Örten fonksiyon

X kümesinden Y kümesine tanımlı örten bir f fonksiyonunun diyagram şeklindeki gösterimi.

Örten fonksiyon veya sürjektif fonksiyon, matematikte, bir X kümesinden bir Y kümesine tanımlı bir fonksiyonun, Y kümesindeki her elemanın en az bir X elemanının görüntüsü olduğu fonksiyon türüdür. Başka bir ifadeyle, f : X → Y fonksiyonu için Y kümesindeki her y elemanı için, X kümesinde f(x) = y eşitliğini sağlayan en az bir x elemanı bulunuyorsa f örten fonksiyondur.

Matematiksel olarak örtenlik şu şekilde ifade edilir:

$\forall y\in Y,\ \exists x\in X{\text{ öyle ki }}f(x)=y.$

Örten bir fonksiyonda görüntü kümesi, değer kümesine eşittir:

$f(X)=Y.$

Bu nedenle örtenlik, bir fonksiyonun değer kümesinde bulunan hiçbir elemanın açıkta kalmaması, yani her elemanın tanım kümesinden en az bir elemanla eşleşmesi anlamına gelir. Ancak tanım kümesindeki farklı elemanların aynı değerle eşleşmesi mümkündür. Dolayısıyla örten bir fonksiyonun birebir olması zorunlu değildir.

Örnek

X = {1, 2, 3} ve Y = {a, b} kümeleri verilsin.

$f(1)=a,\quad f(2)=b,\quad f(3)=a$

şeklinde tanımlanan f : X → Y fonksiyonu örtendir. Çünkü Y kümesindeki hem a hem de b elemanı, X kümesindeki en az bir elemanın görüntüsüdür. Buna karşılık f birebir değildir; çünkü 1 ve 3 elemanlarının görüntüleri aynıdır.

Genel olarak, sonlu kümeler arasında bir X kümesinden Y kümesine örten bir fonksiyonun var olabilmesi için

$|X|\geq |Y|$

olması gerekir.

Birebirlik ve örtenlik

Bir fonksiyonun örten olması ile birebir olması farklı özelliklerdir. Birebir bir fonksiyonda, X kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı olmak zorundadır. Örten bir fonksiyonda ise Y kümesindeki her elemanın en az bir ön görüntüsü bulunması yeterlidir.

Bir fonksiyon hem birebir hem de örten ise birebir örten fonksiyon veya bijeksiyon olarak adlandırılır. Bijektif fonksiyonlarda X ile Y arasında birebir bir eşleşme vardır.

Örneğin:

• Birebir fakat örten değil: X kümesindeki farklı elemanlar farklı görüntülere sahip olabilir ancak Y kümesinde hiçbir x elemanının görüntüsü olmayan elemanlar bulunabilir.
• Örten fakat birebir değil: Y kümesindeki her elemanın en az bir ön görüntüsü vardır ancak X kümesindeki farklı elemanlar aynı görüntüye sahip olabilir.
• Hem birebir hem örten: X ile Y arasında birebir ve tam bir eşleşme vardır.

Bileşke fonksiyonlar

f : X → Y ve g : Y → Z fonksiyonları örten ise bunların bileşke fonksiyonu olan g ∘ f : X → Z de örtendir. Çünkü Z kümesindeki her eleman, g örten olduğundan Y kümesindeki en az bir elemanın görüntüsüdür; bu eleman da f örten olduğundan X kümesindeki en az bir elemanın görüntüsüdür.

Buna karşılık, iki fonksiyonun bileşkesinin örten olması, bu fonksiyonların her ikisinin de ayrı ayrı örten olduğu anlamına gelmez.

Sonlu kümeler

X ve Y sonlu kümeler olmak üzere, f : X → Y fonksiyonunun örten olabilmesi için X kümesinin eleman sayısının Y kümesinin eleman sayısından küçük olmaması gerekir:

$|X|\geq |Y|.$

Eğer |X| < |Y| ise Güvercin yuvası ilkesi gereğince X kümesinden Y kümesine örten bir fonksiyon tanımlanamaz.

|X| = |Y| olduğunda ise f fonksiyonunun örten olması, aynı zamanda birebir olmasını da gerektirir. Dolayısıyla eşit sayıda elemana sahip sonlu kümeler arasında örten bir fonksiyon aynı zamanda birebir örten, yani bijektiftir.

Sonsuz kümeler

Örten fonksiyonların tanımı sonlu kümelerle sınırlı değildir. Sonsuz kümeler arasında da örten fonksiyonlar tanımlanabilir. Örneğin, doğal sayılar kümesinden tam sayılar kümesine

$f(n)={\begin{cases}n/2,&n{\text{ çift ise}},\\-(n+1)/2,&n{\text{ tek ise}}\end{cases}}$

şeklinde tanımlanan fonksiyon örtendir. Bu fonksiyon, her tam sayıyı en az bir doğal sayının görüntüsü olarak verir.

Sonsuz kümelerde |X| \geq |Y| ifadesi, sonlu kümelerdeki eleman sayısı karşılaştırmasından farklı olarak kardinal sayılar aracılığıyla yorumlanır.

Terimin kökeni

"Surjection" terimi, Fransız matematikçi Nicolas Bourbaki'nin çalışmalarıyla matematik terminolojisinde yaygınlaşan "injection" ve "bijection" terimleriyle birlikte kullanılmıştır.

Ayrıca bakınız

• Fonksiyon
• Birebir fonksiyon
• Birebir örten fonksiyon
• Görüntü kümesi
• Tanım kümesi
• Değer kümesi
• Bileşke fonksiyon
• Güvercin yuvası ilkesi
• Kardinal sayı

Tanımlama

Örten fonksiyon, tanım kümesindeki elemanların tamamının değer kümesindeki elemanların tamamıyla eşleştiği fonksiyonlardır. Bu durumda fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesine eşit olur. Fonksiyonun, X tanım kümesindeki her bir x elemanının, Y değer kümesinde en az bir karşılığı vardır ve karşılığı olmayan bir y elemanı bulunmamaktadır. Sembolik olarak bu durum şu şekilde gösterilir:

$f\colon X\rightarrow Y$ şeklinde tanımlı $f$ fonksiyonunun örten olması için

$\forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y$ olması gerekmektedir.

Örten fonksiyonlar zaman zaman, sağa bakan iki uçlu ok kullanılarak f : X ↠ Y şeklinde de gösterilebilmektedir.