Espaço projetivo complexo

A esfera de Riemann, o espaço projetivo complexo unidimensional, i.e. a reta projetiva complexa.

Em matemática, o espaço projetivo complexo é o espaço projetivo com respeito ao corpo dos números complexos. Por analogia, enquanto os pontos de um espaço projetivo real rotulam as retas que passam pela origem de um espaço euclidiano real, os pontos de um espaço projetivo complexo rotulam as retas complexas que passam pela origem de um espaço euclidiano complexo (veja abaixo para uma explicação intuitiva). Formalmente, um espaço projetivo complexo é o espaço de retas complexas que passam pela origem de um espaço vetorial complexo de dimensão (n+1). O espaço é denotado de várias formas como P(Cⁿ⁺¹), P_n(C) ou CPⁿ. Quando n = 1, o espaço projetivo complexo CP¹ é a esfera de Riemann, e quando n = 2, CP² é o plano projetivo complexo (veja lá para uma discussão mais elementar).

O espaço projetivo complexo foi introduzido pela primeira vez por von Staudt (1860) como um exemplo do que era então conhecido como "geometria de posição", uma noção originalmente devida a Lazare Carnot, um tipo de geometria sintética que incluía também outras geometrias projetivas. Posteriormente, na virada do século XX, tornou-se claro para a escola italiana de geometria algébrica que os espaços projetivos complexos eram os domínios mais naturais nos quais considerar as soluções de equações polinomiais – variedades algébricas (Grattan-Guinness 2005, pp. 445–446). Nos tempos modernos, tanto a topologia quanto a geometria do espaço projetivo complexo são bem compreendidas e intimamente relacionadas com as da esfera. De fato, em certo sentido, a esfera (2n+1)-dimensional pode ser considerada como uma família de círculos parametrizada por CPⁿ: esta é a fibração de Hopf. O espaço projetivo complexo possui uma métrica (Kähler), chamada de métrica de Fubini–Study, em termos da qual é um espaço simétrico Hermitiano de posto 1.

O espaço projetivo complexo tem muitas aplicações tanto na matemática quanto na física quântica. Na geometria algébrica, o espaço projetivo complexo é o lar das variedades projetivas, uma classe bem-comportada de variedades algébricas. Em topologia, o espaço projetivo complexo desempenha um papel importante como um espaço classificante para fibrados de linha complexos: famílias de retas complexas parametrizadas por outro espaço. Neste contexto, a união infinita de espaços projetivos (limite direto), denotada CP^∞, é o espaço classificante K(Z,2). Na física quântica, a função de onda associada a um estado puro de um sistema mecânico quântico é uma amplitude de probabilidade, o que significa que tem norma unitária e tem uma fase global inessencial: ou seja, a função de onda de um estado puro é naturalmente um ponto no espaço de Hilbert projetivo do espaço de estados. A variedade projetiva complexa é um espaço de dimensão 2n ou é um espaço complexo de dimensão n.

Introdução

Retas paralelas no plano se intersectam no ponto de fuga na reta no infinito.

A noção de plano projetivo surge da ideia de perspectiva na geometria e na arte: que às vezes é útil incluir no plano euclidiano uma linha "imaginária" adicional que representa o horizonte que um artista, pintando o plano, poderia ver. Seguindo cada direção a partir da origem, há um ponto diferente no horizonte, de modo que o horizonte pode ser pensado como o conjunto de todas as direções a partir da origem. O plano euclidiano, juntamente com seu horizonte, é chamado de plano projetivo real, e o horizonte é às vezes chamado de reta no infinito. Pela mesma construção, os espaços projetivos podem ser considerados em dimensões superiores. Por exemplo, o espaço projetivo real 3-dimensional é um espaço euclidiano juntamente com um plano no infinito que representa o horizonte que um artista (que, necessariamente, deve viver em quatro dimensões) veria.

Estes espaços projetivos reais podem ser construídos de uma forma ligeiramente mais rigorosa da seguinte forma. Aqui, seja Rⁿ⁺¹ o espaço coordenado real de n+1 dimensões, e considere a paisagem a ser pintada como um hiperplano neste espaço. Suponha que o olho do artista seja a origem em Rⁿ⁺¹. Então, ao longo de cada reta que passa por seu olho, há um ponto da paisagem ou um ponto em seu horizonte. Assim, o espaço projetivo real é o espaço de retas que passam pela origem em Rⁿ⁺¹. Sem referência a coordenadas, este é o espaço de retas que passam pela origem em um espaço vetorial real de dimensão (n+1).

Para descrever o espaço projetivo complexo de maneira análoga, é necessária uma generalização da ideia de vetor, reta e direção. Imagine que, em vez de estar em um espaço euclidiano real, o artista está em um espaço euclidiano complexo Cⁿ⁺¹ (que tem dimensão real 2n+2) e a paisagem é um hiperplano complexo (de dimensão real 2n). Ao contrário do caso do espaço euclidiano real, no caso complexo existem direções para as quais o artista pode olhar e não ver a paisagem (porque ela não tem dimensão suficientemente alta). No entanto, em um espaço complexo, há uma "fase" adicional associada às direções que passam por um ponto, e ajustando essa fase o artista pode garantir que normalmente veja a paisagem. O "horizonte" é então o espaço de direções, mas de modo que duas direções são consideradas "as mesmas" se diferirem apenas por uma fase. O espaço projetivo complexo é então a paisagem (Cⁿ) com o horizonte anexado "no infinito". Assim como no caso real, o espaço projetivo complexo é o espaço de direções que passam pela origem de Cⁿ⁺¹, onde duas direções são consideradas as mesmas se diferirem por uma fase.

Construção

O espaço projetivo complexo é uma variedade complexa que pode ser descrita por n + 1 coordenadas complexas como

$Z=(Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\in \mathbb {C} ^{n+1},\qquad (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\neq (0,0,\ldots ,0)$

onde as tuplas que diferem por um redimensionamento global são identificadas:

$(Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\ldots ,\lambda Z_{n+1});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.$

Ou seja, estas são coordenadas homogêneas no sentido tradicional da geometria projetiva. O conjunto de pontos CPⁿ é coberto pelas cartas $U_{i}=\{Z\mid Z_{i}\neq 0\}$. Em U_i, pode-se definir um sistema de coordenadas por

$z_{1}=Z_{1}/Z_{i},\quad z_{2}=Z_{2}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{i-1}=Z_{i-1}/Z_{i},\quad z_{i}=Z_{i+1}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{n}=Z_{n+1}/Z_{i}.$

As transições de coordenadas entre duas cartas diferentes U_i e U_j são funções holomorfas (na verdade, são transformações lineares fracionárias). Assim, CPⁿ carrega a estrutura de uma variedade complexa de dimensão complexa n, e a fortiori a estrutura de uma variedade diferenciável real de dimensão real 2n.

Pode-se também considerar CPⁿ como um quociente da esfera 2n + 1 unitária em Cⁿ⁺¹ sob a ação de U(1):

CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/U(1).

Isso ocorre porque toda reta em Cⁿ⁺¹ intersecta a esfera unitária em um círculo. Projetando primeiro para a esfera unitária e depois identificando sob a ação natural de U(1), obtém-se CPⁿ. Para n = 1, esta construção produz o fibrado de Hopf clássico $S^{3}\to S^{2}$. Desta perspectiva, a estrutura diferenciável em CPⁿ é induzida pela de S²ⁿ⁺¹, sendo o quociente desta última por um grupo compacto que atua propriamente.

Topologia

A topologia de CPⁿ é determinada indutivamente pela seguinte decomposição celular. Seja H um hiperplano fixo que passa pela origem em Cⁿ⁺¹. Sob o mapa de projeção Cⁿ⁺¹\{0} → CPⁿ, H é levado a um subespaço homeomorfo a CPⁿ⁻¹. O complemento da imagem de H em CPⁿ é homeomorfo a Cⁿ. Assim, CPⁿ surge pela anexação de uma 2n-célula a CPⁿ⁻¹:

$\mathbf {CP} ^{n}=\mathbf {CP} ^{n-1}\cup \mathbf {C} ^{n}.$

Alternativamente, se a 2n-célula for considerada como a bola unitária aberta em Cⁿ, então o mapa de anexação é a fibração de Hopf da fronteira. Uma decomposição celular indutiva análoga é verdadeira para todos os espaços projetivos; veja (Besse 1978).

Decomposição CW

Uma maneira útil de construir os espaços projetivos complexos $\mathbf {CP} ^{n}$ é através de uma construção recursiva usando CW-complexos. Lembre-se de que existe um homeomorfismo $\mathbf {CP} ^{1}\cong S^{2}$ para a 2-esfera, dando o primeiro espaço. Podemos então induzir nas células para obter um mapa pushout $${\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{1}&\to &\mathbf {CP} ^{2}\end{matrix}}$$ onde $D^{4}$ é a 4-bola, e $S^{3}\to \mathbf {CP} ^{1}$ representa o gerador em $\pi _{3}(S^{2})$ (portanto, é homotopicamente equivalente ao mapa de Hopf). Podemos então construir indutivamente os espaços como diagramas pushout $${\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{n-1}&\to &\mathbf {CP} ^{n}\end{matrix}}$$ onde $S^{2n-1}\to \mathbf {CP} ^{n-1}$ representa um elemento em $${\begin{aligned}\pi _{2n-1}(\mathbf {CP} ^{n-1})&\cong \pi _{2n-1}(S^{2n-2})\\&\cong \mathbb {Z} /2\end{aligned}}$$ O isomorfismo dos grupos de homotopia é descrito abaixo, e o isomorfismo dos grupos de homotopia é um cálculo padrão na teoria da homotopia estável (que pode ser feito com a sequência espectral de Serre, o teorema da suspensão de Freudenthal e a torre de Postnikov). O mapa vem do fibrado $$S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n-1}$$ dando um mapa não contrátil, portanto representa o gerador em $\mathbb {Z} /2$. Caso contrário, haveria uma equivalência de homotopia $\mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{n}$, mas então seria homotopicamente equivalente a $S^{2}$, uma contradição que pode ser vista observando os grupos de homotopia do espaço.

Topologia conjuntista

O espaço projetivo complexo é compacto e conexo, sendo um quociente de um espaço compacto e conexo.

Grupos de homotopia

A partir do fibrado

$S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}$

ou mais sugestivamente

$U(1)\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}$

CPⁿ é simplesmente conexo. Além disso, pela sequência exata longa de homotopia, o segundo grupo de homotopia é π₂(CPⁿ) ≅ Z, e todos os grupos de homotopia superiores concordam com os de S²ⁿ⁺¹: π_k(CPⁿ) ≅ π_k(S²ⁿ⁺¹) para todo k > 2.

Homologia

Em geral, a topologia algébrica de CPⁿ baseia-se no fato de os ranks dos grupos de homologia serem zero em dimensões ímpares; além disso, H_2i(CPⁿ, Z) é cíclico infinito para i = 0 a n. Portanto, os números de Betti são

1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

Ou seja, 0 em dimensões ímpares, 1 em dimensões pares de 0 a 2n. A característica de Euler de CPⁿ é, portanto, n + 1. Pela dualidade de Poincaré, o mesmo é verdadeiro para os ranks dos grupos de cohomologia. No caso da cohomologia, pode-se ir mais longe e identificar a estrutura de anel graduado, para o produto cup; o gerador de H²(CPⁿ, Z) é a classe associada a um hiperplano, e este é um gerador do anel, de modo que o anel é isomorfo a

Z[T]/(Tⁿ⁺¹),

com T um gerador de grau dois. Isso implica também que o número de Hodge h^i,i = 1, e todos os outros são zero. Veja (Besse 1978).

K-teoria

Segue-se por indução e pela periodicidade de Bott que

$K_{\mathbf {C} }^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C} }^{0}(\mathbf {CP} ^{n})=\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}.$

O fibrado tangente satisfaz

$T\mathbf {CP} ^{n}\oplus \vartheta ^{1}=H^{\oplus n+1},$

onde $\vartheta ^{1}$ denota o fibrado de linha trivial, a partir da sequência de Euler. A partir disso, as classes de Chern e os números característicos podem ser calculados explicitamente.

Espaço classificante

Existe um espaço $\mathbf {CP} ^{\infty }$ que, em certo sentido, é o limite indutivo de $\mathbf {CP} ^{n}$ quando $n\to \infty$. Ele é BU(1), o espaço classificante de U(1), o grupo circular, no sentido da teoria da homotopia, e portanto classifica fibrados de linha complexos. Equivalentemente, ele é responsável pela primeira classe de Chern. Isso pode ser visto heuristicamente observando os mapas do fibrado $$S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}$$ e $n\to \infty$. Isso fornece um fibrado (chamado de fibrado circular universal) $$S^{1}\hookrightarrow S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{\infty }$$ construindo este espaço. Observe que, usando a longa sequência exata de grupos de homotopia, temos $\pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})$, portanto $\mathbf {CP} ^{\infty }$ é um espaço de Eilenberg–MacLane, um $K(\mathbb {Z} ,2)$. Por causa deste fato e do teorema da representabilidade de Brown, temos o seguinte isomorfismo $$H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]$$ para qualquer CW-complexo razoável $X$. Além disso, pela teoria das classes de Chern, todo fibrado de linha complexo $L\to X$ pode ser representado como um pullback do fibrado de linha universal em $\mathbf {CP} ^{\infty }$, o que significa que há um quadrado pullback $${\begin{matrix}L&\to &{\mathcal {L}}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &\mathbf {CP} ^{\infty }\end{matrix}}$$ onde ${\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }$ é o fibrado vetorial associado ao principal $U(1)$-fibrado $S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }$. Veja, por exemplo, (Bott & Tu 1982) e (Milnor & Stasheff 1974).

Geometria diferencial

A métrica natural em CPⁿ é a métrica de Fubini–Study, e seu grupo de isometrias holomorfas é o grupo projetivo unitário PU(n+1), onde o estabilizador de um ponto é

$\mathrm {P} (1\times \mathrm {U} (n))\cong \mathrm {PU} (n).$

É um espaço simétrico Hermitiano (Kobayashi & Nomizu 1996), representado como um espaço quociente

$U(n+1)/(U(1)\times U(n))\cong SU(n+1)/S(U(1)\times U(n)).$

A simetria geodésica em um ponto p é a transformação unitária que fixa p e é a identidade negativa no complemento ortogonal da reta representada por p.

Geodésicas

Através de quaisquer dois pontos p, q no espaço projetivo complexo, passa uma única reta complexa (um CP¹). Um círculo máximo desta reta complexa que contém p e q é uma geodésica para a métrica de Fubini–Study. Em particular, todas as geodésicas são fechadas (são círculos) e todas têm o mesmo comprimento. (Isso é sempre verdadeiro para espaços simétricos globais Riemannianos de posto 1.)

O lugar de corte de qualquer ponto p é igual a um hiperplano CPⁿ⁻¹. Este é também o conjunto de pontos fixos da simetria geodésica em p (menos o próprio p). Veja (Besse 1978).

Pinçamento da curvatura seccional

Ele tem curvatura seccional variando de 1/4 a 1, e é a variedade mais redonda que não é uma esfera (ou coberta por uma esfera): pelo teorema da esfera 1/4-pinçada, qualquer variedade Riemanniana completa e simplesmente conexa com curvatura estritamente entre 1/4 e 1 é difeomorfa à esfera. O espaço projetivo complexo mostra que 1/4 é ótimo. Reciprocamente, se uma variedade Riemanniana completa e simplesmente conexa tem curvaturas seccionais no intervalo fechado [1/4,1], então ela é difeomorfa à esfera, isométrica ao espaço projetivo complexo, ao espaço projetivo quaterniônico, ou ao plano de Cayley F₄/Spin(9); veja (Brendle & Schoen 2008).

Estrutura spin

Os espaços projetivos de dimensão ímpar podem ter uma estrutura spin, os de dimensão par não.

Geometria algébrica

O espaço projetivo complexo é um caso especial de uma grassmanniana e é um espaço homogêneo para vários grupos de Lie. É uma variedade de Kähler com a métrica de Fubini–Study, que é essencialmente determinada por propriedades de simetria. Também desempenha um papel central na geometria algébrica; pelo teorema de Chow, qualquer subvariedade complexa compacta de CPⁿ é o lugar de zeros de um número finito de polinômios e, portanto, é uma variedade algébrica projetiva. Veja (Griffiths & Harris 1994)

Topologia de Zariski

Ver artigo principal: Topologia de Zariski

Em geometria algébrica, o espaço projetivo complexo pode ser equipado com outra topologia conhecida como topologia de Zariski (Hartshorne 1977, §II.2). Seja S = C[Z₀,...,Z_n] o anel comutativo de polinômios nas (n+1) variáveis Z₀,...,Z_n. Este anel é graduado pelo grau total de cada polinômio:

$S=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{n}.$

Defina um subconjunto de CPⁿ como fechado se for o conjunto de soluções simultâneas de uma coleção de polinômios homogêneos. Declarando os complementos dos conjuntos fechados como abertos, isso define uma topologia (a topologia de Zariski) em CPⁿ.

Estrutura como esquema

Outra construção de CPⁿ (e sua topologia de Zariski) é possível. Seja S₊ ⊂ S o ideal gerado pelos polinômios homogêneos de grau positivo:

$\bigoplus _{n>0}S_{n}.$

Defina Proj S como o conjunto de todos os ideais primos homogêneos em S que não contêm S₊. Chame um subconjunto de Proj S de fechado se tiver a forma

$V(I)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid p\supseteq I\}$

para algum ideal I em S. Os complementos desses conjuntos fechados definem uma topologia em Proj S. O anel S, por localização em um ideal primo, determina um feixe de aneis locais em Proj S. O espaço Proj S, juntamente com sua topologia e feixe de anéis locais, é um esquema. O subconjunto de pontos fechados de Proj S é homeomorfo a CPⁿ com sua topologia de Zariski. As seções locais do feixe são identificadas com as funções racionais de grau total zero em CPⁿ.

Fibrados de linha

Todos os fibrados de linha no espaço projetivo complexo podem ser obtidos pela seguinte construção. Uma função f : Cⁿ⁺¹\{0} → C é chamada de homogênea de grau k se

$f(\lambda z)=\lambda ^{k}f(z)$

para todo λ ∈ C\{0} e z ∈ Cⁿ⁺¹\{0}. Mais geralmente, esta definição faz sentido em cones em Cⁿ⁺¹\{0}. Um conjunto V ⊂ Cⁿ⁺¹\{0} é chamado de cone se, sempre que v ∈ V, então λv ∈ V para todo λ ∈ C\{0}; ou seja, um subconjunto é um cone se contém a reta complexa que passa por cada um de seus pontos. Se U ⊂ CPⁿ é um conjunto aberto (na topologia analítica ou na topologia de Zariski), seja V ⊂ Cⁿ⁺¹\{0} o cone sobre U: a pré-imagem de U sob a projeção Cⁿ⁺¹\{0} → CPⁿ. Finalmente, para cada inteiro k, seja O(k)(U) o conjunto de funções que são homogêneas de grau k em V. Isso define um feixe de seções de um certo fibrado de linha, denotado por O(k).

No caso especial k = −1, o fibrado O(−1) é chamado de fibrado de linha tautológico. É definido equivalentemente como o subfibrado do produto

$\mathbf {C} ^{n+1}\times \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}$

cuja fibra sobre L ∈ CPⁿ é o conjunto

$\{(x,L)\mid x\in L\}.$

Esses fibrados de linha também podem ser descritos na linguagem dos divisores. Seja H = CPⁿ⁻¹ um hiperplano complexo dado em CPⁿ. O espaço de funções meromorfas em CPⁿ com no máximo um polo simples ao longo de H (e em nenhum outro lugar) é um espaço unidimensional, denotado por O(H), e chamado de fibrado hiperplano. O fibrado dual é denotado por O(−H), e a k-ésima potência tensorial de O(H) é denotada por O(kH). Este é o feixe gerado por múltiplos holomorfos de uma função meromorfa com um polo de ordem k ao longo de H. Acontece que

$O(kH)\cong O(k).$

De fato, se L(z) = 0 é uma função linear definidora para H, então L^−k é uma seção meromorfa de O(k), e localmente as outras seções de O(k) são múltiplos desta seção.

Como H¹(CPⁿ,Z) = 0, os fibrados de linha em CPⁿ são classificados até isomorfismo por suas classes de Chern, que são inteiros: eles estão em H²(CPⁿ,Z) = Z. De fato, as primeiras classes de Chern do espaço projetivo complexo são geradas sob a dualidade de Poincaré pela classe de homologia associada a um hiperplano H. O fibrado de linha O(kH) tem classe de Chern k. Portanto, todo fibrado de linha holomorfo em CPⁿ é uma potência tensorial de O(H) ou O(−H). Em outras palavras, o grupo de Picard de CPⁿ é gerado como um grupo abeliano pela classe do hiperplano [H] (Hartshorne 1977).

Ver também

• Desigualdade de Gromov para o espaço projetivo complexo
• Espaço de Hilbert projetivo
• Espaço projetivo quaterniônico
• Espaço projetivo real
• Espaço afim complexo
• Superfície K3

Bibliografia

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