Espaço projetivo

Em matemática, um espaço projetivo é uma estrutura geométrica fundamental definida como o conjunto de todas as retas vetoriais (isto é, subespaços unidimensionais) que passam pela origem de um espaço vetorial $V$ sobre um corpo $K$. O espaço projetivo associado a $V$ é comumente denotado por $\mathbf {P} (V)$, $\mathbb {P} (V)$ ou $P(V)$.

Se o espaço vetorial tem dimensão $n+1$ sobre $K$ (isto é, $V\cong K^{n+1}$), a dimensão projetiva do espaço correspondente é definida como $n$, sendo denotado por $\mathbb {P} ^{n}(K)$ ou $K\mathbb {P} ^{n}$. Os casos de dimensão 1 e 2 são chamados, respectivamente, de reta projetiva e plano projetivo.

Historicamente originado do estudo da perspectiva na arte e na geometria projetiva clássica, o espaço projetivo elimina o tratamento de casos excepcionais para retas paralelas: no plano projetivo, quaisquer duas retas distintas se interceptam em exatamente um ponto (que pode ser um ponto ordinário ou um ponto no infinito).

Definição formal

Como quociente de um espaço vetorial

Seja $V$ um espaço vetorial sobre um corpo $K$. Define-se em $V\setminus \{0\}$ a seguinte relação de equivalência $\sim$: dois vetores não nulos $u,v\in V\setminus \{0\}$ são equivalentes ($u\sim v$) se, e somente se, existir um escalar não nulo $\lambda \in K\setminus \{0\}$ tal que:

$v=\lambda u$

O espaço projetivo $\mathbb {P} (V)$ é o conjunto quociente:

$\mathbb {P} (V)=(V\setminus \{0\})/\sim$

Cada classe de equivalência $[v]$ representa exatamente uma reta vetorial em $V$ que passa pela origem e constitui um único "ponto" no espaço projetivo.

Coordenadas homogêneas

Quando $V=K^{n+1}$, um elemento não nulo é uma tupla $(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})$. A classe de equivalência deste vetor é denotada por:

$[x_{0}:x_{1}:\cdots :x_{n}]$

Essas grandezas são denominadas coordenadas homogêneas. Pela definição da relação de equivalência, tem-se:

${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:\cdots :x_{n}]=[\lambda x_{0}:\lambda x_{1}:\cdots$ :\lambda x_{n}]}

para qualquer escalar $\lambda \in K\setminus \{0\}$. Apenas a razão mútua entre as coordenadas possui significado geométrico.

Decomposição afim e pontos no infinito

O espaço projetivo $\mathbb {P} ^{n}(K)$ pode ser decomposto na união disjunta de um espaço afim $K^{n}$ e um "hiperplano no infinito" (que é ele próprio um espaço projetivo de dimensão $n-1$):

$\mathbb {P} ^{n}(K)=K^{n}\cup \mathbb {P} ^{n-1}(K)$

Para ver isso, fixa-se uma coordenada homogênea, por exemplo $x_{0}$:

• O subconjunto $U_{0}=\{[x_{0}:x_{1}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n}(K):x_{0}\neq 0\}$ é canonicamente bijeção com $K^{n}$ por meio do mapa:

${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:\dots :x_{n}]=\left[1:{\frac {x_{1}}{x_{0}}}:\dots$ :{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right]\mapsto \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right)}

• O conjunto complementar $H_{\infty }=\{[0:x_{1}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n}(K)\}$ corresponde aos pontos no infinito, que formam um hiperplano projetivo isomorfo a $\mathbb {P} ^{n-1}(K)$.

Tomando os conjuntos $U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}$ para $i=0,1,\dots ,n$, obtém-se uma cobertura de $\mathbb {P} ^{n}(K)$ por $n+1$ cartas afins, o que demonstra que o espaço projetivo é uma compactificação natural do espaço afim $K^{n}$.

Exemplos fundamentais

Espaços projetivos reais

O espaço projetivo real de dimensão $n$, denotado por $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$ ou $\mathbf {P} ^{n}(\mathbb {R} )$, é o conjunto de retas na origem de $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Topologicamente, como toda reta em $\mathbb {R} ^{n+1}$ intercepta a esfera unitária $S^{n}$ em exatamente dois pontos antípodas ($x$ e $-x$), o espaço projetivo real é homeomorfo ao quociente da esfera pela identificação antípoda:

$\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}\cong S^{n}/\{x\sim -x\}$

• $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}$ (Reta projetiva real): É homeomorfa ao círculo $S^{1}$.
• $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}$ (Plano projetivo real): É uma superfície compacta, não orientável, de fundamental relevância na topologia. Não pode ser imersa em $\mathbb {R} ^{3}$ sem autointerseção.

Espaços projetivos complexos

O espaço projetivo complexo de dimensão complexa $n$ (e dimensão real $2n$) é denotado por $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$.

Cada reta complexa em $\mathbb {C} ^{n+1}$ intercepta a esfera $S^{2n+1}\subset \mathbb {C} ^{n+1}$ em um círculo gerado pela ação do grupo circular $\mathrm {U} (1)$. Logo:

$\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}\cong S^{2n+1}/\mathrm {U} (1)$

Para $n=1$, $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}\cong S^{3}/S^{1}\cong S^{2}$, o que recupera a célebre esfera de Riemann via fibração de Hopf. Todos os espaços projetivos complexos são variedades orientáveis e simplesmente conexas.

Espaços projetivos finitos

Quando o corpo $K$ é um corpo finito com $q$ elementos, denotado por $\mathbb {F} _{q}$, o espaço projetivo $\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {F} _{q})$ contém uma quantidade finita de pontos. O número total de pontos é dado pelo coeficiente gaussianomódulo $q-1$:

$|\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {F} _{q})|={\frac {q^{n+1}-1}{q-1}}=q^{n}+q^{n-1}+\cdots +q+1$

O exemplo mais célebre é o plano de Fano ($\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{2})$), que consiste em 7 pontos e 7 retas, sendo o menor plano projetivo existente.

Propriedades topológicas e geométricas

Espaço	Dimensão real	Compacto?	Orientável?	Grupo fundamental ($\pi _{1}$)
$\mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}$	1	Sim	Sim	$\mathbb {Z}$
$\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$ ($n\geq 2$ par)	$n$	Sim	Não	$\mathbb {Z} _{2}$
$\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$ ($n\geq 3$ ímpar)	$n$	Sim	Sim	$\mathbb {Z} _{2}$
$\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$	$2n$	Sim	Sim	$0$ (simplesmente conexo)

• Estrutura de variedade: O atlas formado pelas cartas afins $\{U_{i}\}_{i=0}^{n}$ fornece a $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$ a estrutura de variedade diferenciável suave de dimensão $n$, e a $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$ a estrutura de variedade complexa (e variedade analítica compacta) de dimensão $n$.
• Geometria algébrica: Na geometria algébrica, os espaços projetivos fornecem o ambiente natural para a teoria dos esquemas e das variedades projetivas, pois garantem que conjuntos de soluções de sistemas polinomiais homogêneos possuam propriedades de interseção universais (como no Teorema de Bézout) e topologia bem comportada sob a topologia de Zariski.

Transformações projetivas e simetrias

Uma transformação projetiva (ou projetividade) é uma bijeção do espaço projetivo sobre si mesmo que preserva a colinearidade de pontos.

Toda transformação linear inversível $T\in \mathrm {GL} (V)$ do grupo linear geral preserva retas que passam pela origem e, portanto, induz uma aplicação bijetiva bem definida em $\mathbb {P} (V)$. Dois operadores lineares induzem a mesma transformação projetiva se, e somente se, diferirem por um múltiplo escalar não nulo da matriz identidade.

O grupo de todas as transformações projetivas lineares de $\mathbb {P} (V)$ é o grupo projetivo linear:

$\mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/(K^{\times }\cdot I)$

Pelo teorema fundamental da geometria projetiva, para espaços de dimensão projetiva $n\geq 2$, toda colineação geométrica provém de uma transformação semi-linear de $V$.

Ver também

• Geometria projetiva
• Espaço projetivo real
• Espaço projetivo complexo
• Plano projetivo real
• Coordenadas homogêneas
• Esfera de Riemann
• Fibração de Hopf
• Teorema de Desargues
• Teorema de Pappus

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Projective Space». MathWorld (em inglês)