Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Στην γεωμετρία, το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο είναι ένα τετράπλευρο το οποίο έχει όλες τις γωνίες του ορθές.

Υπάρχουν αρκετοί ισοδύναμοι ορισμοί για το ορθογώνιο, δείτε τα κριτήρια ορθογωνίου παρακάτω.

Ειδική περίπτωση του ορθογωνίου είναι το τετράγωνο, που επιπλέον έχει και όλες τις πλευρές του ίσες.

Ιδιότητες

• Κάθε ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη  

Ορθογώνιο

Έστω το ορθογώνιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$, το οποίο έχει ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}=90^{\circ }$.

Είναι,

• Οι πλευρές $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Delta \Gamma }$ κάθετες στην $\mathrm {B\Gamma }$ άρα είναι μεταξύ τους παράλληλες.
• Οι πλευρές $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma }$ κάθετες στην $\mathrm {AB}$ άρα είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Συνεπώς το τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες,

άρα είναι παραλληλόγραμμο.

$\square$

• Σε κάθε ορθογώνιο οι διαγώνιοί του είναι ίσες και διχοτομούνται.

Απόδειξη  

Οι διαγώνιοι του είναι ίσες και διχοτομούνται.

Έστω το ορθογώνιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$, οι διαγώνιοί του $\mathrm {A\Gamma ,B\Delta }$ διχοτομούνται διότι είναι παραλληλόγραμμο.

Τα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {AB\Gamma }$ έχουν

• την $\mathrm {AB}$ κοινή,
• $\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {A\Delta }$ και
• ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {B} }}=90^{\circ }$.

Άρα σύμφωνα με τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. :

Δηλαδή $\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {B\Delta }$.

$\square$

• Κάθε ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Απόδειξη  

Ο περιγεγραμμένος κύκλος του ορθογωνίου.

Από την προηγούμενη ιδιότητα οι διαγώνιοι σε ένα ορθογώνιο είναι ίσες και διχοτομούνται. Δηλαδή είναι, $\mathrm {OA} =\mathrm {OB} =\mathrm {O\Gamma } =\mathrm {O\Delta }$.

Άρα ο κύκλος με κέντρο το σημείο $\mathrm {O}$ και ακτίνα την $\mathrm {OA}$, διέρχεται από τις κορυφές του ορθογωνίου.

$\square$

• Ένα ορθογώνιο έχει δύο άξονες συμμετρίας.

Απόδειξη  

Οι δύο άξονες συμμετρίας ενός ορθογωνίου.

Έστω το ορθογώνιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$.

Θεωρούμε την μεσοκάθετο $\mathrm {x'x}$ της πλευράς $\mathrm {AB}$ καθώς και την μεσοκάθετο $\mathrm {yy'}$ της πλευράς $\mathrm {A\Delta }$ οι οποίες τέμνονται στο σημείο $\mathrm {O}$. Είναι $\mathrm {OB=OA=O\Delta }$, άρα το σημείο $\mathrm {O}$ είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\mathrm {AB\Delta }$ ο οποίος ταυτίζεται με τον περιγεγραμμένο κύκλο του ορθογωνίου. Έτσι έχουμε $\mathrm {OB=OA=O\Delta =O\Gamma }$ δηλαδή η μεσοκάθετος $\mathrm {x'x}$ της πλευράς $\mathrm {AB}$ είναι και μεσοκάθετος της πευράς $\mathrm {\Delta \Gamma }$ και η μεσοκάθετος $\mathrm {yy'}$ της πλευράς $\mathrm {A\Delta }$ είναι και μεσοκάθετος της πευράς $\mathrm {B\Gamma }$.

Η ευθεία $\mathrm {x'x}$ είναι λοιπόν άξονας συμμετρίας των πλευρών $\mathrm {AB,\Delta \Gamma }$ και καθώς τα συμμετρικά των $\mathrm {B,\Gamma }$ ως προς την $\mathrm {x'x}$ είναι τα $\mathrm {A,\Delta }$ αντίστοιχα, έπεται ότι το συμμετρικό της πλευράς $\mathrm {B\Gamma }$ είναι η πλευρά $\mathrm {A\Delta }$. Συνεπώς το συμμετρικό ως προς την $\mathrm {x'x}$ κάθε σημείου του ορθογωνίου είναι επίσης σημείο του ορθογωνίου δηλαδή, η ευθεία $\mathrm {x'x}$ είναι άξονας συμμετρίας του ορθογωνίου.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι και η ευθεία $\mathrm {yy'}$ είναι άξονας συμμετρίας του ορθογωνίου.

$\square$

Κριτήρια ορθογωνίου

Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

• Είναι παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία.

Απόδειξη  

Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$, το οποίο έχει ${\hat {\mathrm {A} }}=90^{\circ }$.

Τότε θα είναι ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}=90^{\circ }$ ως παραπληρωματικές γωνίες της ${\hat {\mathrm {A} }}$ ως εντός και επί τα αυτά.

Καθώς και ${\hat {\mathrm {\Gamma } }}={\hat {\mathrm {A} }}=90^{\circ }$ ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου.

Άρα το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ είναι ορθογώνιο.

$\square$

• Είναι παραλληλόγραμμο με ίσες διαγωνίους.

Απόδειξη  

Παραλληλόγραμμο με ίσες διαγωνίους.

Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$, το οποίο έχει τις διαγωνίους του $\mathrm {A\Gamma ,B\Delta }$ ίσες.

Αν $\mathrm {O}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου, τότε είναι $\mathrm {OA} =\mathrm {OB} =\mathrm {O\Gamma } =\mathrm {O\Delta }$, διότι οι διαγώνιοι του παραλληλογράμου διχοτομούνται.

Στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η διάμεσος $\mathrm {BO}$ είναι ίση με το μισό της $\mathrm {A\Gamma }$ από όπου προκύπτει ότι το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι ορθογώνιο, δηλαδή ${\hat {\mathrm {B} }}=90^{\circ }$.

Άρα το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ είναι ορθογώνιο.

$\square$

• Όλες οι γωνίες του είναι ορθές.

Απόδειξη  

Το άθροισμα των γωνιών κάθε κυρτού τετραπλεύρου είναι ίσο με $360^{\circ }$. Εφ' όσον όλες του οι γωνίες είναι ίσες θα είναι κάθε μία ίση με $360^{\circ }/4=90^{\circ }$.

Άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο.

$\square$

Μετρικές σχέσεις

Έστω το ορθογώνιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$. Αν ονομάσουμε $\alpha =\mathrm {AB}$ και $\beta =\mathrm {B\Gamma }$, τότε

• Η περίμετρος του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο $\Pi =2\cdot (\alpha +\beta )$.
• Με χρήση του πυθαγορείου θεωρήματος, βρίσκουμε ότι η διαγώνιος του ορθογωνίου έχει μήκος ${\textstyle d={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}$.
• Το θεώρημα της Βρετανικής σημαίας, δηλώνει ότι για κάθε ορθογώνιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {P}$ ένα τυχόν σημείο εσωτερικό του ορθογωνίου, ισχύει ότι

$(\mathrm {AP} )^{2}+(\mathrm {\Gamma P} )^{2}=(\mathrm {BP} )^{2}+(\mathrm {\Delta P} )^{2}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με $\alpha =\mathrm {AB}$ και $\beta =\mathrm {B\Gamma }$, δίνεται από τον τύπο

$\mathrm {E} =\mathrm {AB} \cdot \mathrm {B\Gamma } =\alpha \cdot \beta$.

Ισχύει το εξής κριτήριο για το εμβαδόν του

Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αν και μόνο αν

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(\alpha ^{2}+\gamma ^{2})(\beta ^{2}+\delta ^{2})}}$.

Εφαρμογές

Διχοτόμοι ενός παραλληλογράμμου

Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός παραλληλογράμμου, τεμνόμενες δημιουργούν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη  

Το ορθογώνιο που δημιουργείται από τις διχοτόμους του παραλληλογράμμου.

Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$. Σύμφωνα με την ιδιότητα του παραλληλογράμμου οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών του είναι παράλληλες. Επιπλέον οι διχοτόμοι των διαδοχικών γωνιών του είναι κάθετες.

Άρα το τετράπλευρο που σχηματίζεται από τα σημεία τομής των διχοτόμων των γωνιών

του είναι ορθογώνιο.

$\square$

Πλακοστρώσεις

Τα ορθογώνιο παραλληλόγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο με αρκετούς διαφορετικούς τρόπους, πολλοί από τους οποίους χρησιμοποιούνται π.χ. σε πεζοδρόμια.

Περεταίρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• «Εγγραφή ορθογωνίου σε δοσμένο τρίγωνο: η Γεωμετρική και η Αλγεβρική μέθοδος». Ευκλείδης Β΄ (1): 32-35. 1977. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Crilly, Tony (Νοεμβρίου 1994). «A supergolden rectangle». The Mathematical Gazette 78 (483): 320–325. doi:10.2307/3620208. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1994-11_78_483/page/320. 
• Wagon, Stan (Αυγούστου 1987). «Fourteen Proofs of a Result About Tiling a Rectangle». The American Mathematical Monthly 94 (7): 601–617. doi:10.1080/00029890.1987.12000693. 
• Schwartz, Richard Evan (Μαρτίου 2019). «Pushing a Rectangle down a Path». The Mathematical Intelligencer 41 (1): 7–10. doi:10.1007/s00283-018-9819-1. 

Δείτε επίσης

• Παραλληλόγραμμο
• Ρόμβος
• Τετράγωνο
• Ορθογώνιο τρίγωνο
• Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο