Lei de Gauss para a gravidade

Na física, a lei de Gauss para a gravidade, também conhecida como teorema do fluxo de Gauss para a gravitação, é uma lei física equivalente à lei da gravitação universal de Newton. Nomeada em homenagem a Carl Friedrich Gauss, ela estabelece que o fluxo (integral de superfície) do campo gravitacional através de qualquer superfície fechada é proporcional à massa total contida no seu interior. A lei de Gauss para a gravitação é frequentemente mais conveniente e direta para cálculos analíticos do que a formulação clássica de Newton.

A estrutura matemática da lei de Gauss para a gravitação é análoga à da lei de Gauss para a eletrostática, uma das equações de Maxwell. A lei de Gauss para a gravidade mantém com a lei de Newton a mesma relação matemática que a lei de Gauss eletrostática guarda com a lei de Coulomb, visto que tanto a lei de Newton quanto a lei de Coulomb descrevem interações que obedecem à lei do inverso do quadrado em um espaço tridimensional.

Enunciado qualitativo da lei

Ver artigo principal: Campo gravitacional

O campo gravitacional g (também denominado aceleração gravitacional) é um campo vetorial — isto é, um vetor associado a cada ponto do espaço e do tempo. Ele é definido de modo que a força gravitacional experimentada por uma partícula pontual seja igual ao produto da massa da partícula pelo vetor campo gravitacional naquele ponto.

O fluxo gravitacional é a integral de superfície do campo gravitacional através de uma superfície fechada, de maneira análoga ao modo como o fluxo magnético corresponde à integral de superfície do campo magnético.

A lei de Gauss para a gravitação enuncia que:

O fluxo gravitacional através de qualquer superfície fechada é proporcional à massa envolvida no seu interior.

Forma integral

A forma integral da lei de Gauss para a gravidade é expressa por:

$\oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM$

onde:

• $\oint _{\partial V}$ denota a integral de superfície sobre uma superfície fechada;
• $\partial V$ é uma superfície fechada qualquer (a fronteira ou contorno de um volume arbitrário $V$);
• $d\mathbf {A}$ é um vetor infinitesimal cuja magnitude corresponde à área de um elemento diferencial da superfície $\partial V$, orientado na direção do vetor normal exterior unitário (ver integral de superfície);
• $\mathbf {g}$ é o vetor campo gravitacional;
• $G$ é a constante gravitacional universal; e
• $M$ é a massa total contida dentro do volume delimitado pela superfície $\partial V$.

O membro esquerdo dessa equação é denominado fluxo do campo gravitacional. Nota-se que, de acordo com essa formulação, o fluxo resultante é sempre negativo (ou nulo), jamais positivo. Esse comportamento contrasta com a lei de Gauss para a eletricidade, na qual o fluxo elétrico pode assumir sinal positivo ou negativo. Essa distinção física ocorre porque a carga elétrica pode ser positiva ou negativa, ao passo que a massa assume unicamente valores positivos.

Forma diferencial

A forma diferencial da lei de Gauss para a gravidade é formulada por:

$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho$

onde $\nabla \cdot$ denota o operador divergência, $\mathbf {g}$ é o campo gravitacional, $G$ é a constante gravitacional universal e $\rho$ é a densidade de massa em cada ponto do espaço.

Relação com a forma integral

As duas formas da lei de Gauss são matematicamente equivalentes por meio do teorema da divergência (também conhecido como teorema de Gauss-Ostrogradski):$$\oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,dV$$onde $V$ é uma região volumétrica fechada delimitada por uma superfície orientada simples $\partial V$ e $dV$ é um elemento diferencial do volume $V$ (ver integral de volume). O campo gravitacional $\mathbf {g}$ deve ser um campo vetorial continuamente diferenciável definido na vizinhança de $V$.

Sendo a massa total $M$ dada pela integral de volume da densidade:$$M=\int _{V}\rho \ dV$$aplica-se o teorema da divergência à forma integral da lei de Gauss: $$\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV=-4\pi G\int _{V}\rho \ dV$$a qual pode ser reescrita como:$$\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g} )\ dV=\int _{V}(-4\pi G\rho )\ dV.$$Como essa relação deve ser válida simultaneamente para qualquer volume arbitrário $V$, os integrandos devem ser necessariamente idênticos em todos os pontos, obtendo-se:$$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,$$que constitui a forma diferencial da lei de Gauss para a gravitação.

O caminho inverso permite deduzir a forma integral a partir da forma diferencial por integração volumétrica direta.

Relação com a lei de Newton

Dedução da lei de Gauss a partir da lei de Newton

A lei de Gauss para a gravidade pode ser demonstrada a partir da lei da gravitação universal de Newton, que define o campo gerado por uma massa pontual como:$$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {e_{r}}$$onde:

• $\mathbf {e_{r}}$ é o vetor unitário na direção radial;
• $r$ é a distância radial, dada por $|\mathbf {r} |$;
• $M$ é a massa da partícula pontual localizada na origem.

Teorema — O campo gravitacional $\mathbf {g} (\mathbf {r} )$ em uma posição $\mathbf {r}$ pode ser calculado somando-se a contribuição de cada elemento infinitesimal de massa do universo (ver princípio da superposição). Integrando sobre todos os pontos $\mathbf {s}$ do espaço com densidade $\rho (\mathbf {s} )$: $$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho (\mathbf {s} ){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}d^{3}\mathbf {s} .$$ onde $d^{3}\mathbf {s} =ds_{x}ds_{y}ds_{z}$. Tomando a divergência de ambos os membros em relação a $\mathbf {r}$ e aplicando a identidade da análise vetorial: $$\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )$$ onde $\delta (\mathbf {r} )$ é a função delta de Dirac, obtém-se: $$\nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\ d^{3}\mathbf {s} .$$ Pela propriedade de filtragem da função delta de Dirac, resulta: $$\nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )$$ que corresponde à forma diferencial da lei de Gauss para a gravidade.

Dedução da lei de Newton a partir da lei de Gauss e da irrotacionalidade

É matematicamente impossível demonstrar a lei de Newton unicamente a partir da lei de Gauss, pois esta determina a divergência de $\mathbf {g}$, mas não fornece nenhuma informação sobre o rotacional do campo (ver teorema de Helmholtz). Assume-se adicionalmente a premissa de que $\mathbf {g}$ é um campo irrotacional (rotacional nulo), uma vez que a gravidade newtoniana é uma força conservativa:

$\nabla \times \mathbf {g} =0$

Adicionalmente, exigem-se condições de contorno físicas, como a premissa de que o campo gravitacional tende a zero a distâncias infinitas da massa geradora.

Teorema — Inicia-se com a forma integral da lei de Gauss: $$\oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM.$$ Considerando o caso em que o volume $V$ é uma esfera de raio $r$ centrada em uma massa pontual $M$, a simetria esférica do campo impõe que: $$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-g(r)\,\mathbf {e_{r}}$$ (isto é, o sentido de $\mathbf {g}$ aponta para o centro e sua intensidade depende exclusivamente da distância escalar $r$). Aplicando essa forma à integral sobre a superfície esférica $\partial V$ de área $4\pi r^{2}$:

$g(r)\oint _{\partial V}(-\mathbf {e_{r}} )\cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM$

$g(r)\cdot (-4\pi r^{2})=-4\pi GM$

$g(r)={\frac {GM}{r^{2}}}$

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}$

obtendo-se a lei da gravitação de Newton.

Equação de Poisson e potencial gravitacional

Como o campo gravitacional possui rotacional nulo ($\nabla \times \mathbf {g} =0$), ele pode ser formulado como o gradiente de um potencial escalar $\phi$:$$\mathbf {g} =-\nabla \phi .$$Dessa forma, a expressão diferencial da lei de Gauss assume a forma da equação de Poisson:$$\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .$$Isso estabelece um procedimento analítico alternativo para determinar o potencial e o campo gravitacional.

Em sistemas com simetria radial, o potencial gravitacional torna-se função unicamente da coordenada radial $r=|\mathbf {r} |$, e a equação de Poisson em coordenadas esféricas reduz-se a (ver Laplaciano em coordenadas cilíndricas e esféricas):$${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)=4\pi G\rho (r)$$ao passo que o campo gravitacional é dado por:$$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {e_{r}} {\frac {\partial \phi }{\partial r}}.$$

Ao resolver essa equação diferencial, deve-se considerar que, para densidades finitas, a derivada $\partial \phi /\partial r$ deve manter-se contínua nas interfaces e fronteiras físicas, anulando-se em $r=0$.

Aplicações

A lei de Gauss é empregada para derivar campos gravitacionais em distribuições de massa que exibem alto grau de simetria geométrica (ver superfície gaussiana). Três aplicações canônicas destacam-se:

Placa de Bouguer

Ver artigo principal: Placa de Bouguer

Aplicando uma superfície gaussiana cilíndrica ("caixa de pílulas"), conclui-se que, para uma placa plana infinita (placa de Bouguer) de espessura finita, o campo gravitacional externo é uniforme, perpendicular à superfície e direcionado para ela, com módulo igual a $2\pi G$ vezes a massa por unidade de área (densidade superficial), independente da distância até a placa.

De modo geral, para uma distribuição na qual a densidade de massa varie unicamente com a coordenada cartesiana $z$, a intensidade do campo gravitacional em qualquer altura $z$ é dada por $2\pi G$ vezes a diferença de massa por unidade de área existente em cada lado do plano considerado.

Em particular, no espaço intermediário entre duas placas paralelas infinitas com a mesma densidade superficial de massa, o campo gravitacional resultante anula-se inteiramente.

Distribuição de massa com simetria cilíndrica

Para uma distribuição infinita e uniforme com simetria cilíndrica, o emprego de uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio $r$ demonstra que o campo resultante aponta radialmente para o eixo, com módulo igual a $2G/r$ vezes a massa linear contida no interior desse raio, independentemente de massas situadas em raios superiores.

Assim, no interior de uma casca cilíndrica oca infinita e uniforme, o campo gravitacional resultante é identicamente nulo.

Distribuição de massa com simetria esférica

Ver artigo principal: Teorema das cascas

Para uma distribuição com simetria esférica, a utilização de uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio $r$ revela que o campo gravitacional aponta para o centro, com magnitude dada por $G/r^{2}$ vezes unicamente a massa total contida no interior da esfera de raio $r$. Toda a massa situada além dessa distância não exerce nenhuma força resultante sobre o ponto de observação.

Consequentemente, no interior de uma casca esférica oca uniforme, o campo gravitacional resultante gerado pela casca é estritamente nulo. Essa propriedade direta da lei de Gauss corresponde à dedução geométrica analítica do teorema das cascas formulada por Isaac Newton.

Dedução a partir da densidade lagrangiana

Ver artigo principal: Lagrangiana

A densidade lagrangiana para a gravitação newtoniana é expressa por:$${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla \phi (\mathbf {x} ,t))^{2}$$Aplicando o princípio de Hamilton (as equações de Euler-Lagrange para a teoria clássica de campos), obtém-se diretamente a lei de Gauss na forma de Poisson:$$4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t).$$

Ver também

• Carl Friedrich Gauss
• Teorema da divergência
• Lei de Gauss
• Lei de Gauss para o magnetismo
• Cálculo vetorial
• Superfície gaussiana

Leitura adicional

• Moody, M. V.; Paik, H. J. (1 de março de 1993). «Gauss's law test of gravity at short range». Physical Review Letters. 70 (9): 1195–1198. Bibcode:1993PhRvL..70.1195M. PMID 10054315. doi:10.1103/PhysRevLett.70.1195