Velocidade angular

Velocidade angular
Info/Grandeza física
Símbolos	$\omega$ ou ${\vec {\omega }}$
Unidade no SI	rad·s−1
Em unidades de base do SI	s−1
Extensiva	sim
Intensiva	sim, apenas para corpo rígido
Conservada	não
Transformação de coordenadas	pseudovetor
Expressões	${\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}$
Dimensão	${\mathsf {T}}^{-1}$

Na cinemática, a velocidade angular (símbolo $\omega$ ou ${\vec {\omega }}$, a letra grega minúscula ômega), também chamada de vetor de frequência angular, é um vetor euclidiano tridimensional que determina univocamente o plano, o sentido e a rapidez angular da rotação de uma partícula que percorre uma circunferência com rapidez constante em três dimensões.

A direção ${\hat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}/\|{\boldsymbol {\omega }}\|$ é normal ao plano instantâneo de rotação. O sentido da velocidade angular segue, por convenção, a regra da mão direita, com rotação anti-horária quando observada do lado para o qual o vetor aponta. A negação do vetor, obtida pela multiplicação por −1, conserva seu módulo e inverte o sentido do eixo.

O módulo desse vetor, $\omega =\|{\boldsymbol {\omega }}\|$, é a rapidez angular, a taxa angular com que o objeto gira em torno de si mesmo ou orbita outro ponto.

A velocidade angular definida acima para partículas pontuais recebe o nome de velocidade angular orbital. Num corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo, cada ponto do corpo tem a mesma velocidade angular orbital. Pode-se atribuir a esse corpo uma velocidade angular de rotação igual à velocidade angular orbital de qualquer um de seus pontos.

A definição para uma partícula em movimento circular uniforme também pode ser estendida a movimentos mais gerais em três dimensões. Para uma partícula cuja posição tridimensional é duas vezes continuamente diferenciável em relação ao tempo, a velocidade angular é obtida de modo análogo a partir de sua posição em relação ao centro de curvatura e de sua velocidade.

A velocidade angular tem dimensão de inverso do tempo. Sua unidade no SI é o radiano por segundo. O radiano é uma grandeza adimensional, por isso a unidade da velocidade angular é dimensionalmente equivalente ao inverso do segundo, s⁻¹. Ainda assim, rad/s é preferível para evitar confusão com a velocidade de rotação expressa em hertz, que também equivale a s⁻¹.

Por exemplo, um satélite geoestacionário completa uma órbita por dia sideral sobre o equador, aproximadamente 360 graus em 24 horas. O módulo de sua velocidade angular, ou rapidez angular, é ω = 360°/24 h = 15°/h, ou 2π rad/24 h ≈ 0,26 rad/h. A direção da velocidade angular é paralela ao eixo de rotação da Terra, com ${\hat {\omega }}={\hat {Z}}$ num sistema de coordenadas geocêntricas. Se o ângulo é medido em radianos, a velocidade linear é o produto do raio pela velocidade angular, $v=r\omega$. Para um raio orbital de 42.000 km medido a partir do centro da Terra, a rapidez tangencial do satélite é v = 42.000 km × 0,26/h ≈ 11.000 km/h. A velocidade angular é positiva porque o satélite se desloca no sentido prógrado, o mesmo da rotação terrestre.

Velocidade angular orbital de uma partícula

Partícula em duas dimensões

A velocidade angular da partícula em P em relação à origem O é determinada pela componente da velocidade perpendicular ao vetor posição.

No caso mais simples de movimento circular de raio $r$, com a posição dada pelo deslocamento angular $\phi (t)$ medido a partir do eixo x, a velocidade angular orbital é a taxa de variação do ângulo no tempo:

$\omega ={\frac {d\phi }{dt}}.$

Se $\phi$ é medido em radianos, o comprimento do arco entre o semieixo x positivo e a partícula é $\ell =r\phi$, e a velocidade linear é

$v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t),$

de onde

$\omega ={\frac {v}{r}}.$

Para uma partícula que se move no plano, a velocidade angular orbital é a taxa com que o vetor posição em relação a uma origem escolhida varre um ângulo. O diagrama mostra o vetor posição $\mathbf {r}$ da origem $O$ até uma partícula $P$, com suas coordenadas polares $(r,\phi )$. Todas as variáveis são funções do tempo $t$. A velocidade linear divide-se em

$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp },$

com a componente radial $\mathbf {v} _{\parallel }$ paralela ao raio e a componente transversal ao raio, ou tangencial, $\mathbf {v} _{\perp }$ perpendicular ao raio. Sem componente radial, a partícula percorre uma circunferência em torno da origem. Sem componente transversal, ela se move em linha reta na direção radial. Como o movimento radial não altera o ângulo, apenas a componente transversal da velocidade linear participa da velocidade angular.

A velocidade angular $\omega$ é a taxa de variação da posição angular no tempo e pode ser calculada pela velocidade transversal:

$\omega ={\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v_{\perp }}{r}}.$

Aqui, $v_{\perp }$ é o valor com sinal da componente $\mathbf {v} _{\perp }$, positivo para movimento anti-horário e negativo para movimento horário. Se a velocidade linear $\mathbf {v}$ é escrita em coordenadas polares, com módulo $v$, a rapidez linear, e ângulo $\theta$ em relação ao vetor radial, então $v_{\perp }=v\sin(\theta )$. Logo:

$\omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.$

Essas fórmulas também podem ser obtidas tomando

$\mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi )),$

em que $r$ é a distância à origem como função do tempo e $\varphi$ é o ângulo entre o vetor e o eixo x. Então:

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),\ {\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),$

o que equivale a:

${\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}.$

Veja também a construção de vetores unitários em coordenadas cilíndricas.

Como ${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v}$, a componente radial da velocidade é ${\dot {r}}$, pois ${\hat {r}}$ é o vetor unitário radial. A componente perpendicular é $r{\dot {\varphi }}$, pois ${\hat {\varphi }}$ é o vetor unitário perpendicular.

Em duas dimensões, a velocidade angular pode ser tratada como um número com sinal positivo ou negativo para indicar a orientação, sem apontar para uma direção espacial. Por convenção, o sinal é positivo quando o vetor radial gira em sentido anti-horário e negativo quando gira em sentido horário. A velocidade angular pode então ser chamada de pseudoescalar, uma quantidade numérica que muda de sinal sob uma inversão de paridade, como a inversão de um dos eixos ou a troca dos dois eixos.

Partícula em três dimensões

O vetor velocidade angular orbital contém a taxa temporal de variação da posição angular e o plano instantâneo do deslocamento angular. Neste caso, com movimento circular anti-horário, o vetor aponta para cima.

No espaço tridimensional, considera-se novamente o vetor posição $\mathbf {r}$ de uma partícula em movimento. A velocidade angular orbital é um pseudovetor cujo módulo é a taxa com que $\mathbf {r}$ varre um ângulo, em radianos por unidade de tempo, e cuja direção é perpendicular ao plano instantâneo no qual $\mathbf {r}$ varre esse ângulo, isto é, ao plano gerado por $\mathbf {r}$ e $\mathbf {v}$. Como há duas direções perpendiculares a qualquer plano, é necessária uma convenção adicional para definir o sentido do vetor. Usa-se a regra da mão direita.

Seja $\mathbf {u}$ o pseudovetor unitário perpendicular ao plano gerado por $\mathbf {r}$ e $\mathbf {v}$, orientado pela regra da mão direita, de modo que o deslocamento angular instantâneo seja anti-horário para um observador situado no lado para o qual $\mathbf {u}$ aponta. Tomando as coordenadas polares $(r,\phi )$ nesse plano, como no caso bidimensional, define-se o vetor velocidade angular orbital por:

${\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,$

onde $\theta$ é o ângulo entre $\mathbf {r}$ e $\mathbf {v}$. Usando o produto vetorial, obtém-se:

${\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.$

Da equação anterior, recupera-se a velocidade tangencial:

$\mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} .$

Velocidade angular de rotação de um corpo rígido ou referencial

Dado um referencial em rotação formado por três vetores unitários de coordenadas linearmente independentes, existe, a cada instante, um eixo comum, chamado eixo de rotação, em torno do qual os três vetores giram com a mesma rapidez angular e o mesmo sentido, horário ou anti-horário. Nesse referencial, cada vetor equivale a uma partícula em movimento com raio escalar constante. O conjunto dessas partículas constitui um corpo rígido.

O teorema de rotação de Euler estabelece que o eixo de rotação obtido a partir de uma escolha de três vetores unitários linearmente independentes é o mesmo para qualquer outra escolha. Há, portanto, um único eixo instantâneo de rotação para o referencial, em torno do qual todos os pontos giram com a mesma rapidez angular e o mesmo sentido. A velocidade angular de rotação de um referencial ou corpo rígido é o pseudovetor cujo módulo é essa rapidez angular comum e cuja direção segue o eixo comum, orientado pela regra da mão direita. Para uma rotação anti-horária, ele aponta para cima ao longo do eixo. Para uma rotação horária, aponta para baixo.

Em mais de três dimensões espaciais, a interpretação da velocidade angular de rotação como pseudovetor deixa de ser válida. Nesse caso, usa-se um tensor antissimétrico de ordem 2.

A soma dos vetores de velocidade angular de referenciais é definida pela soma vetorial usual, correspondente à composição de movimentos lineares, e pode ser usada para decompor a rotação, como numa suspensão cardã. Todas as componentes do vetor podem ser calculadas por derivadas dos parâmetros que definem os referenciais móveis, como ângulos de Euler ou matrizes de rotação. A soma é comutativa:

${\boldsymbol {\omega }}_{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{2}={\boldsymbol {\omega }}_{2}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}.$

Escolhendo um ponto de referência ${\boldsymbol {r}}_{0}$ fixo no referencial em rotação, a velocidade ${\dot {\boldsymbol {r}}}$ de qualquer ponto do referencial é:

${\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {\boldsymbol {r}}}_{0}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}).$

Componentes a partir dos vetores de base de um referencial fixo ao corpo

Considere um corpo rígido que gira em torno de um ponto fixo O. Construa no corpo um referencial formado pelo conjunto ortonormal de vetores $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$, fixos ao corpo e com origem comum em O. A velocidade angular de rotação do referencial e do corpo em torno de O é:

${\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2})\mathbf {e} _{3}+({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3})\mathbf {e} _{1}+({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1})\mathbf {e} _{2},$

onde

${\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}$

é a taxa temporal de variação do vetor $\mathbf {e} _{i}$, com $i=1,2,3$, causada pela rotação.

Essa fórmula não é intercambiável com a expressão da velocidade angular orbital

${\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},$

pois esta última define a velocidade angular de um único ponto em relação a O, enquanto a fórmula desta seção vale para um referencial ou corpo rígido. Num corpo rígido, um único ${\boldsymbol {\omega }}$ deve corresponder ao movimento de todas as partículas do corpo.

Componentes a partir dos ângulos de Euler

Diagrama de um referencial de Euler, em verde.

As componentes do pseudovetor de velocidade angular de rotação foram calculadas por Leonhard Euler a partir de seus ângulos de Euler e de um referencial intermediário:

• um eixo do referencial de referência, o eixo de precessão;
• a linha dos nodos do referencial móvel em relação ao referencial de referência, o eixo de nutação;
• um eixo do referencial móvel, o eixo de rotação intrínseca.

Euler provou que a projeção do pseudovetor de velocidade angular sobre cada um desses eixos é a derivada do ângulo correspondente. Isso equivale a decompor a rotação instantânea em três rotações instantâneas de Euler. Logo:

${\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}.$

Essa base não é ortonormal, o que dificulta seu uso, mas o vetor velocidade pode ser expresso no referencial fixo ou no referencial móvel por uma mudança de base. No referencial móvel, por exemplo:

${\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}.$

Aqui, ${\hat {\mathbf {i} }}$, ${\hat {\mathbf {j} }}$ e ${\hat {\mathbf {k} }}$ são vetores unitários do referencial fixo ao corpo móvel. O exemplo usa a convenção Z-X-Z para os ângulos de Euler.

Tensor

O tensor de velocidade angular é uma matriz antissimétrica definida por:

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{pmatrix}}.$

Os elementos escalares correspondem às componentes do vetor velocidade angular

${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}).$

Essa é uma matriz de rotação infinitesimal. A transformação linear $\Omega$ equivale ao operador de produto vetorial $({\boldsymbol {\omega }}\times )$:

${\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}},$

onde ${\boldsymbol {r}}$ é um vetor posição.

Multiplicado por um intervalo de tempo, o tensor produz o tensor de deslocamento angular.

Ver também

• Aceleração angular, taxa de variação da velocidade angular
• Frequência angular, frequência expressa em radianos por unidade de tempo
• Momento angular, momento de uma partícula ou corpo em rotação
• Giroscópio, dispositivo rotativo usado em problemas de orientação e precessão

Bibliografia

• Keith Symon (1971). Mechanics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-07392-8 
• L. D. Landau e E. M. Lifshitz (1997). Mechanics. [S.l.]: Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9 

Ligações externas

• A college text-book of physics, de Arthur Lalanne Kimball, seção sobre velocidade angular de uma partícula.
• "Speed of Rotation - Sixty Symbols", por Steve Pickering, Sixty Symbols, Brady Haran para a Universidade de Nottingham, 2009.