}+{\overline {y}}$ on jakojäännös, kun luku $x+y$ jaetaan luvulla $4$. Esimerkiksi ${\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}$ ja ${\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.$
• Tulo ${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$ on jakojäännös, kun luku $xy$ jaetaan luvulla $4$. Esimerkiksi ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}$ ja ${\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.$

Luku ${\overline {1}}$ on kertolaskun neutraalialkio (koska ${\overline {1}}\cdot {\overline {x}}={\overline {x}}$ kaikilla ${\overline {x}}$) ja luvun ${\overline {3}}$ käänteisalkio ${\overline {3}}^{-1}$ on ${\overline {3}}$ (koska ${\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}$), mutta luvulla ${\overline {2}}$ ei ole käänteisalkiota, koska kerrottaessa sitä jollain luvulla tuloksena on aina ${\overline {2}}$ tai ${\overline {0}}$, ei ${\overline {1}}$. Tämä rengas ei siis ole kunta.

Määritelmä

Ryhmä $R$ on rengas binääristen operaatioiden $+$ ja $\cdot$ suhteen (merkitään $(R,+,\cdot )$) kun se toteuttaa seuraavat ehdot:

1. $\forall a,b\in R:a+b\in R$,
2. $\forall a,b\in R:a\cdot b\in R$,
3. $\forall a,b,c\in R:(a+b)+c=a+(b+c)$,
4. $\forall a,b,c\in R:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$,
5. $\exists 0\in R:\forall a\in R:a+0=a=0+a$,
6. $\exists 1\in R:\forall a\in R:1\cdot a=a=a\cdot 1$,
7. $\forall a\in R:\exists (-a)\in R:a+(-a)=0=(-a)+a$,
8. $\forall a,b\in R:a+b=b+a$,
9. $\forall a,b,c\in R:a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
10. $\forall a,b,c\in R:(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.

Toisin sanoen

1. $R$ on Abelin ryhmä operaation $+$ suhteen (1, 3, 5, 7, 8).
2. $R$ on monoidi operaation $\cdot$ suhteen (2, 4, 6).
3. operaatio $\cdot$ on distributiivinen (9, 10).

Jos $\cdot$ on kommutatiivinen, $R$ on kommutatiivinen rengas.

Rengas on siis monoidia ja ryhmää monimutkaisempi rakenne jo siinä mielessä, että se yhdistää kaksi operaatiota. Näin rengas eroaa olennaisesti suorasta tulosta.

Kannattaa huomata, etteivät edellä merkityt $+$, $\cdot$, $1$ ja $0$ eivät tarkoita lukujen yhteen- tai kertolaskua, tai lukuja 1 tai 0, vaan joukossa käytettäviä operaattoreita ja joukon alkioita. Tosin lukurenkaista puhuttaessa nämä ovat usein yhteneviä.

Kuten muillekin algebrallisille struktuureille, renkaiden välille voidaan määritellä rakenteen säilyttävä kuvaus eli homomorfismi.

Esimerkkejä:

1. Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen. Kannattaa huomata, että vaikka luvuilla onkin yhteenlaskun suhteen käänteisalkio, kertolaskun suhteen sitä ei ole.
2. Kompleksilukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen.
3. Imaginaarilukujen joukko ei yksinään voi muodostaa rengasta, jossa on kertolasku, sillä kertolaskun yksikköalkio on luku 1, eikä se kuulu imaginaarilukujen joukkoon. Lisäksi imaginaarilukujen joukko ei ole kertolaskun suhteen suljettu.

Kääntyvät alkiot ja nollanjakajat

Renkaan $R$ alkio $u$ on kääntyvä eli säännöllinen, jos on olemassa sellainen ryhmän $(R,+,\cdot )$:n alkio $u^{-1}$, että $uu^{-1}=u^{-1}u=1$; silloin tätä alkiota u kutsutaan yleisesti yksiköksi. $R$:n kääntyvien alkioiden joukosta, eli yksikköryhmästä, käytetään merkintää $R^{*}$. $(R^{*},\cdot )$ on ryhmä, mikä todistetaan seuraavasti:

1. Koska $1\cdot 1=1$, kääntyvien alkioiden joukko ei ole tyhjä.
2. $R^{*}$:n ykkösalkio on $1$.
3. Oletetaan, että $a,b\in R^{*}$. Tällöin $(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=a\cdot 1\cdot a^{-1}=1$, joten kääntyvien alkioiden joukko on suljettu kertolaskun suhteen.
4. $R^{*}$ on assosiatiivinen, koska $R$ on assosiatiivinen $\cdot$:n suhteen.

Nollasta poikkeavaa alkiota $a\in R$ sanotaan nollanjakajaksi, jos on nollasta poikkeava $b\in R$, jolle $ab=0$. Tällöin tietysti myös $b$ on nollanjakaja. Kommutatiivista rengasta, jossa ei ole nollanjakajia, sanotaan kokonaisalueeksi.

Renkaan alkioista kääntyvät alkiot käyttäytyvät yleensä kaikkein säännöllisimmin, kun taas nollanjakajat vaikeuttavat tarkastelua. Erityisesti supistamissääntö $ab=ac\Rightarrow b=c$ on voimassa vain, jos $a$ ei ole nollanjakaja. Tästä seuraa muun muassa se, että astetta n olevalla polynomilla, jonka kertoimet ovat $R$:n alkioita, voi olla enemmän kuin n juurta, jos ryhmässä $R$ on nollanjakajia.

Voidaan todistaa, että jos $1=0$, niin $R=\{0\}$ eli renkaassa ei ole muita alkioita kuin $0$. Yleensä (ei aina) kunnat määritellään niin, että tämä "nollarengas" ei ole kunta.

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0