사각형

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여러 가지 사각형. 왼쪽 위부터 가로로 정사각형, 마름모, 직사각형, 사다리꼴, 평행사변형, 오목 사각형이다.

기하학에서 사각형(四角形, 영어: quadrilateral)은 네 개의 선분으로 둘러싸인 평면도형이다. 이 선분을 변이라고 하고, 이웃한 두 변이 만나는 점을 꼭짓점이라고 한다. 변과 꼭짓점이 각각 네 개인 다각형이며, 사변형(四邊形)이라고도 한다. 직사각형, 정사각형, 평행사변형, 마름모, 사다리꼴 등이 사각형에 속한다.

변이 서로 가로지르지 않는 사각형의 네 내각의 합은 $360^{\circ }$이다. 사각형의 성질은 변의 길이, 각의 크기, 마주 보는 변의 평행 여부 등에 따라 달라진다. 이들 조건에 따른 분류는 서로 겹칠 수 있다. 예를 들어 정사각형은 네 각이 모두 직각이므로 직사각형이면서, 네 변의 길이가 모두 같으므로 마름모이기도 하다.

사각형의 두 대각선은 이웃하지 않은 꼭짓점을 잇는다. 대각선을 그어 사각형을 삼각형으로 나누면 내각의 합이나 넓이를 구할 수 있고, 대각선의 길이와 교차하는 방식으로 사각형의 종류를 판별할 수도 있다. 변이 서로 가로지르지 않는 사각형에서는 네 변의 중점을 차례로 이으면 평행사변형이 된다. 이를 바리뇽 정리라고 한다.

정의와 표기

평면 위의 네 점 $A,B,C,D$를 네 선분 $AB,BC,CD,DA$로 차례로 이어 둘러싼 도형을 사각형 $ABCD$라고 한다. $\square ABCD$로 쓰기도 한다.

사각형의 꼭짓점 $A,B,C,D$, 네 내각 $\angle A,\angle B,\angle C,\angle D$와 변의 길이 $a=AB,b=BC,c=CD,d=DA$.

네 점은 사각형의 꼭짓점, 네 선분은 변이다. 이름에 쓰는 꼭짓점은 둘레를 따라 차례로 나열한다. 따라서 $ABCD$와 $BCDA$, $ADCB$는 같은 사각형을 나타내지만, 꼭짓점의 순서를 임의로 바꾸면 서로 다른 선분을 잇게 된다. 보통 네 꼭짓점은 서로 다르고, 이웃한 두 변은 한 직선 위에 놓이지 않는다고 가정한다. 사각형이라는 말은 네 변으로 이루어진 경계만을 가리키기도 하고, 그 경계와 내부를 함께 가리키기도 한다.

사각형 $ABCD$에서 $AB$와 $BC$처럼 꼭짓점 하나를 공유하는 두 변은 이웃한 변이다. 반면 $AB$와 $CD$, $BC$와 $DA$는 서로 마주 보는 두 변으로, 서로의 대변이다. 마주 보는 두 내각은 서로 대각이다. 대각은 각을 가리키는 말로, 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 잇는 선분인 대각선과 구별한다. 사각형의 대각선은 $AC$와 $BD$, 두 개이다.

볼록 사각형에서 꼭짓점 $A$의 내각은 각 기호 $\angle$를 붙여 $\angle DAB$ 또는 $\angle BAD$로 나타낸다. 세 글자 가운데에 각의 꼭짓점을 쓰며, 어느 각인지 분명하면 $\angle A$로 줄여 쓸 수 있다. $\angle A=90^{\circ }$처럼 같은 기호로 각의 크기를 나타내기도 한다.

이 문서에서는 특별한 언급이 없으면 유클리드 평면에서 변이 서로 가로지르지 않는 사각형을 다룬다. 변이 교차하는 경우는 다음 절에서 따로 구별한다.

분류

볼록 사각형과 오목 사각형

 볼록 다각형, 오목 다각형 및 단순 다각형 문서를 참고하십시오.

• 
  볼록 사각형. 네 내각이 모두 $180^{\circ }$보다 작다.
• 
  오목 사각형. 꼭짓점 $B$에서의 내각이 $180^{\circ }$보다 크다.
• 
  교차 사각형. 두 변이 꼭짓점 이외의 곳에서 만난다.

변이 꼭짓점 이외의 곳에서 만나지 않는 사각형을 단순 사각형이라고 한다. 단순 사각형은 안으로 들어간 꼭짓점이 있는지에 따라 볼록 사각형과 오목 사각형으로 나뉜다. 볼록 사각형의 네 내각은 모두 $180^{\circ }$보다 작다. 이 사각형의 내부나 경계에서 임의의 두 점을 잡으면, 두 점을 잇는 선분도 사각형 안에 놓인다. 오목 사각형에는 $180^{\circ }$보다 큰 내각이 하나 있으며, 앞의 성질을 만족하지 않는다.

꼭짓점을 잇는 순서에 따라 두 변이 중간에서 서로 가로지를 수도 있다. 이때 생기는 나비 모양의 도형을 교차 사각형이라고 한다. 교차 사각형까지 사각형에 포함하는 정의도 있지만, 이 경우에는 내부와 각을 어떻게 정할지 별도의 약속이 필요하다. 따라서 단순 사각형의 내각이나 넓이에 관한 성질을 그대로 적용해서는 안 된다.

변과 각에 따른 분류

 사다리꼴, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형, 등변사다리꼴 및 연꼴 문서를 참고하십시오.

평행한 변이나 길이가 같은 변, 직각 등의 조건을 더하면 다음과 같은 사각형을 얻는다. 아래에서는 평행한 대변이 적어도 한 쌍인 사각형을 사다리꼴이라고 하여 평행사변형도 사다리꼴에 포함한다. 이는 한국의 학교 수학에서 사용하는 분류이다.

주요 사각형의 정의

종류	그림	정의
사다리꼴		적어도 한 쌍의 대변이 평행한 사각형
평행사변형		두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형
직사각형		네 내각이 모두 직각인 사각형
마름모		네 변의 길이가 모두 같은 사각형
정사각형		네 변의 길이가 모두 같고 네 내각이 모두 직각인 사각형
등변사다리꼴		평행한 두 변을 밑변으로 잡았을 때, 한 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴
연꼴		네 변을 이웃한 두 변씩 두 쌍으로 나눌 수 있고, 각 쌍에서 두 변의 길이가 같은 사각형

이 분류는 한 사각형을 반드시 한 종류에만 넣는 방식이 아니다. 정사각형은 직사각형과 마름모에 모두 속하고, 직사각형과 마름모는 모두 평행사변형에 속한다. 또한 정사각형은 네 변의 길이와 네 각의 크기가 모두 같은 정다각형이다. 사각형을 돌려 놓아도 변의 길이나 각의 크기는 바뀌지 않으므로, 기울어진 정사각형도 여전히 정사각형이다.

등변사다리꼴의 두 밑각이 같으면 나머지 두 변의 길이도 같고, 두 대각선의 길이도 같다. 다만 사다리꼴에 평행사변형을 포함할 때에는 ‘나머지 두 변의 길이가 같다’는 조건만으로 등변사다리꼴을 정의할 수 없다. 일반적인 평행사변형도 그 조건을 만족하기 때문이다. 위 표의 각에 따른 정의에서는 직사각형이 등변사다리꼴에 포함된다.

연꼴을 마름모까지 포함하도록 정의할 수도 있고, 길이가 다른 두 쌍의 변을 가진 경우로 제한하기도 한다. 이 문서에서는 위 표처럼 마름모를 포함한다. 또 연꼴은 볼록할 수도, 한 꼭짓점이 안으로 들어간 오목한 모양일 수도 있으므로, 내접원 등 볼록성을 전제로 하는 성질은 볼록 연꼴에 한하여 적용한다.

기본 성질

내각의 합과 대각선

 내각과 외각 및 대각선 문서를 참고하십시오.

단순 사각형의 네 내각의 합은 $360^{\circ }$이다.

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }$

이는 사각형 안에 놓인 대각선을 그어 두 삼각형으로 나누면 알 수 있다. 두 삼각형의 내각을 합하면 사각형의 네 내각이 되고, 삼각형의 내각의 합은 각각 $180^{\circ }$이므로 전체는 $360^{\circ }$이다. 예를 들어 세 내각의 크기가 $80^{\circ },100^{\circ },110^{\circ }$이면 나머지 내각은 $70^{\circ }$이다.

볼록 사각형에서는 두 대각선 모두 끝점을 제외한 부분이 내부에 놓이며, 두 대각선은 내부의 한 점에서 만난다. 오목 사각형에서는 한 대각선만 내부에 놓이고, 다른 대각선은 끝점을 제외하면 외부에 놓인다. 오목 사각형에서도 내부의 대각선을 선택하면 두 삼각형으로 나눌 수 있으므로 내각의 합은 같다. 이때 안으로 들어간 꼭짓점의 내각은 $180^{\circ }$보다 큰 각으로 세어야 한다.

볼록 사각형에서 각 꼭짓점마다 한 변을 같은 방향으로 연장해 만든 외각을 하나씩 택하면, 네 외각의 합도 $360^{\circ }$이다. 각 내각과 이에 이웃한 외각의 합이 $180^{\circ }$이므로, 외각의 합은 $4\cdot 180^{\circ }-360^{\circ }=360^{\circ }$로 구할 수 있다.

평행사변형과 대각선의 성질

 이 부분의 본문은 평행사변형입니다.

평행사변형에서는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같고, 두 쌍의 대각의 크기도 각각 같다. 이웃한 두 내각의 합은 $180^{\circ }$이며, 두 대각선은 서로를 이등분한다. 예를 들어 두 대각선의 교점을 $O$라 하면 $AO=OC$, $BO=OD$이다. 이 성질들은 대각선으로 나뉜 삼각형의 합동과 평행선의 엇각을 이용해 증명할 수 있다.

반대로 단순 사각형에서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같거나, 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같거나, 두 대각선이 서로를 이등분하면 그 사각형은 평행사변형이다. 한 쌍의 대변이 평행하면서 길이도 같은 경우에도 평행사변형이다. 이처럼 정의와 동등한 조건을 이용하면 모든 변의 평행 여부를 따로 확인하지 않고도 사각형의 종류를 판별할 수 있다.

직사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 마름모의 두 대각선은 서로 수직이다. 두 도형은 모두 평행사변형이므로 대각선이 서로를 이등분한다는 성질도 가진다. 이를 함께 사용하면 다음과 같이 판별할 수 있다.

대각선을 이용한 사각형의 판별

사각형	그림	해당 사각형이 되기 위한 필요충분조건
평행사변형		두 대각선이 서로를 이등분한다.
직사각형		두 대각선이 서로를 이등분하고, 길이가 같다.
마름모		두 대각선이 서로를 이등분하고, 서로 수직이다.
정사각형		두 대각선이 서로를 이등분하고, 길이가 같으며, 서로 수직이다.

대각선의 길이가 같다는 조건 하나만으로는 직사각형이라고 할 수 없다. 직사각형이 아닌 등변사다리꼴도 대각선의 길이가 같기 때문이다. 마찬가지로 대각선이 수직이라는 조건만으로는 마름모라고 할 수 없으며, 마름모가 아닌 볼록 연꼴에서도 두 대각선은 수직이다.

변의 길이와 모양

 합동 (기하학) 및 닮음 (기하학) 문서를 참고하십시오.

삼각형은 세 변의 길이가 정해지면 서로 합동인 모양으로 정해지지만, 사각형은 네 변의 길이가 정해져도 모양이 달라질 수 있다. 예를 들어 한 변의 길이가 $1$인 정사각형과 한 내각이 $60^{\circ }$인 마름모는 네 변의 길이가 모두 $1$이지만 서로 합동이 아니다. 사각형의 모양을 정하려면 각이나 대각선 등에 관한 조건이 더 필요하다.

각의 크기만 같아도 닮음이 보장되지 않는다. 가로와 세로의 길이가 $2,1$인 직사각형과 $3,1$인 직사각형은 네 내각이 모두 직각이지만 가로와 세로의 비가 다르므로 서로 닮지 않았다. 두 사각형이 닮으려면 대응하는 각의 크기가 각각 같고, 대응하는 변의 길이의 비도 일정해야 한다.

넓이

 넓이 문서를 참고하십시오.

주요 사각형의 넓이

사다리꼴의 높이 $h$는 평행한 두 변 사이의 수직 거리이다. 그림에서 평행한 두 변의 길이는 $a,c$이므로 넓이는 $(a+c)h/2$이다.

사각형의 넓이를 구하는 기본 공식은 다음과 같다. 높이는 밑변을 포함하는 직선과 이에 평행한 맞은편 변 사이의 수직 거리이다. 따라서 평행사변형이나 사다리꼴의 옆변이 기울어져 있을 때, 옆변의 길이를 그대로 높이로 사용해서는 안 된다.

기본적인 넓이 공식

사각형	주어진 길이	넓이 $S$
직사각형	가로 $a$, 세로 $b$	$S=ab$
정사각형	한 변 $a$	$S=a^{2}$
평행사변형	밑변 $b$, 높이 $h$	$S=bh$
사다리꼴	평행한 두 변 $a,c$, 높이 $h$	$S={\frac {(a+c)h}{2}}$
마름모, 볼록 연꼴	두 대각선 $p,q$	$S={\frac {pq}{2}}$

평행사변형은 적절히 잘라 붙여 밑변과 높이가 같은 직사각형으로 바꿀 수 있다. 이 과정에서 넓이는 바뀌지 않으므로 넓이는 밑변과 높이의 곱이다. 사다리꼴은 같은 모양 두 개를 이어 붙여 밑변이 $a+c$이고 높이가 $h$인 평행사변형을 만들 수 있으므로, 그 넓이는 평행사변형 넓이의 절반이다. 예를 들어 두 밑변이 $5\,\mathrm {cm}$, $9\,\mathrm {cm}$이고 높이가 $4\,\mathrm {cm}$이면 넓이는 $28\,\mathrm {cm} ^{2}$이다.

사각형이 위의 어느 특수한 모양에도 해당하지 않으면, 내부의 대각선을 그어 두 삼각형으로 나눈 뒤 넓이를 더할 수 있다. 대각선 $AC$가 내부에 놓인 경우에는 $\triangle ABC$와 $\triangle ACD$의 넓이의 합이 사각형의 넓이이다. 이 방법은 오목 사각형에도 적용된다.

대각선과 각을 이용한 공식

 삼각법 문서를 참고하십시오.

볼록 사각형의 두 대각선의 길이를 $p,q$, 두 대각선 사이의 각을 $\theta$라 하면 넓이는 다음과 같다.

$S={\frac {1}{2}}pq\sin \theta$

여기서 $0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$이며, 교점에서 이웃한 두 각 가운데 어느 것을 택해도 사인 값은 같다.

대각선이 만나는 점을 $O$라 하면 사각형은 네 삼각형으로 나뉜다. 삼각형의 넓이 공식을 각 삼각형에 적용하여 더하면

$S={\frac {1}{2}}(AO+OC)(BO+OD)\sin \theta$

가 되며, $AO+OC=p$, $BO+OD=q$이므로 위 공식을 얻는다. 두 대각선이 수직일 때에는 $\sin 90^{\circ }=1$이어서 $S=pq/2$가 된다. 마름모와 볼록 연꼴의 넓이 공식은 이 경우에 해당한다.

평행사변형에서는 이웃한 두 변의 길이를 $a,b$, 그 사이의 내각을 $\theta$라 하면 $S=ab\sin \theta$이다. 밑변을 $b$로 잡았을 때 높이가 $a\sin \theta$이기 때문이다. 따라서 네 변이 각각 $1$인 정사각형의 넓이는 $1$이지만, 한 내각이 $60^{\circ }$인 마름모의 넓이는 ${\sqrt {3}}/2$이다.

좌표를 이용한 공식

 이 부분의 본문은 신발끈 공식입니다.

직교좌표계에서 사각형의 꼭짓점을 둘레를 따라 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$로 나타내면, 신발끈 공식으로 넓이를 구할 수 있다.

${\begin{aligned}S={\frac {1}{2}}{\big |}&x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}\\&-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{3}-y_{3}x_{4}-y_{4}x_{1}{\big |}.\end{aligned}}$

이 식은 볼록 사각형과 오목 사각형에 모두 적용된다. 꼭짓점을 시계 방향으로 나열하느냐 반시계 방향으로 나열하느냐에 따라 절댓값 안의 부호가 바뀌므로, 넓이를 구할 때에는 절댓값을 취한다.

네 점의 좌표를 알고 있어도 꼭짓점을 둘레의 순서대로 넣어야 한다. 네 꼭짓점을 잇는 순서를 바꾸어 변이 서로 교차하게 되면 원래와 다른 도형을 계산하게 된다. 교차 사각형에 같은 식을 적용한 값은 나비 모양의 두 부분의 넓이를 더한 값이 아니라, 두 넓이의 차의 절댓값이다.

원과 사각형

원에 내접하는 사각형

 이 부분의 본문은 내접 사각형입니다.

네 꼭짓점이 하나의 원 위에 놓인 사각형을 내접 사각형이라고 한다. 이때 사각형이 원에 내접한다고 하고, 그 원은 사각형의 외접원이라고 한다. 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 항상 하나의 원을 정하지만, 네 번째 점까지 그 원 위에 놓이는 것은 아니다. 삼각형에는 항상 외접원이 있지만, 사각형에는 외접원이 없을 수도 있다.

볼록 사각형이 원에 내접할 필요충분조건은 마주 보는 두 내각의 합이 $180^{\circ }$인 것이다.

$\angle A+\angle C=180^{\circ }$

이때 $\angle B+\angle D=180^{\circ }$도 성립한다.

네 꼭짓점이 한 원 위에 놓인 사각형. 빨간 선분은 두 대각선 $AC,BD$이다.

이 조건은 원주각의 성질과 연결된다. 원에 내접하는 사각형에서 마주 보는 두 내각은 함께 원 전체를 이루는 두 호에 대한 원주각이므로 그 합이 $180^{\circ }$이다. 역도 성립하여, 볼록 사각형에서 대각의 합이 $180^{\circ }$이면 네 꼭짓점이 같은 원 위에 놓인다. 직사각형은 마주 보는 두 각이 모두 직각이므로 항상 원에 내접한다. 등변사다리꼴도 원에 내접하며, 마름모가 원에 내접하려면 정사각형이어야 한다.

원에 내접하는 사각형의 네 변의 길이를 둘레 순서대로 $a=AB,b=BC,c=CD,d=DA$, 두 대각선의 길이를 $p=AC,q=BD$라 하면 프톨레마이오스 정리에 따라

$pq=ac+bd$

가 성립한다. 즉, 두 대각선 길이의 곱은 두 쌍의 대변 길이의 곱을 더한 값과 같다. 직사각형에 적용하면 $p=q$, $a=c$, $b=d$이므로 $p^{2}=a^{2}+b^{2}$이 되어 피타고라스 정리와 같은 관계를 얻는다.

원에 내접하는 사각형의 넓이는 브라마굽타 공식으로 구할 수 있다. 둘레의 절반을 $s=(a+b+c+d)/2$라 하면

$S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

이다. 원에 내접한다는 조건이 있으므로 네 변의 길이만으로 넓이를 정할 수 있다. 이 공식을 일반적인 사각형에 그대로 적용할 수는 없다.

일반적인 볼록 사각형에는 브레치나이더 공식이 적용된다. 마주 보는 두 내각의 크기를 $\alpha ,\gamma$라 하면

$S^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}$

이다. 원에 내접하는 경우에는 $\alpha +\gamma =180^{\circ }$이므로 마지막 항이 $0$이 되어 브라마굽타 공식을 얻는다. 마지막 항은 항상 음이 아닌 값을 빼는 형태이므로, 네 변의 길이가 주어진 볼록 사각형 가운데 넓이가 가장 큰 것은 원에 내접하는 사각형이다.

네 변에 접하는 원

 외접 사각형, 내접원 및 피토 정리 문서를 참고하십시오.

내접원은 사각형의 안쪽에서 네 변 모두에 접하는 원이다. 이러한 원이 있는 볼록 사각형을 외접 사각형이라고 한다. 네 꼭짓점이 원 위에 놓이는 외접원과는 다른 조건이다. 볼록 사각형에 내접원이 있으면 그 중심은 네 내각의 이등분선 위에 놓인다. 또한 그 중심에서 네 변을 포함하는 직선까지의 수직 거리는 모두 원의 반지름과 같다.

볼록 사각형의 네 변의 길이를 둘레 순서대로 $a,b,c,d$라 하면, 내접원이 존재할 필요충분조건은

$a+c=b+d$

이다. 즉, 두 쌍의 대변 길이의 합이 서로 같아야 한다.

네 변이 한 원에 접하는 사각형에서는 마주 보는 변의 길이의 합이 같다: $a+c=b+d$.

필요조건은 한 점에서 원에 그은 두 접선의 접점까지의 길이가 같다는 성질로 알 수 있다. 각 꼭짓점에서 두 접점까지의 길이를 짝지어 더하면 두 쌍의 대변의 합이 같아진다. 이것이 피토 정리이며, 볼록 사각형에 대해서는 그 역도 성립한다. 정사각형과 마름모, 볼록 연꼴에는 내접원이 있지만, 정사각형이 아닌 직사각형에는 내접원이 없다.

내접원의 반지름을 $r$, 둘레의 절반을 $s$라 하면 사각형의 넓이는 $S=rs$이다. 원의 중심과 네 꼭짓점을 이으면 높이가 모두 $r$인 네 삼각형으로 나뉘므로,

$S={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr+{\frac {1}{2}}dr=rs$

를 얻는다. 정사각형처럼 외접원과 내접원을 모두 갖는 사각형도 있다.

변의 중점과 무게중심

바리뇽 정리

 중점 연결 정리 및 평행사변형 문서를 참고하십시오.

단순 사각형의 네 변의 중점을 둘레 순서대로 이으면 평행사변형이 된다. 이 평행사변형의 넓이는 원래 사각형 넓이의 절반이다.

사각형 $ABCD$의 네 변의 중점 $E,F,G,H$를 차례로 이으면 평행사변형이 된다.

사각형 $ABCD$에서 변 $AB,BC,CD,DA$의 중점을 각각 $E,F,G,H$라 하자. 중점 연결 정리에 따라 $EF$와 $HG$는 모두 대각선 $AC$와 평행하고 그 길이의 절반이다. 마찬가지로 $FG$와 $EH$는 대각선 $BD$와 평행하고 그 길이의 절반이다. 따라서 $EFGH$는 평행사변형이다. 원래 사각형이 볼록하든 오목하든 이 결론은 같다.

이 평행사변형의 이웃한 두 변은 원래 사각형의 두 대각선에 각각 평행하다. 그러므로 원래 사각형의 두 대각선이 수직이면 $EFGH$는 직사각형이고, 두 대각선의 길이가 같으면 마름모이다. 두 조건을 모두 만족하면 정사각형이다. 넓이가 절반이라는 성질은 볼록 사각형의 경우 두 대각선과 그 사이의 각을 이용한 넓이 공식으로도 확인할 수 있다.

변의 중점을 잇는 성질 자체는 단순 사각형 밖으로도 확장된다. 다만 교차 사각형에서는 네 중점이 한 직선 위에 놓여 평행사변형이 퇴화할 수 있으며, 넓이도 두 부분의 넓이의 합이 아니라 차를 이용해 해석해야 한다.

꼭짓점의 무게중심과 도형의 무게중심

 무게 중심 (기하학) 문서를 참고하십시오.

사각형의 네 꼭짓점에 같은 질량을 놓았을 때의 무게중심은 네 꼭짓점의 좌표를 평균한 점이다. 꼭짓점의 위치벡터를 $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d}$라 하면 이 점의 위치벡터는

$\mathbf {g} ={\frac {\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} +\mathbf {d} }{4}}$

이다. 이 점은 두 쌍의 대변의 중점을 각각 잇는 두 선분의 공통 중점이며, 두 대각선의 중점을 잇는 선분의 중점이기도 하다. 앞 절의 평행사변형 $EFGH$에서는 두 대각선의 교점에 해당한다.

이 점과 사각형 내부를 고르게 채운 얇은 판의 무게중심은 일반적으로 다르다. 판의 무게중심을 구하려면 내부의 대각선을 따라 사각형을 두 삼각형으로 나누고, 각 삼각형의 무게중심을 삼각형의 넓이에 비례하여 평균해야 한다. 삼각형에서는 꼭짓점 세 개의 무게중심과 균일한 삼각형 판의 무게중심이 일치하지만, 일반적인 사각형에서는 이 두 의미를 구별해야 한다. 평행사변형에서는 둘 다 대각선의 교점과 일치한다.

대칭과 평면 채우기

 선대칭, 점대칭 및 테셀레이션 문서를 참고하십시오.

정사각형이나 평행사변형이 아닌 사각형으로도 평면을 채울 수 있다.

평행사변형은 두 대각선의 교점을 중심으로 $180^{\circ }$ 회전하면 원래 도형과 겹쳐진다. 직사각형과 마름모에는 선을 기준으로 접었을 때 양쪽이 겹쳐지는 선대칭도 있다. 직사각형에서는 대변의 중점을 잇는 두 직선이 대칭축이고, 마름모에서는 두 대각선을 포함하는 직선이 대칭축이다. 정사각형은 이 두 성질을 모두 가져 대칭축이 네 개이며, 중심을 기준으로 $90^{\circ }$ 회전해도 원래 모양과 겹쳐진다.

같은 도형을 빈틈이나 겹침 없이 배열하여 평면을 덮는 것을 테셀레이션 또는 평면 채우기라고 한다. 정사각형과 직사각형뿐 아니라 모든 단순 사각형으로 평면을 채울 수 있다. 변의 중점을 중심으로 사각형을 $180^{\circ }$ 회전하면 원래 사각형과 한 변을 공유하는 같은 모양의 사각형이 생긴다. 이러한 배열을 반복하면 네 내각이 한 점에 모여 $360^{\circ }$를 이루는 무늬를 만들 수 있다.

역사

에우클레이데스의 《원론》에서는 평행사변형과 정사각형의 성질을 증명하고, 이들을 이용해 도형의 넓이를 비교하였다. 제1권 명제 34는 평행사변형의 대변과 대각이 각각 같고 대각선이 그 넓이를 이등분함을 보인다. 같은 권의 명제 46은 주어진 선분을 한 변으로 하는 정사각형의 작도를 다루며, 제2권 명제 14는 주어진 다각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 방법을 제시한다.

인도의 수학자 브라마굽타는 628년에 저술한 수학·천문학 저서에서 사각형의 넓이와 대각선의 길이를 구하는 공식을 제시하였다. 오늘날 브라마굽타 공식으로 알려진 넓이 공식은 원에 내접하는 사각형에 적용된다. 원전에는 내접 조건이 명시되어 있지 않아, 당시 공식의 적용 범위를 어떻게 이해했는지에 대해서는 역사적 해석이 나뉜다.

프랑스의 수학자 피에르 바리뇽(프랑스어: Pierre Varignon)이 남긴 수학 강의록은 그가 사망한 뒤인 1731년에 출판되었다. 이 책에는 사각형의 네 변의 중점을 차례로 이으면 평행사변형이 된다는 정리와 그 증명이 실려 있다. 이 결과는 바리뇽 정리라는 이름으로 알려져 있다.

같이 보기

• 다각형
• 삼각형
• 내접 사각형
• 외접 사각형
• 방형 (지리학)

참고 문헌

한국어 교재와 자료

• 주미경 외 6인 (2018). 《중학교 수학 1》. 금성출판사. ISBN 978-89-07-10019-1.  2024년 7쇄.
• 주미경 외 6인 (2019). 《중학교 수학 2》. 금성출판사. ISBN 978-89-07-10185-3.  2024년 6쇄.
• 장혜원 외 13인 (2023). 《초등학교 수학 5-1》. 미래엔. 
• 금성출판사. “등변사다리꼴”. 《티칭백과》. 2026년 10월 9일에 확인함.  및 〈등변사다리꼴의 성질〉.

기하학

• Australian Mathematical Sciences Institute. “Parallelograms and Rectangles” (영어). 《The Improving Mathematics Education in Schools (TIMES) Project》. 2026년 10월 9일에 확인함. 
• Australian Mathematical Sciences Institute. “Rhombuses, Kites, and Trapezia” (영어). 《The Improving Mathematics Education in Schools (TIMES) Project》. 2026년 10월 9일에 확인함. 
• Ernest William Hobson (1918). 《A Treatise on Plane Trigonometry》 4판 (영어). Cambridge University Press. 
• Kiran S. Kedlaya (2006년 1월 18일). 《Geometry Unbound》 (PDF) (영어). 
• John Boris Miller (2007). “Plane quadrilaterals” (PDF) (영어). 《Gazette of the Australian Mathematical Society》 34 (2): 103–111. 
• John Boris Miller (2010). “Centroid of a quadrilateral” (PDF) (영어). 《Gazette of the Australian Mathematical Society》 37 (2): 101–104. 
• Brian Kell (2010). “Symmetry and tilings” (영어). 《21-110: Problem Solving in Recreational Mathematics》. Carnegie Mellon University. 2026년 10월 9일에 확인함. 

역사

• 유클리드. “Euclid's Elements” (영어). David E. Joyce 주석. Clark University. 2026년 10월 9일에 확인함. 
• J. J. O'Connor; E. F. Robertson (2000년 11월). “Brahmagupta” (영어). 《MacTutor History of Mathematics》. University of St Andrews. 2026년 10월 9일에 확인함. 
• J. J. O'Connor; E. F. Robertson (2007년 7월). “Pierre Varignon” (영어). 《MacTutor History of Mathematics》. University of St Andrews. 2026년 10월 9일에 확인함. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadrilateral” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.