Relacja symetryczna

Relacja symetryczna – relacja dwuargumentowa (dwuczłonowa), która jest równa relacji do siebie odwrotnej.

Formalnie relację dwuczłonową ${\mathcal {R}}\subseteq X\times X$ nazywa się symetryczną, gdy:

${\big (}\forall x,y\in X{\big )}{\Big (}(x,y)\in {\mathcal {R}}\,\Rightarrow \,(y,x)\in {\mathcal {R}}{\Big )}$ .

Uwaga. W powyższej definicji można też zamienić implikację $\implies$ na równoważność $\Longleftrightarrow$. Istotnie, jest to poprawne przejście, ponieważ powyższy napis jest w odpowiedni sposób symetryczny, względem oznaczeń rozważanych obiektów.

Relacja przeciwsymetryczna

Relację dwuczłonową ${\mathcal {R}}\subseteq X\times X$ nazywa się przeciwsymetryczną lub asymetryczną, gdy warunki $(x,y)\in {\mathcal {R}}$ oraz $(y,x)\in {\mathcal {R}}$ wykluczają się nawzajem, dla każdych dwóch elementów $x,y\in X$. Zapisując to do postaci formuły logicznej, jest to taka relacja, że:

${\big (}\forall x,y\in X{\big )}{\Big (}(x,y)\in {\mathcal {R}}\,\Rightarrow \,(y,x)\notin {\mathcal {R}}{\Big )}$ .

Relacja antysymetryczna

Relację dwuczłonową ${\mathcal {R}}\subseteq X\times X$ nazywa się antysymetryczną (lub nawpółprzeciw) symetryczną, gdy dla każdych dwóch elementów $x,y\in X$ z koniunkcji warunków $(x,y)\in {\mathcal {R}}$ i $(y,x)\in {\mathcal {R}}$ wynika równość $x=y$. Zapisując inaczej, jest to taka relacja, że:

${\big (}\forall x,y\in X{\big )}{\Big (}{\big [}(x,y)\in {\mathcal {R}}\,\land \,(y,x)\in {\mathcal {R}}{\big ]}\,\Rightarrow \,x=y{\Big )}$ .

Przykłady

Relacje symetryczne w matematyce:

• każda relacja równoważności, np. równość elementów zbioru,
• relacje między prostymi, półprostymi i odcinkami: równoległość, przecinanie się, prostopadłość,
• relacje między kątami: kąty przyległe, kąty dopełniające się, kąty wierzchołkowe, kąty naprzemianległe,
• relacje między okręgami: rozłączność (w szczególności współśrodkowość, in. koncentryczność), styczność (dwóch rodzajów) albo przecinanie (także dwóch rodzajów),
• relacje między figurami: przystawanie, podobieństwo,
• relacje między zbiorami: rozłączność, przecinanie się i równoliczność;
• relacja między grupami i innymi strukturami algebraicznymi: izomorfizm,
• relacja między przestrzeniami topologicznymi: homeomorfizm,
• relacja między krzywymi: homotopia,
• relacja między liczbami całkowitymi: przystawanie (kongruencja), względna pierwszość,
• relacja między funkcjami w danym zbiorze (działaniami jednoargumentowymi): przemienność (komutacja). Macierze kwadratowe są reprezentacjami endomorfizmów, więc też mogą komutować lub nie,
• relacje między ciągami i funkcjami o wartościach rzeczywistych: bycie dokładnie tego samego rzędu, asymptotyczna równość (posiadanie tej samej granicy w nieskończoności).

Przykłady spoza matematyki:

• relacje w zbiorze nuklidów: izotopy, izobary, izotony, bycie jądrami lustrzanymi,
• izomeria molekuł,
• komplementarność nici kwasów nukleinowych (DNA i RNA),
• bycie rodzeństwem lub szerzej: krewnymi,
• bycie małżeństwem lub szerzej: spowinowaczonymi,
• konkurencja ekologiczna i ekonomiczna,
• symbioza,
• bycie miastami partnerskimi,
• stosunki dyplomatyczne.

Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani antysymetryczne:

• bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.

Zobacz też

• relacja zwrotna
• relacja przechodnia
• relacja równoważności

Bibliografia

• HelenaH. Rasiowa HelenaH., Wstęp do matematyki współczesnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984, ISBN 978-83-01-01373-8  (pol.).