Momentul forței

Momentul forței
Relația dintre forță (F) și momentul forței (τ) în cazul unui corp în rotație

Simbol	$M$
Alte unități	newton metru^[1]^[2] kilogram metru pătrat pe secundă la pătrat[*]^[1]
Dimensiune SI	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-2}$
Formulă	${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$ unde: ${\vec {F}}$ = forța ${\vec {r}}$ = poziția
Modifică date / text

Momentul unei forțe sau momentul unui cuplu de forțe este o mărime fizică vectorială ce exprimă cantitativ proprietatea forței de a roti un solid rigid în jurul unei drepte ce trece printr-un punct și este perpendiculară pe planul format de dreapta suport a forței și punctul respectiv.^[3] Noțiunea este importantă în funcționarea tuturor mecanismelor în care există forțe care imprimă mișcări de rotație unor solide.

Momentul unei forțe în raport cu un punct

Momentul unei forțe ${\vec {F}},$ care acționează asupra unui solid rigid, în raport cu punctul $O,$ numit pol, este o mărime vectorială notată cu ${\vec {M}}_{0}({\vec {F}})$ sau, mai simplu, notată cu ${\vec {M}}_{0}$ și reprezintă produsul vectorial dintre vectorul de poziție care unește punctul $O$ cu un punct oarecare de pe suportul forței și forță:^[4]^[5]

{\vec {M}}_{0}={\vec {r}}\times {\vec {F}}=r\cdot F\cdot \sin(t)\cdot {\vec {u}}=F\cdot d\cdot {\vec {u}}

unde:

t

este unghiul dintre

{\vec {r}}

și

{\vec {F}}

d=r\cdot \sin(t)

și este brațul forței

F

fața de punctul

O

, care reprezintă distanța de la punctul

O

până la dreapta suport a forței

F,

adică lungimea perpendicularei dusă din punctul

O

pe dreapta suport a forței

F

.

Momentul unei forțe ${\vec {F}}$ în raport cu un punct $O$ se exprimă analitic în raport cu sistemul de referință cartezian triortogonal drept $OXZY$ prin relația:

{\begin{aligned}{\vec {M}}_{o}({\vec {F}})&={\vec {r}}\times {\vec {F}}={\begin{bmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x&y&z\\X&Y&Z\end{bmatrix}}\\&=(y\cdot Z-z\cdot Y)\cdot {\vec {i}}+(z\cdot X-x\cdot Z)\cdot {\vec {j}}+(x\cdot Y-y\cdot X)\cdot {\vec {k}}\end{aligned}}

{\vec {M}}_{o}({\vec {F}})=M_{x}\cdot {\vec {i}}+M_{y}\cdot {\vec {j}}+M_{z}\cdot {\vec {k}}

unde:

M_{x}=y\cdot Z+z\cdot Y

M_{y}=z\cdot X-x\cdot Z

M_{z}=x\cdot Y-y\cdot X

sunt proiecțiile momentului forței F in raport cu punctul O pe axele Ox , Oy si Oz

Caracteristicile vectorului moment:

punctul de aplicație este în $O$ , ceea ce înseamnă ca vectorul moment este un vector legat;
direcția este normală pe planul format de $O$ și suportul forței;
sensul este corespunzător triedrului drept;
mărimea (modulul) acestuia este:

|{\vec {M}}_{0}|=|{\vec {F}}|\cdot d

unde $d = OB$ se numește brațul forței și reprezintă lungimea perpendicularei dusă din O pe dreapta suport a forței.

Proprietăți

Momentul unei forțe în raport cu un punct arbitrar de pe dreapta suport a forței este întotdeauna nul.

{\vec {M}}_{A}({\vec {F}})={\vec {AB}}\times {\vec {F}}=0,

deoarece

{\vec {AB}}

și

{\vec {F}}

sunt coliniari.

Momentul unei forțe în raport cu un punct care nu aparține dreptei suport al forței este întotdeauna constant la alunecarea forței pe dreapta sa suport.

Demonstrație:

{\vec {M}}_{o}({\vec {F}})={\vec {OA}}\times {\vec {F}}=({\vec {OB}}+{\vec {BA}})\times {\vec {F}}={\vec {OB}}\times {\vec {F}}+{\vec {BA}}\times {\vec {F}}={\vec {OB}}\times {\vec {F}}

deoarece $BA$ și $F$ sunt vectori coliniari.

Punctul $O$ se deplasează pe o dreaptă paralelă cu {{math|(Δ)}.
Momentul unei forțe se schimbă dacă se schimbă polul din $O$ în $O 1$ :

{\vec {M}}_{01}={\vec {O_{1}A}}\times {\vec {F}}=({\vec {O_{1}O}}+{\vec {OA}})\times {\vec {F}}={\vec {M}}_{0}+{\vec {O_{1}O}}\times F

iar

{\vec {M}}_{o1}({\vec {F}})={\vec {M}}_{o}({\vec {F}})+{\vec {O_{1}O}}\times {\vec {F}}

este legea de variație a momentului unei forțe la schimbarea punctului in raport cu care este calculat.

Momentul unei forțe în raport cu o axă

Momentul unei forțe în raport cu o axă, de versor ${\vec {u}},$ este proiecția pe acea axă a momentului forței calculat în raport cu un punct oarecare al axei respective:^[6]^[7]

M_{\Delta }={\vec {M}}_{0}\cdot {\vec {u}}=({\vec {r}}\times {\vec {F}})\cdot {\vec {u}}

Proprietăți

$M_{\Delta }=0$ dacă cei trei vectori sunt coplanari: forța este paralelă cu axa $Δ$ sau suportul forței intersectează axa.
$M_{\Delta }=0$ nu depinde de alegerea punctului $O$ pe axa $Δ$ :

Astfel, dacă se consideră un alt punct $O 1$ :

M'_{\Delta }=({\vec {O_{1}A}}\times {\vec {F}})\cdot {\vec {u}}=[({\vec {O_{1}O}}+{\vec {r}})\times {\vec {F}}]\cdot {\vec {u}}=M_{\Delta }

Momentul unei forțe în raport cu o axă $Δ$ este egal cu mărime momentului produs de componenta forței dintr-un plan normal pe axă, calculat în raport cu punctul în care axa $Δ$ intersectează planul normal:

M_{\Delta }=({\vec {OA}}\times {\vec {F}})\cdot {\vec {u}}=[{\vec {OA}}\times ({\vec {F}}_{\perp }+{\vec {F}}_{\|})]\cdot u=({\vec {OA}}\times {\vec {F}}_{\perp })\cdot {\vec {u}}=\pm |{\vec {r}}\times {\vec {F}}_{\perp }|

Momentul unor dipoli electrici și magnetici

Dipolii de sarcini electrice prezintă cupluri de forțe coulombiene pentru care momentul cuplului de forțe este în funcție de momentul electric al dipolului ${\boldsymbol {\tau }}$ :^[8]

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E}

Similar momentul unui cuplu de forțe magnetice este în funcție de momentul magnetic dipolar^[9]:

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B}

Terminologie

Momentul forței este tradițional notat de fizicienii români cu M_F, spre deosebire de fizicienii anglofoni, de exemplu Serway & Jewett jr.^[8], care îl notează cu litera greacă tau (τ).
O combinație de momente ale două forțe antiparalele care acționează la capetele unui braț este un cuplu de forțe, având momentul:

M=F*r/2+F*r/2=F*r

În limbajul comun adesea momentul cuplului de forțe este numit prescurtat cuplu.^[10]^[11]

Note

1 2 „Quantities and units — Part 4: Mechanics” (ed. 2). Organizația Internațională de Standardizare. 26 august 2019. Wikidata Q73391977.
↑ „Quantities and units—Part 4: Mechanics” (în engleză) (ed. 1). Organizația Internațională de Standardizare. 1 martie 2006. Wikidata Q26711933.
↑ „Moment al unei forțe” la Lexiconul Tehnic Român
↑ Vâlcovici ș.a., 1968, p. 62–64
↑ Manafi, curs, p. 23
↑ Vâlcovici ș.a., 1968, p. 64–66
↑ Manafi, curs, p. 24
1 2 Raymond A. Serway; John W. Jewett Jr. (2009). Physics for Scientists and Engineers, Volume 2 (ed. 8th). Cengage Learning. pp. 756–757. ISBN 978-1-4390-4839-9.
↑ Cullity, B. D.; Graham, C. D. (2008). Introduction to Magnetic Materials (ed. 2nd). Wiley-IEEE Press. p. 103. ISBN 978-0-471-47741-9.
↑ „cuplu 2.” la Lexiconul Tehnic Român
↑ Károly Ágoston Biró, Mașini sincrone speciale (curs), Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca

Bibliografie

Victor Vâlcovici, Ștefan Bălan, Radu Voinea (coordonatori), Mecanică teoretică, ediția a III-a, București: Editura Tehnică, 1968
Niculae Manafi, Bazele mecanicii aplicate (curs), Universitatea Politehnica din București, accesat 2024-04-10

Lectură suplimentară

Mercheș, Ioan și Burlacu, Lucian: Mecanică analitică și a mediilor deformabile, Editura didactică și pedagogică, București, 1983.

Vezi și

Portal Fizică

[wdref-abed3fee4ae27f793bd7833586fbb1e7-1] 1 2 „Quantities and units — Part 4: Mechanics” (ed. 2). Organizația Internațională de Standardizare. 26 august 2019. Wikidata Q73391977.

[wdref-f6d933d3df79f3fb8b7a950dd61db957-2] „Quantities and units—Part 4: Mechanics” (în engleză) (ed. 1). Organizația Internațională de Standardizare. 1 martie 2006. Wikidata Q26711933.

[LTR-3] „Moment al unei forțe” la Lexiconul Tehnic Român

[4] Vâlcovici ș.a., 1968, p. 62–64

[5] Manafi, curs, p. 23

[6] Vâlcovici ș.a., 1968, p. 64–66

[7] Manafi, curs, p. 24

[Serway-8] 1 2 Raymond A. Serway; John W. Jewett Jr. (2009). Physics for Scientists and Engineers, Volume 2 (ed. 8th). Cengage Learning. pp. 756–757. ISBN 978-1-4390-4839-9.

[Graham-9] Cullity, B. D.; Graham, C. D. (2008). Introduction to Magnetic Materials (ed. 2nd). Wiley-IEEE Press. p. 103. ISBN 978-0-471-47741-9.

[10] „cuplu 2.” la Lexiconul Tehnic Român

[11] Károly Ágoston Biró, Mașini sincrone speciale (curs), Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]