Put-call parity

Il Put-call parity è un'importante relazione tra il prezzo di un'opzione call e di un'opzione put. Questa relazione stabilisce che la differenza tra il prezzo di una opzione call ed il prezzo di una opzione put è uguale alla differenza tra il prezzo attuale del sottostante ed il valore attuale dello strike price delle opzioni.

La formula Put-Call Parity è la seguente:

$C_{t}-P_{t}=S_{t}-KV(t,T)$

Dove:

• $V(t,T)=e^{-r(T-t)}$ ed indica il valore attuale al tempo $t$, di un euro scadente al tempo $T$, utilizzando la capitalizzazione istantanea;
• $C_{t}$ è il costo della opzione call al tempo t;
• $P_{t}$ è il costo della opzione put al tempo t;
• $S_{t}$ è il prezzo del titolo sottostante le opzioni al tempo t;
• $K$ è il prezzo di esercizio delle opzioni put e call a scadenza.

Dimostrazione

Opzione di Tipo europeo e sottostante senza dividendi

Consideriamo le seguenti ipotesi di partenza:

• Opzioni di tipo europeo;
• Azione senza dividendo.

Vengono poste in essere due strategie tramite due portafogli:

1. Portafoglio A: Acquisto di una Call e vendita di una Put (alla stessa scadenza)
2. Portafoglio B: Acquisto di un titolo azionario e prestito di un ammontare pari allo strike price $K$ (stessa scadenza delle opzioni).

Riprendendo la formula di Put-call parity $C_{t}-P_{t}=S_{t}-KV(t,T)$, si può notare come la strategia del portafoglio A ha un costo determinato dal lato sinistro dell'equazione, mentre il portafoglio B ha un costo pari al lato destro dell'equazione. Le due strategie a scadenza producono il medesimo risultato, infatti:

1. Se $S_{T}<K$, cioè il prezzo dell'azione alla scadenza $T$, è inferiore allo strike price $K$ allora l'opzione call non verrà esercitata e l'opzione put ci obbliga ad acquistare il titolo al prezzo $K$ con una perdita pari a $S_{T}-K$, il portafoglio B porta come risultato anch'esso $S_{T}-K$;
2. Se $S_{T}>K$, cioè il prezzo dell'azione alla scadenza $T$, è superiore allo strike price $K$ allora si eserciterà l'opzione call e si abbandona l'opzione put, l'esercizio dell'opzione call ci fa entrare in possesso del titolo al prezzo $K$ con un utile pari a $S_{T}-K$, il portafoglio B porta come risultato sempre $S_{T}-K$;

Dato che i due portafogli conducono allo stesso risultato finale, allora (per evitare operazioni di arbitraggio) devono avere anche il medesimo costo in ogni tempo antecedente la scadenza $T$, questo ci porta a dimostrare che la differenza del costo di acquisto di un'opzione call e di un'opzione put è uguale al valore attuale della differenza tra il sottostante e il prezzo di esercizio delle opzioni (strike price).

Opzione di Tipo Americano e sottostante senza dividendi

Nelle opzioni di tipo americano bisogna tenere conto della possibilità data dal contratto di essere esercitato prima della scadenza, quindi può avere un valore superiore a quello indicato nella dimostrazione precedente

La formula Put-call parity è data da:

$S_{t}-K<C_{t}-P_{t}<S_{t}-KV(t,T)$

Opzione che ha un sottostante con dividendi

• Per le opzioni europee la formula diventa: $C-P=S_{0}-KV(t,T)-D$
• Per le opzioni americane la formula diventa: $S_{0}-D-K<C-P<S_{0}-KV(t,T)$

dove $D$ è il valore attuale dei dividendi pagati dal sottostante. Nel caso in cui il sottostante paghi un tasso di dividendi $d$ continuo nel tempo, si può modificare il termine $D$ sovrastante come $S_{0}(1-e^{-d(T-t)})$. In particolare, per opzioni europee con maturità $T$ valutate al tempo $t$ generico avremo la seguente uguaglianza: $C_{t}-P_{t}=S_{t}e^{-d(T-t)}-Ke^{-r(T-t)}$.

Bibliografia

• John C. Hull, Opzioni, futures e altri derivati, Pubblicato da Pearson Paravia Bruno Mondad, 2006 ISBN 88-7192-288-3
• Mario Onorato, Gli strumenti derivati, Pubblicato da ETASLIBRI, 1998 ISBN 88-453-0912-6
• Weiyu Guo e Tie Su, Option Put-Call Parity Relations When the Underlying Security Pays Dividends,

Collegamenti esterni

• interessante tool su opzioni:Option Arbitrage Relations , Prof. Campbell R. Harvey
• Arbitrage Relationships for Options Archiviato il 2 dicembre 2020 in Internet Archive., Prof. Thayer Watkins
• Rational Rules and Boundary Conditions for Option Pricing Archiviato il 28 febbraio 2013 in Internet Archive. (PDFDi), Prof. Don M. Chance